ภายใต้ ความเสถียรหรือความเสถียรของระบบในความหมายกว้าง ๆ เป็นที่เข้าใจกันว่าคุณสมบัติของระบบจะกลับสู่สถานะคงที่หรือโหมดหลังจากถูกรบกวนจากปัจจัยภายนอกหรือภายในบางอย่าง

ระบบสามารถกำหนดลักษณะการทำงานที่ซับซ้อนมากได้ เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง แต่พารามิเตอร์บางตัวสามารถคงค่าคงที่ได้ ในกรณีนี้ เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความเสถียรของระบบโดยคำนึงถึงพารามิเตอร์เหล่านี้

ตัวอย่างเช่น เมื่อศึกษากระบวนการในวงจรออสซิลเลเตอร์ พบว่าโดยไม่คำนึงถึงค่าเริ่มต้นของแรงดันและกระแส ไม่ว่าจะมีการสั่นแบบแดมเปอร์หรือแดมแดมป์ ความถี่ในวงจรนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงและถูกกำหนดไว้เสมอ โดยพารามิเตอร์ของวงจร สิ่งนี้ให้สิทธิ์ในการเรียกสำนักงานออสซิลเลเตอร์ที่มีความเสถียรตามความถี่ของการแกว่งตามธรรมชาติ

ในแง่ของความหมาย แนวคิดเรื่องความสมดุลและความคงที่ (สภาวะสมดุล กระบวนการนิ่ง) ใกล้เคียงกับแนวคิดเรื่องเสถียรภาพ อย่างไรก็ตาม แนวคิดเหล่านี้มีความหมายเฉพาะเจาะจงที่แคบกว่า ดังนั้น แนวความคิดที่ใช้บางครั้งเกี่ยวกับความเสถียรของระบบเนื่องจากความสามารถในการต่อสู้จากสถานะเริ่มต้นต่างๆ ไปสู่สภาวะสมดุลบางอย่าง สถานะคงที่ก็แคบลงและเฉพาะเจาะจงมากขึ้นเช่นกัน

เนื้อหาหลักของทฤษฎีเสถียรภาพคือ:การศึกษาอิทธิพลของอิทธิพลที่ก่อกวนต่อพฤติกรรมของระบบ ในขณะที่ปัจจัยที่ก่อกวนมักจะเข้าใจว่าเป็นแรงที่มักจะไม่ทราบล่วงหน้า ซึ่งทั้งเนื่องจากความไม่แน่นอนและเนื่องจากความน้อยเมื่อเทียบกับแรงหลัก นำมาพิจารณาเมื่ออธิบายการเคลื่อนไหวของระบบ

อีกตัวอย่างหนึ่งของความเสถียรของพฤติกรรมของระบบคือวัฏจักรของมัน

วัฏจักรวัฏจักรถูกเรียกเช่นนี้เมื่อระบบในกรณีที่ไม่มีการรบกวนเป็นระยะ ๆ ซ้ำ ๆ ผ่านลำดับสถานะเดียวกัน - ชุดของสถานะที่เสถียร

ในแง่ของการก่อกวนบางอย่างที่กระทำต่อระบบ สถานะสมดุล (หรือวัฏจักร) สามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยความเสถียรหลายประเภท

หากระบบกลับสู่สภาวะสมดุลภายใต้อิทธิพลที่เป็นไปได้ (ภายใต้การรบกวนใด ๆ ) สมดุลจะถูกเรียก ยั่งยืนแน่นอน. ตัวอย่างเช่น ลูกตุ้ม

หากระบบภายใต้การรบกวนกลับเข้าสู่สภาวะสมดุลจากบริเวณใดบริเวณหนึ่งเท่านั้น สมดุลจะถูกเรียก มั่นคงในส่วนนี้. ในที่นี้ ตัวอย่างจะเป็นก้อนอิฐ ซึ่งถ้าเอียงเล็กน้อยก็จะกลับคืนสู่สภาพเดิม และหากเอียงมากเกินไป อิฐก็จะตกลงมา

หากหลังจากผลกระทบต่อระบบ ยังคงสถานะใหม่ที่เกิดจากผลกระทบนี้ ระบบจะถูกเรียก มั่นคงไม่แยแส. ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือจานกลมที่สม่ำเสมอซึ่งติดตั้งบนเพลาและเคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลาง

ในกรณีอื่นๆ ระบบไม่เสถียร

ในระบบไซเบอร์เนติกส์ที่ซับซ้อน ขึ้นอยู่กับลักษณะของปัญหาที่กำลังศึกษาและประเภทของการรบกวน เสนอให้ใช้วิธีการต่างๆ ในการกำหนดความเสถียร (เกณฑ์ความเสถียร) หนึ่งในวิธีการเหล่านี้ที่แพร่หลายคือการกำหนดความเสถียรที่เสนอโดยนักวิทยาศาสตร์ Lyapunov: สันนิษฐานว่าวัตถุบางอย่าง (ระบบ ระบบควบคุมอัตโนมัติ) อธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์

ความเสถียรของพฤติกรรมของระบบ ตามกฎแล้วเป็นคุณสมบัติเชิงบวกที่ช่วยให้มั่นใจถึงการทำงานตามจุดประสงค์ตามปกติและคงไว้ซึ่งความสมบูรณ์ในสภาวะที่รุนแรง อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี ความเสถียรสะท้อนถึงความเฉื่อย ความเฉื่อยของระบบ ซึ่งจำกัดความสามารถในการจัดการสิ่งเหล่านี้

ความเสถียรเป็นคุณสมบัติของทั้งระบบโดยรวม และไม่ใช่ในส่วนใดส่วนหนึ่งของระบบ ระบบที่ประกอบด้วยระบบย่อยที่เสถียรหลายระบบอาจกลายเป็นไม่เสถียรและในทางกลับกัน เมื่อระบบย่อยที่ไม่เสถียรจำนวนหนึ่งรวมกัน ระบบที่เสถียรอาจเกิดขึ้น ขึ้นอยู่กับวิธีการของการเชื่อมโยงดังกล่าว

ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องความมั่นคงคือแนวคิด สภาวะสมดุลหรือ สภาวะสมดุล(จากภาษากรีก homeo - เท่ากับ, ชะงักงัน - สถานะ) แต่เดิมใช้ในชีววิทยาซึ่งหมายถึงการรักษาความมั่นคงของพารามิเตอร์ที่จำเป็นของร่างกาย (อุณหภูมิ, ความดัน, องค์ประกอบของเลือด, ฯลฯ ) ในปัจจุบัน สภาวะสมดุลเป็นคุณสมบัติของระบบ เมื่อมีปฏิสัมพันธ์กับสภาพแวดล้อมภายนอก เพื่อรักษาพารามิเตอร์ที่จำเป็นภายในขอบเขตที่กำหนด

เพื่อแสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์ของสภาวะสมดุล นักประสาทวิทยาชาวอังกฤษ W.R. Ashby ได้สร้างแบบจำลองแอนะล็อก ซึ่งเขาเรียกว่าโฮโมสแตท ซึ่งมีแม่เหล็กหมุนได้ 4 ตัวที่เปลี่ยนความต้านทานของโพเทนชิโอมิเตอร์เหลว 4 ออนซ์ระหว่างการหมุน

ระบบเศรษฐกิจและคุณสมบัติของมัน

ระบบเศรษฐกิจเป็นกรณีพิเศษของระบบไดนามิกที่ซับซ้อน

ระบบเศรษฐกิจถูกกำหนดให้เป็นระบบย่อยเชิงหน้าที่ของสังคมซึ่งดำเนินการผลิต แจกจ่าย และบริโภคสินค้าวัสดุ แผนผังสามารถแสดงได้ดังนี้:

ผลของการใช้แรงงานเพื่อสังคมทำให้ทรัพยากรธรรมชาติกลายเป็นสินค้าวัสดุที่สังคมบริโภค ดังนั้น สังคมที่เกี่ยวข้องกับระบบย่อยทางเศรษฐกิจของการเปลี่ยนแปลงทรัพยากร (ระบบการผลิต) ทำหน้าที่เป็นสมาคมผู้ผลิต ในอีกแง่หนึ่งในฐานะสมาคมของผู้บริโภคที่กำหนดข้อกำหนดบางประการสำหรับสินค้าที่เป็นวัตถุ - การแบ่งประเภท ปริมาณ และคุณภาพ

ผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบค่าพารามิเตอร์ของความต้องการทางสังคมและการผลิตสินค้าวัตถุจริง กล่าวคือ ความแตกต่างระหว่างความต้องการทางสังคมกับความเป็นไปได้ของความพึงพอใจ เป็นสิ่งจูงใจสำหรับการพัฒนาเศรษฐกิจ ซึ่งดำเนินการในกระบวนการจัดการ อย่างไรก็ตาม ในกระบวนการจัดการ ไม่เพียงแต่ผลลัพธ์ที่เรียบง่ายของการเปรียบเทียบดังกล่าวเท่านั้นที่จะรับรู้ แต่ยังรวมถึงเป้าหมายที่สังคมพัฒนาขึ้นและกำหนดโดยปัจจัยทางสังคมและการเมืองจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในรูปแบบทางสังคมหนึ่งๆ โดยเฉพาะ และส่วนใหญ่อยู่ในรูปแบบของความเป็นเจ้าของ ของวิธีการผลิต

ระบบเศรษฐกิจมีลักษณะดังนี้:

มีความซับซ้อนมาก เนื่องจากมีการเชื่อมโยงข้อมูลและเนื้อหาที่หลากหลายและค่อนข้างแข็งแกร่งระหว่างระบบย่อยและองค์ประกอบของระบบ

ระบบเศรษฐกิจมีลักษณะที่ต่อเนื่อง เป็นไดนามิก และในระดับมหภาค จะไม่เกิดการพัฒนาซ้ำๆ ในการเปรียบเทียบ ตัวอย่างเช่น กับ ระบบชีวภาพ. ดังนั้นหากสายพันธุ์ของสัตว์หรือพืชในกระบวนการวิวัฒนาการเปลี่ยนแปลงไปในช่วง 1,000, 10,000 หรือมากกว่านั้น วิธีการผลิต ความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจอาจได้รับการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญและแม้กระทั่งซ้ำแล้วซ้ำอีกในช่วงชีวิตของคนรุ่นหนึ่ง

ระบบเศรษฐกิจได้รับผลกระทบอย่างต่อเนื่องจากปัจจัยทางธรรมชาติและสังคม และผลกระทบเหล่านี้ส่วนใหญ่ไม่ได้กำหนดขึ้นเอง แต่เป็นแบบสุ่มในธรรมชาติ ดังนั้น การกระจายทรัพยากรธรรมชาติ สถานะของสภาพอากาศ และปัจจัยด้านสิ่งแวดล้อมอื่นๆ สามารถคาดการณ์ได้ในระดับที่แน่นอนเท่านั้น ในทางกลับกัน คำจำกัดความของความต้องการของสังคมสำหรับสินค้าที่เป็นวัตถุก็สามารถแก้ไขได้ด้วยการประเมินทางสถิติเท่านั้น ทั้งนี้เนื่องมาจากความซับซ้อนและความแปรปรวนของความต้องการและรสนิยมของสมาชิกแต่ละคนในสังคม อิทธิพลของแฟชั่น และประชากรธรรมชาติทางสถิติ ซึ่งกำหนดความต้องการเชิงปริมาณของสังคมและขนาดของทรัพยากรแรงงาน การคาดการณ์ของการพัฒนาวิทยาศาสตร์ ความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของการค้นพบ การประดิษฐ์และการปรับปรุงบางอย่าง ประสิทธิผลของการแนะนำอุปกรณ์และเทคโนโลยีใหม่สู่การผลิตนั้นส่วนใหญ่ไม่แน่นอนเช่นกัน

หนึ่งในหน้าที่ที่สำคัญที่สุดของระบบเศรษฐกิจคือระบบการผลิต และด้วยเหตุนี้ หนึ่งในระบบย่อยหลักคือระบบการผลิต

ในระบบการผลิต ส่วนประกอบวัสดุและวัสดุมีการเปลี่ยนแปลง - ทรัพยากรธรรมชาติเป็นสินค้าวัสดุสำหรับการบริโภคของประชาชน

ในระบบการผลิตและตามโครงสร้างการผลิตและเทคโนโลยีคุณสมบัติลำดับชั้นค่อนข้างชัดเจน เมื่ออธิบายโครงสร้างแบบลำดับชั้น จำเป็นต้องคำนึงถึงทั้งแนวตั้ง (ภาค) และแนวนอน (ภูมิภาค) ของการก่อตัวของโครงสร้าง ในขณะที่องค์ประกอบหลัก กล่าวคือ ลิงค์ของระดับต่ำสุดของลำดับชั้นคือ การดำเนินงานทางเทคโนโลยีเบื้องต้น

การพิจารณาเพิ่มเติมของพวกเขาไม่มีความหมายทางเศรษฐกิจและสังคมเนื่องจากนำไปสู่การศึกษาคุณสมบัติทางสรีรวิทยาแล้ว สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม ระดับสูงลำดับชั้น ได้แก่ ร้านค้า สถานประกอบการ ศูนย์การผลิต อุตสาหกรรม ฯลฯ ระบบย่อยของระบบการผลิตแบบลำดับชั้นเชื่อมต่อกันโดยหลักโดยการไหลของวัสดุ (วัตถุดิบ ช่องว่าง ผลิตภัณฑ์กึ่งสำเร็จรูป ส่วนประกอบ ผลิตภัณฑ์สำเร็จรูป ฯลฯ)

ในเวลาเดียวกัน การไหลของข้อมูลบางอย่างสามารถเชื่อมโยงกับการไหลของวัสดุแต่ละอย่างได้ จากหน่วยผลิต ระดับต่ำลำดับชั้นข้อมูลเกี่ยวกับความสามารถในการผลิตและการนำไปปฏิบัติจะถูกส่งไปยังหน่วยงานวางแผนของลำดับที่สูงขึ้น - สมาคมอุตสาหกรรมซึ่งในทางกลับกันจะโอนไปยังหน่วยงานกำกับดูแลของรัฐ

หลังใช้การเชื่อมต่อจากบนลงล่างส่งงานธุรการและคำสั่งและพารามิเตอร์บางอย่างของการทำงานทางเศรษฐกิจ

นอกจากปัญหาด้านโครงสร้างการผลิตและระบบเศรษฐกิจแล้ว ปัญหาด้านโครงสร้างพื้นฐานยังมีบทบาทสำคัญอีกด้วย ภายใต้ โครงสร้างพื้นฐานในระบบเศรษฐกิจ พวกเขาเข้าใจถึงจำนวนรวมของอุตสาหกรรมและกิจกรรมที่อยู่นอกวงจรการผลิตหลัก ซึ่งให้บริการแก่ภาคการผลิตและภาคที่ไม่ใช่การผลิตของเศรษฐกิจ ซึ่งจะทำให้การทำงานเป็นปกติ สาขาหลักของการผลิตวัสดุและการพัฒนากองกำลังการผลิต

โครงสร้างพื้นฐานประกอบด้วย:

การขนส่งและการสื่อสาร

สถาบันวิทยาศาสตร์และสถาบันการศึกษา

สาธารณูปโภค

สถาบันวัฒนธรรม เป็นต้น

คุณสมบัติของระบบเศรษฐกิจเน้นคุณสมบัติ กิจกรรมการผลิตองค์กรที่เกี่ยวข้องกับระบบนี้ ดังนั้นคุณลักษณะของระบบเศรษฐกิจเกษตรกรรมจึงเป็นไปตามคุณลักษณะของการผลิตทางการเกษตร คุณลักษณะอย่างหนึ่งของการผลิตทางการเกษตรคือการผลิตจะดำเนินการที่นี่ด้วยวิธีเดียว นั่นคือ การสังเคราะห์ทางชีววิทยาด้วยความช่วยเหลือของพืชที่ปลูกในดินธรรมชาติ

ต่างจากวิธีการผลิตเช่นเครื่องจักร อาคาร ซึ่งอาจมีการสึกหรอและต้องมีการเปลี่ยน ทรัพยากรการผลิตเช่นถ่านหิน น้ำมัน แร่ สำรองที่หมดลง ที่ดิน ถ้าจัดการอย่างถูกต้อง สามารถ ในทางตรงกันข้าม เกินภาวะเจริญพันธุ์ นอกจากนี้ยังสามารถนำมาประกอบกับ ทรัพยากรธรรมชาติ: ป่า, สัตว์โลก, สต๊อกปลา เป็นต้น

คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของการผลิตทางการเกษตรคือวัฏจักรของมัน และวัฏจักรเหล่านี้อาจยาวนานมาก: ในการเกษตรตั้งแต่ 1 ปีถึง 2 ปีหรือมากกว่านั้น ในพืชสวนและการเลี้ยงสัตว์มานานกว่าสิบปี ในระหว่างรอบการผลิต มีบางสถานการณ์ที่ช่วงเวลาที่จำเป็นสำหรับการแปลงวัสดุเริ่มต้นเป็น สินค้าสำเร็จรูป,ไม่ตรงกับช่วงเวลาที่ต้องใช้แรงงานกระทบ. ดังนั้นกระบวนการหลักของการเจริญเติบโตและการสุกของเมล็ดพืชจึงเกิดขึ้นโดยแทบไม่ต้องใช้แรงงานเนื่องจากอิทธิพลจากธรรมชาติ สิ่งแวดล้อม- ความชื้นในบรรยากาศและรังสีดวงอาทิตย์ และเนื่องจากปัจจัยเหล่านี้กลายเป็นความไม่แน่นอนอย่างมากในแต่ละปี และไม่สามารถคล้อยตามการพยากรณ์ระยะยาว ความสุ่มเสี่ยงและความเป็นไปไม่ได้ของการวางแผนที่แม่นยำในลักษณะของการผลิตทางการเกษตรจึงถูกนำมาใช้

กระบวนการทางเทคโนโลยีของการผลิตทางอุตสาหกรรมและทางการเกษตรนั้นแตกต่างกันอย่างมาก

วี การผลิตภาคอุตสาหกรรมวัตถุดิบวัตถุที่ใช้แรงงานตามกฎมีมวลทั้งหมดของผลิตภัณฑ์ที่ผลิตเช่นสำหรับการผลิตรถยนต์จำเป็นต้องจัดหาโลหะช่องว่างและวัสดุอื่น ๆ ในปริมาณที่เหมาะสม ในขณะเดียวกัน วัสดุเริ่มต้นสำหรับการผลิตทางการเกษตรจะมีน้ำหนักน้อยกว่ามากโดยน้ำหนักของวัสดุตั้งต้น ธาตุ เช่น เมล็ดพืช ซึ่งมีเฉพาะตัวอ่อนของวัตถุทางชีวภาพในอนาคตและบางส่วน จำนวนเงินขั้นต่ำสารอาหารที่จำเป็นสำหรับ ชั้นต้นการพัฒนาของพวกเขา ในอนาคต มวลของผลิตภัณฑ์ที่ผลิตได้ถูกสร้างขึ้นจากการเติบโตและการพัฒนาตามธรรมชาติของพืชและสัตว์ และการดูดซึมส่วนผสมที่จำเป็นจากสภาพแวดล้อมภายนอก (ดิน อากาศ ปุ๋ย ฯลฯ) คุณลักษณะของการผลิตทางการเกษตรนี้เป็นอีกปัจจัยหนึ่งของความสุ่มตัวอย่าง

ปัจจัยหลักที่ระบุไว้ทั้งหมดและปัจจัยอื่นๆ ที่มีนัยสำคัญน้อยกว่าจำนวนหนึ่งทำให้ยากต่อการบรรลุผลในการเกษตรที่มีจังหวะ การจัดองค์กร ประสิทธิภาพสูงการใช้เทคโนโลยีที่ทันสมัยและเครื่องมืออัตโนมัติ

PAGE\*MERGEFORMAT 14

บรรยาย #4

ความเสถียรของ ACS

คุณสมบัติของระบบที่จะกลับสู่สถานะเดิมหลังจากการขจัดสิ่งรบกวนออกไปเรียกว่าความเสถียร

คำนิยาม.

Curves 1 และ 2 ระบุลักษณะของระบบที่เสถียร ส่วน Curve 3 และ 4 แสดงถึงคุณลักษณะของระบบที่ไม่เสถียรε

ระบบ 5 และ 6 บนขอบของความเสถียร 5 - ระบบเป็นกลาง 6 - ขีด จำกัด ความเสถียรของการแกว่ง

ให้สมการอนุพันธ์ SAC ในรูปตัวดำเนินการมีรูปแบบ

แล้วคำตอบของสมการอนุพันธ์ (การเคลื่อนที่ของระบบ) ประกอบด้วยสองส่วน การเคลื่อนที่แบบบังคับในลักษณะเดียวกับการป้อนข้อมูล

ในกรณีที่ไม่มีรากหลายตัวโดยที่Cผม -ค่าคงที่การรวมที่กำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้น

 1 ,  2 …,  n คือรากของสมการคุณลักษณะ

ที่ตั้งของรากของคุณลักษณะ

สมการระบบบนระนาบเชิงซ้อน

รากของสมการคุณลักษณะไม่ได้ขึ้นอยู่กับชนิดของการรบกวนหรือบน

เงื่อนไขเริ่มต้นและถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ a . เท่านั้น 0 , а 1 , а 2 ,…,а n นั่นคือพารามิเตอร์และโครงสร้างของระบบ

1 - รูทเป็นของจริง มากกว่าศูนย์

2 รูทของจริงน้อยกว่าศูนย์

3-root เท่ากับศูนย์;

4- สองศูนย์ราก;

รากคอนจูเกตที่ซับซ้อน 5 สองตัวซึ่งมีส่วนจริงคือ

เชิงบวก;

รากคอนจูเกตที่ซับซ้อน 6- สองอันซึ่งส่วนจริงเป็นค่าลบ

7- สองรากคอนจูเกตจินตภาพ

วิธีวิเคราะห์ความเสถียร:

1. เส้นตรง (ขึ้นอยู่กับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์)
2. ทางอ้อม (เกณฑ์ความมั่นคง)

ทฤษฎีบทของ A.M. ยาปูนอฟ

ทฤษฎีบทที่ 1

ทฤษฎีบท 2

หมายเหตุ:

1. หากรากของสมการคุณลักษณะมีศูนย์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ระบบจะไม่เสถียร
2. หากหนึ่งรูทเป็นศูนย์ และรูทอื่นทั้งหมดอยู่ในครึ่งระนาบด้านซ้าย ระบบก็จะเป็นกลาง
3. ถ้าราก 2 รากเป็นคอนจูเกตจินตภาพ และรากอื่นๆ ทั้งหมดอยู่ในระนาบด้านซ้าย ระบบจะอยู่บนขอบเขตการสั่นของความเสถียร

เกณฑ์ความเสถียรของ ACS

เกณฑ์ความเสถียรคือกฎที่ให้คุณค้นหาความเสถียรของระบบโดยไม่ต้องคำนวณรากของสมการลักษณะเฉพาะ

ในปี พ.ศ. 2420 ติดตั้ง Rous:

1. เกณฑ์ความมั่นคง Hurwitz

เกณฑ์นี้ได้รับการพัฒนาในปี พ.ศ. 2438

ให้กำหนดสมการคุณลักษณะของระบบปิด: สมการถูกลดรูปลงเพื่อให้ a0 >0.

เราเขียนตัวกำหนด Hurwitz หลักโดย กฎถัดไป:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเขียนตามเส้นทแยงมุมหลัก โดยเริ่มจากคอลัมน์ที่สองจนถึงคอลัมน์สุดท้าย คอลัมน์ที่ขึ้นจากเส้นทแยงมุมจะเต็มไปด้วยสัมประสิทธิ์ที่มีดัชนีเพิ่มขึ้น และคอลัมน์ที่ลงมาจากเส้นทแยงมุมจะเต็มไปด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่มีดัชนีลดลง ในกรณีที่ไม่มีสัมประสิทธิ์ใดๆ ในสมการและแทนค่าสัมประสิทธิ์ที่มีดัชนีน้อยกว่า 0 และมากกว่า n เขียนศูนย์

เราแยกแยะผู้เยาว์ในแนวทแยงหรือตัวกำหนดที่ง่ายที่สุดในดีเทอร์มิแนนต์หลักของ Hurwitz:

การกำหนดเกณฑ์

สำหรับระบบที่อยู่เหนือลำดับที่สอง นอกเหนือจากค่าบวกของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะแล้ว จะต้องเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

1. สำหรับระบบลำดับที่สาม:
2. สำหรับระบบลำดับที่สี่:
3. สำหรับระบบลำดับที่ห้า:

1. สำหรับระบบของลำดับที่หก:

ตัวอย่าง. มีการกำหนดสมการลักษณะเฉพาะเพื่อตรวจสอบความเสถียรของระบบตาม Hurwitz

เพื่อระบบที่ยั่งยืน จำเป็น

2. เกณฑ์ Routh

เกณฑ์ Routh ใช้ในการศึกษาความเสถียรของระบบระดับสูง

ถ้อยคำของเกณฑ์:

โต๊ะรูท.

อัลกอริทึมสำหรับการเติมตาราง: ในบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง สัมประสิทธิ์ของสมการที่มีดัชนีคู่และคี่จะถูกเขียน องค์ประกอบของแถวที่เหลือคำนวณตามกฎต่อไปนี้:

ข้อดีของเกณฑ์คือสามารถศึกษาความเสถียรของระบบในลำดับใดก็ได้

2. เกณฑ์ความมั่นคง Nyquist

หลักการโต้แย้ง

พื้นฐานของวิธีความถี่คือหลักการโต้แย้ง

มาวิเคราะห์คุณสมบัติของพหุนามของแบบฟอร์มกัน:

ที่ไหน  i - รากของสมการ

บนระนาบเชิงซ้อน แต่ละรูตสอดคล้องกับจุดที่กำหนดไว้อย่างดี ในทางเรขาคณิต แต่ละรากi สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุด i : | i | - ความยาวเวกเตอร์, argi - มุมระหว่างเวกเตอร์กับทิศทางบวกของแกน x ให้เราแมป D(p) ลงในปริภูมิฟูริเยร์ แล้วที่ไหน j - i เป็นเวกเตอร์เบื้องต้น

จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์พื้นฐานอยู่บนแกนจินตภาพ

เวกเตอร์โมดูโลและอาร์กิวเมนต์ (เฟส)

ทิศทางการหมุนของเวกเตอร์ทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นบวก แล้วเมื่อเปลี่ยน จากเวกเตอร์พื้นฐานทุกตัว (เจ  -  i ) จะหมุนเป็นมุม + , ถ้า  i อยู่ในระนาบครึ่งด้านซ้าย

ให้ D ( )=0 มี m รากในครึ่งระนาบขวาและน-m หยั่งรากทางซ้ายจากนั้นก็เพิ่มขึ้น จากการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ของเวกเตอร์ D(j ) (มุมการหมุน D(j ) เท่ากับผลรวมของการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ของเวกเตอร์พื้นฐาน) จะเป็น

หลักการโต้แย้ง:

เกณฑ์ Nyquist ขึ้นอยู่กับลักษณะความถี่ของวงจรเปิดของ ACS เนื่องจากความเสถียรของระบบปิดสามารถตัดสินได้จากรูปแบบของลักษณะความถี่ของวงจรเปิด

เกณฑ์ Nyquist พบว่ามีการนำไปใช้อย่างกว้างขวางในการปฏิบัติงานด้านวิศวกรรมด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

1. ความเสถียรของระบบในสถานะปิดนั้นศึกษาโดยฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่ของวงจรเปิด และฟังก์ชันนี้ส่วนใหญ่มักประกอบด้วยปัจจัยง่ายๆ ค่าสัมประสิทธิ์คือพารามิเตอร์ที่แท้จริงของระบบ ซึ่งทำให้สามารถเลือกค่าสัมประสิทธิ์จากสภาวะความเสถียรได้
2. เพื่อศึกษาความเสถียร เราสามารถใช้คุณลักษณะความถี่ที่ได้รับจากการทดลองขององค์ประกอบที่ซับซ้อนที่สุดของระบบ (วัตถุของการควบคุม หน่วยงานบริหาร) ซึ่งช่วยเพิ่มความแม่นยำของผลลัพธ์ที่ได้รับ
3. LFC สามารถศึกษาความเสถียรได้ ซึ่งการสร้างนั้นไม่ยาก
4. สะดวกในการกำหนดระยะขอบเสถียรภาพ

1. ระบบเสถียรในสถานะเปิด

ให้เราแนะนำฟังก์ชั่นเสริมและเปลี่ยน p  j  แล้ว

ตามหลักการโต้แย้ง การเปลี่ยนแปลงในการโต้แย้ง D(j ) และ D s (j  ) ที่ 0<  <  เท่ากับ นั่นคือโฮโดกราฟว 1 (จ  ) ต้องไม่ครอบคลุมจุดกำเนิด

เพื่อให้การวิเคราะห์และการคำนวณง่ายขึ้น เราจะเปลี่ยนจุดกำเนิดของเวกเตอร์รัศมีจากจุดกำเนิดไปยังจุด (-1,เจ 0) แต่แทนที่จะเป็นฟังก์ชันตัวช่วยว 1 (จ  ) เราใช้ open-loop AFC W (เจ  ).

การกำหนดเกณฑ์ #1

ตัวอย่าง.

โปรดทราบว่าความแตกต่างระหว่างจำนวนการเปลี่ยนแปลงเชิงบวกและเชิงลบของ AFC อยู่ทางด้านซ้ายของจุด (-1, j 0) เท่ากับศูนย์

2. ระบบที่มีขั้วบนแกนจินตภาพในสถานะเปิด

เพื่อวิเคราะห์ความเสถียรของระบบ AFC จะมีการเสริมด้วยวงกลมรัศมีขนาดใหญ่อนันต์ที่ 0 ทวนเข็มนาฬิกาเป็นครึ่งแกนจริงที่เป็นบวกที่ขั้วศูนย์ และในกรณีของรากจินตภาพล้วนๆ - ครึ่งวงกลมตามเข็มนาฬิกาที่จุดที่ไม่ต่อเนื่องของ AFC

การกำหนดเกณฑ์ #2

1. ระบบวงจรเปิดไม่เสถียร

กรณีทั่วไปมากขึ้น - ตัวหารของฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ open-loop ประกอบด้วยรูตที่อยู่ในระนาบครึ่งทางขวา การปรากฏตัวของความไม่เสถียรของระบบ open-loop เกิดจากสาเหตุสองประการ:

1. ผลที่ตามมาของการมีอยู่ของลิงก์ที่ไม่เสถียร
2. ผลที่ตามมาของการสูญเสียความเสถียรของลิงก์ที่ครอบคลุมโดยข้อเสนอแนะในเชิงบวกหรือเชิงลบ

X แม้ว่าตามทฤษฎีแล้ว ระบบทั้งหมดในสถานะปิดสามารถมีเสถียรภาพได้เมื่อมีความไม่เสถียรตามลูปป้อนกลับในพื้นที่ ในทางปฏิบัติกรณีดังกล่าวไม่พึงปรารถนาและควรหลีกเลี่ยง โดยพยายามใช้เฉพาะการตอบกลับภายในที่มีเสถียรภาพเท่านั้น สิ่งนี้อธิบายได้จากการมีอยู่ของคุณสมบัติที่ไม่ต้องการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การปรากฏตัวของความเสถียรตามเงื่อนไข ซึ่งโดยปกติความไม่เชิงเส้นมักปรากฏอยู่ในระบบ ในบางโหมดอาจนำไปสู่การสูญเสียความเสถียรและลักษณะที่ปรากฏของการสั่นในตัวเอง ดังนั้น ตามกฎแล้ว เมื่อทำการคำนวณระบบ ระบบจะเลือกการตอบกลับในพื้นที่ดังกล่าวซึ่งจะมีเสถียรภาพโดยเปิดคำติชมหลักไว้.

ให้พหุนามลักษณะเฉพาะด(p ) ของระบบเปิดมีม รากที่มีส่วนจริงที่เป็นบวก

แล้ว

ฟังก์ชั่นเสริมเมื่อเปลี่ยนพี  เจ  ตามหลักการโต้แย้งสำหรับระบบปิดที่เสถียรควรมีการเปลี่ยนแปลงในการโต้แย้งเมื่อ

การกำหนดเกณฑ์ #3

ถ้อยคำของ Ya.Z. Tsypkina

เกณฑ์ Nyquist สำหรับ LFC

หมายเหตุ: การตอบสนองเฟสของ LFC ของระบบ astatic เสริมด้วยส่วนเสียงเดียว + /2 ที่  0

มั่นคงแน่นอนเรียกว่าระบบที่คงความเสถียรไว้โดยที่เกนของวงจรเปิดลดลง มิฉะนั้น ระบบจะมีความเสถียรตามเงื่อนไข

ระบบที่สามารถทำให้เสถียรโดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์เรียกว่าโครงสร้างมีเสถียรภาพมิฉะนั้นโครงสร้างไม่เสถียร

อัตรากำไรจากความยั่งยืน

สำหรับการทำงานปกติ ACS ใดๆ จะต้องถูกลบออกจากขอบเขตความเสถียรและมีระยะขอบความเสถียรเพียงพอ นี่เป็นสิ่งจำเป็นด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

1. สมการขององค์ประกอบ ACS นั้น มักจะถูกทำให้เป็นอุดมคติ เมื่อรวบรวมแล้ว ปัจจัยรองจะไม่ถูกนำมาพิจารณา
2. เมื่อสมการถูกทำให้เป็นเส้นตรง ความคลาดเคลื่อนของการประมาณจะเพิ่มขึ้นด้วย
3. พารามิเตอร์ขององค์ประกอบถูกกำหนดด้วยข้อผิดพลาดบางประการ
4. พารามิเตอร์ขององค์ประกอบประเภทเดียวกันมีการแพร่กระจายทางเทคโนโลยี
5. ระหว่างการใช้งาน พารามิเตอร์ขององค์ประกอบจะเปลี่ยนไปตามอายุ

ในทางปฏิบัติของการคำนวณทางวิศวกรรม ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากที่สุดคือการกำหนดขอบเสถียรภาพตามเกณฑ์ NIEQUIST โดยการลบ AFC ของระบบ open-loop ออกจากจุดวิกฤตที่มีพิกัด (-1,เจ 0) ซึ่งประเมินโดยตัวบ่งชี้สองตัว: ระยะขอบความเสถียรของเฟส และโมดูโลระยะขอบเสถียรภาพ (แอมพลิจูด)ชม.

เพื่อให้ ACS มีระยะขอบความมั่นคงอย่างน้อย และ H , AFC ของวงจรเปิด ในขณะที่เป็นไปตามเกณฑ์ความเสถียร ไม่ควรเข้าไปในส่วนของวงแหวนที่แรเงาในรูปที่ 1 ที่ไหนชม ถูกกำหนดโดยอัตราส่วน

หาก LFC กำหนดความเสถียรของระบบที่เสถียรตามเงื่อนไขแล้ว ให้รับประกันระยะขอบอย่างน้อย และ h จำเป็นเพื่อ:

ก) ที่ ชั่วโมง  L  - h ลักษณะเฟสความถี่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันθ > -180  +  หรือ θ< -180  -  , เช่น. ไม่ได้เข้าไปในพื้นที่แรเงา 1 ในรูปที่ 2;

b) ที่ -180  +   θ  -180  -  ลักษณะแอมพลิจูด - ความถี่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันหลี่< - h или L >ชม , เช่น. ไม่ได้เข้าไปในพื้นที่แรเงา 2" และ 2"" ในรูปที่ 2

สำหรับระบบที่เสถียรอย่างแน่นอน ระยะขอบของความเสถียร และ h ถูกกำหนดตามที่แสดงในรูปที่ 3:

1. ระยะขอบ

1. Margin modulo h =- L (ω -π ) โดยที่ ω -π – ความถี่ที่ θ=-180˚ .

ค่าที่ต้องการของระยะขอบความมั่นคงขึ้นอยู่กับคลาส ACS และข้อกำหนดสำหรับคุณภาพของการควบคุม ประมาณควรจะเป็น =30  60  และ h =6  20dB

ระยะขอบความเสถียรขั้นต่ำที่อนุญาตในแอมพลิจูดต้องมีอย่างน้อย 6 dB (นั่นคือสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนของระบบเปิดน้อยกว่าค่าวิกฤตสองเท่า) และในเฟสอย่างน้อย 25 30 .

ความเสถียรของระบบที่มี Pure Delay Link

หาก AFC วงเปิดผ่านจุด (-1,เจ 0) จากนั้นระบบก็ใกล้จะมีเสถียรภาพ

ระบบที่มีความล่าช้าบริสุทธิ์สามารถทำให้เสถียรได้หากมีการเชื่อมโยงแบบเฉื่อยที่มีค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนน้อยกว่า 1 ในวงจร อุปกรณ์แก้ไขประเภทอื่น ๆ ก็เป็นไปได้เช่นกัน

โครงสร้างมีความเสถียรและโครงสร้างไม่เสถียร

วิธีหนึ่งในการเปลี่ยนคุณภาพของระบบ (ในแง่ของความเสถียร) คือการเปลี่ยนอัตราส่วน open-loop

เมื่อเปลี่ยน k L ( ) จะขึ้นหรือลง ถ้า k เพิ่มขึ้น L ( ) เพิ่มขึ้นและ  cf จะเพิ่มขึ้นและระบบจะไม่เสถียร ถ้า k ลดลงทำให้ระบบมีเสถียรภาพ นี่เป็นวิธีหนึ่งในการแก้ไขระบบ

ระบบที่สามารถทำให้เสถียรได้โดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของระบบเรียกว่า STRUCTURALY STABLE

สำหรับระบบเหล่านี้ มีอัตราส่วน open-loop ที่สำคัญเค คริ - นี่เป็นค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนเมื่อระบบใกล้จะมีเสถียรภาพ

มีระบบที่ไม่เสถียรที่มีโครงสร้าง - เป็นระบบที่ไม่สามารถทำให้เสถียรได้โดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของระบบ แต่จำเป็นต้องเปลี่ยนโครงสร้างของระบบเพื่อความเสถียร

ตัวอย่าง.

พิจารณาสามกรณี:

1. อนุญาต

แล้ว

มาตรวจสอบความเสถียรของระบบกัน

Δ \u003d a 3 Δ 2\u003e 0

เพื่อกำหนด k rs.cr. เท่ากับศูนย์ 2 .

แล้ว

เมื่ออยู่ที่

ระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีความเสถียรเชิงโครงสร้าง เนื่องจากสามารถทำให้เสถียรได้โดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของลิงก์

1. ให้เหมือนกับในกรณีแรก

ขณะนี้ไม่มีข้อผิดพลาดคงที่ในช่องควบคุม

เงื่อนไขความเสถียรของ Hurwitz:

ให้  2 =0 ถ้าอย่างนั้นระบบไม่เสถียร

ระบบนี้ที่มี Astatism ลำดับที่ 1 มีความเสถียรเชิงโครงสร้าง

1. อนุญาต

ระบบไม่เสถียรอยู่เสมอ ระบบนี้มีโครงสร้างไม่เสถียร

หน่วยงานกลางของการขนส่งทางรถไฟ

สหพันธรัฐรัสเซีย

งบประมาณของรัฐบาลกลาง สถาบันการศึกษา

การศึกษาระดับมืออาชีพที่สูงขึ้น

มหาวิทยาลัยสื่อสารแห่งรัฐปีเตอร์สเบิร์ก

แผนกลากจูงไฟฟ้า

Yakushev A.Ya. , Vikulov I.P. , Tsaplin A.E.

อิทธิพลของพารามิเตอร์ ACS

ด้านความมั่นคงและคุณภาพของกฎระเบียบ

แนวทางปฏิบัติสำหรับ งานห้องปฏิบัติการ

เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

วัตถุประสงค์ -การศึกษาพารามิเตอร์หลักและความสัมพันธ์ที่กำหนดความเสถียรและคุณสมบัติไดนามิกของระบบควบคุมอัตโนมัติ (ACS) โดดเด่นด้วยประเภทของกระบวนการชั่วคราวของการเปลี่ยนตัวแปรเอาต์พุตภายใต้อิทธิพลที่รบกวน

แผนภาพโครงสร้างของ ACS

การวิเคราะห์คุณสมบัติไดนามิกของระบบควบคุมอัตโนมัติมักจะทำการวิเคราะห์ตามแผนภาพบล็อกหรือใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ คุณสมบัติไดนามิกได้รับการประเมินตามการตอบสนองของตัวแปรเอาต์พุต ญ(ท)ในรูปแบบของฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงของระบบสำหรับการเปลี่ยนแปลงขั้นตอนในการขับขี่D ก×1(t)หรือรบกวนD ซ×1(ท)ผลกระทบ .

โครงร่างโครงสร้างเรียกว่าโครงร่างที่ประกอบด้วยฟังก์ชันการถ่ายโอนของผู้ปฏิบัติงานของลิงก์ทิศทางที่สร้างระบบควบคุมอัตโนมัติ พื้นฐานสำหรับการวาดแผนภาพบล็อกคือแผนภาพการทำงานของ ACS (รูปที่ 1, a) และลักษณะไดนามิกขององค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบ ลักษณะไดนามิกขององค์ประกอบการทำงานในแผนภาพบล็อกแสดงโดยฟังก์ชันการถ่ายโอนของผู้ปฏิบัติงาน (รูปที่ 1b) อิทธิพลการตั้งค่า กรัม (เสื้อ)อิทธิพลรบกวน ซี(t),ตัวแปรเอาต์พุต ญ(ท)บนไดอะแกรมบล็อกจะแสดงด้วยภาพตัวดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงขั้นสุดท้าย , ดี กรัม(p),ดี ซี(พี),ดี ใช่(p)เทียบกับระดับที่กำหนดไว้ เปลี่ยนตัวแปรเอาต์พุต D ใช่(p)ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการถ่ายโอนของผู้ปฏิบัติงานของระบบปิดตามการตั้งค่า D กรัม(p)รบกวนD ซี(พี)อิทธิพล

ลักษณะไดนามิกขององค์ประกอบเชิงหน้าที่ของ ACS ในกรณีส่วนใหญ่สามารถแสดงได้ด้วยลิงก์แบบ aperiodic ของลำดับที่ 1 เช่นเดียวกับลิงก์ที่ขยายแบบไม่เฉื่อย ลักษณะขององค์ประกอบการทำงานที่ซับซ้อนมากขึ้นสามารถแสดงด้วยลิงก์ตั้งแต่สองลิงก์ขึ้นไป

กระดาษศึกษากระบวนการชั่วคราวของการควบคุมอัตโนมัติภายใต้อิทธิพลที่รบกวนD Z=1(เสื้อ)เกี่ยวกับระบบควบคุมอัตโนมัติที่ง่ายที่สุด ในบล็อกไดอะแกรม (รูปที่ 1, b) องค์ประกอบการทำงานของระบบภายใต้การศึกษา: วัตถุควบคุม, แอคทูเอเตอร์, องค์ประกอบป้อนกลับจะแสดงด้วยลิงก์ aperiodic ของลำดับที่ 1 พารามิเตอร์ไดนามิกขององค์ประกอบการทำงานแสดงไว้: ตู่ op , T yiwu , T oc - ค่าคงที่เวลา , , , - ปัจจัยการขยาย ในระบบที่กำลังศึกษา ใช้ตัวควบคุมที่มีกฎหมายควบคุมตามสัดส่วน โดยมีลักษณะเป็นค่าเกน ดังนั้น การวิเคราะห์อิทธิพลของพารามิเตอร์ของระบบควบคุมอัตโนมัติต่อความเสถียรและรูปแบบของกระบวนการชั่วคราวของการเปลี่ยนตัวแปรเอาท์พุตจึงดำเนินการสัมพันธ์กับระบบลำดับที่ 3 ซึ่งประกอบด้วยลิงค์ขยายสัญญาณและลิงค์ aperiodic ของ คำสั่งที่ 1

อิทธิพลของพารามิเตอร์ ACS ต่อความเสถียร

ความเสถียรของระบบควบคุมอัตโนมัติคือความสามารถของระบบภายใต้อิทธิพลของปัจจัยที่ก่อกวนเพื่อเข้าสู่สภาวะสมดุลเมื่อเวลาผ่านไป แยกแยะระหว่างความเสถียรแบบสถิตและไดนามิก

มั่นใจเสถียรภาพแบบสถิตโดยการมีข้อเสนอแนะหลักเชิงลบและไม่มีผลบวกในท้องถิ่น ข้อเสนอแนะในแผนภาพบล็อกของระบบควบคุมอัตโนมัติ ดังนั้นจึงเรียกว่าความเสถียรของวงจร เงื่อนไขการวิเคราะห์เพื่อให้แน่ใจว่ามีความเสถียรคงที่ถูกกำหนดโดยค่าบวกของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปหรือสมการคุณลักษณะของระบบ เงื่อนไขนี้เรียกว่าเงื่อนไขความมั่นคงที่จำเป็น

สมการลักษณะเฉพาะคือสมการพีชคณิตซึ่งเลขชี้กำลังของตัวแปรอิสระสอดคล้องกับลำดับอนุพันธ์ของตัวแปรเอาท์พุตของสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปของระบบ:

สัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขของสมการคุณลักษณะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์อนุพันธ์ของตัวแปรเอาท์พุตของสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปของระบบควบคุมอัตโนมัติ:

สมการคุณลักษณะสามารถรับได้จากพหุนามของตัวส่วนของฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบปิด เมื่อใช้ในการวิเคราะห์บล็อกไดอะแกรมของ ACS

สำหรับระบบควบคุมอัตโนมัติที่ทำการศึกษา บล็อกไดอะแกรมที่แสดงในรูปที่ 1b, ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบปิดที่เกี่ยวกับการกระทำที่รบกวน D ซี(พี)มีรูปแบบดังนี้

(1)

ในนิพจน์ (1) หมายถึง ถึง 0 เกนทั้งหมด เท่ากับผลคูณของเกนของลิงค์ทั้งหมดที่รวมอยู่ในวงจรปิดของไดอะแกรมโครงสร้างของ ACS:

. (2)

เพื่อให้ได้สมการคุณลักษณะของระบบ จำเป็นต้องถือเอาตัวส่วนของฟังก์ชันการถ่ายโอน (1) เป็นศูนย์:

จากการเปลี่ยนแปลงนี้ ได้สมการคุณลักษณะของระบบควบคุมอัตโนมัติ ซึ่งเป็นสมการพีชคณิตของดีกรีที่สาม:

สัมประสิทธิ์ของสมการนี้ถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

. (4)

จะเห็นได้จากความสัมพันธ์ของสูตร (4) ว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ (3) เป็นบวก ดังนั้นจึงกำหนดเงื่อนไขความเสถียรที่จำเป็นไว้ กล่าวคือ ระบบควบคุมอัตโนมัติที่ได้รับการตรวจสอบมีความเสถียรทางสถิต

ในการประเมินความเสถียรแบบไดนามิก ได้มีการพัฒนาวิธีการที่กำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอ ซึ่งเรียกว่าเกณฑ์ความเสถียร หนึ่งในนั้นคือเกณฑ์เกี่ยวกับพีชคณิต Hurwitz ตามเกณฑ์ความเสถียรของ Hurwitz สภาวะของความเสถียรแบบไดนามิกของระบบอันดับสามถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของสมการลักษณะเฉพาะ (3):

จากความสัมพันธ์ (5) ตามมาว่าระบบจะมีเสถียรภาพหากระบบทั้งหมดได้รับ ซึ่งรวมอยู่ในนิพจน์ค่าสัมประสิทธิ์ 3สมการคุณลักษณะของระบบจะน้อยกว่าค่า:

.

หลังจากแทนที่นิพจน์สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ (4) ของสมการลักษณะเฉพาะและการแปลงบางส่วนลงในความไม่เท่าเทียมกันนี้แล้ว จะได้ความสัมพันธ์ของค่าเกนทั้งหมด ถึง 0 ระบบคำสั่งที่ 3 ที่เสถียร:

. (6)

กำไรที่สำคัญเรียกว่ากำไรโดยรวม ถึง 0cr กำหนดไว้สำหรับระบบลำดับที่ 3 ตามความเท่าเทียมกัน (6) ซึ่งระบบควบคุมอัตโนมัติอยู่ในสถานะขอบเขตของความเสถียร จากความสัมพันธ์ (6) ว่าถ้าค่าคงที่เวลาของลิงก์ aperiodic เท่ากัน ตู่ op =T yiwu =T oc ค่าที่น้อยที่สุดของกำไรที่สำคัญของระบบคำสั่งที่ 3 ถูกกำหนด ถึง 0cr = 8.

เมื่ออัตราส่วนของค่าคงที่เวลาเปลี่ยนแปลง อัตราขยายที่สำคัญของระบบจะเพิ่มขึ้น เช่น เมื่อ และ , ถึง 0cr = 16,8.

ความสามารถในการทำงานของระบบควบคุมอัตโนมัติไม่ได้ถูกกำหนดโดยความเสถียรเท่านั้น แต่ยังกำหนดโดยธรรมชาติที่ยอมรับได้ของกระบวนการชั่วคราวของตัวแปรเอาต์พุตภายใต้อิทธิพลที่รบกวนต่อระบบ ในทางปฏิบัติมูลค่าของกำไรทั้งหมด ถึง 0 ซึ่งธรรมชาติและระยะเวลาของกระบวนการชั่วคราวจะเป็นที่น่าพอใจ ควรน้อยกว่าค่าวิกฤตประมาณ 4 ... 5 เท่า ซึ่งหมายความว่าสำหรับอัตราส่วนของค่าคงที่เวลาที่ให้ไว้ในตัวอย่าง อัตราขยายรวมของระบบจริงที่มีทรานเซียนท์ที่น่าพอใจจะต้องอยู่ภายใน ถึง 0 =2...4.

ความเสถียรคือความสามารถของระบบในการกลับสู่โหมดปกติ หากเบี่ยงเบนจากโหมดนี้ด้วยเหตุผลบางประการ

ข้อกำหนดด้านความเสถียรเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับปืนที่ขับเคลื่อนด้วยตัวเองทั้งหมด

A.M. ให้คำจำกัดความความมั่นคงที่เข้มงวด Lyapunov ในงาน "ปัญหาทั่วไปของความเสถียรของการเคลื่อนไหว" (ปลายศตวรรษที่ 19)

ให้ไดนามิกของระบบอธิบายโดยสมการ

y - มูลค่าการส่งออก

x- ค่าอินพุต

y ( ผม ) , x ( เจ ) - อนุพันธ์

สมมติว่าในระบบนี้มีโหมดการทำงานเล็กน้อย ที่ น (t), ซึ่งถูกกำหนดโดยการกระทำอินพุตเล็กน้อย X น (t) และเงื่อนไขเริ่มต้นเล็กน้อย

(2)

เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ระบุ (2) นั้นยากต่อการรักษาในทางปฏิบัติ มีเงื่อนไขเริ่มต้นที่ "เบี่ยงเบน" ในระบบ

(3)

สำหรับโหมดเล็กน้อย สมการจะเป็นจริง:

เงื่อนไขเริ่มต้นที่ถูกปฏิเสธนั้นสอดคล้องกับโหมดที่ถูกปฏิเสธ

สำหรับโหมดเบี่ยง สมการต่อไปนี้เป็นจริง:

(6)

เราลบสมการ (4) จากสมการ (5) เราได้รับ (7)

มาแนะนำคำจำกัดความ

โหมดเรท ที่ น (t) มีเสถียรภาพตาม Lyapunovถ้าสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่เบี่ยงเบน (3) ซึ่งแตกต่างกันเพียงเล็กน้อยจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ระบุ (2) สำหรับทุก t > 0 z(t) จะเล็ก

หากระบอบการปกครองมีความเสถียรตาม Lyapunov และขีด จำกัด
จากนั้นโหมดระบุจะเรียกว่า เสถียรไม่มีอาการ.

หากมีเงื่อนไขตั้งต้น (3) ต่างจากเงื่อนไขตั้งต้นเล็กน้อยตามอำเภอใจเล็กน้อย (2) และในเวลาเดียวกัน
มีค่ามากกว่าค่าเล็ก ๆ ที่กำหนดไว้แล้วจากนั้นจึงเปลี่ยนเป็นโหมดระบุ ที่ น (t) เรียกว่า ไม่เสถียร

จาก (๗) ว่า กิริยา z(t) ไม่ขึ้นกับประเภทของอินพุตโดยสิ้นเชิง X น (t) .

ดังนั้น ข้อสรุปดังต่อไปนี้: ทั้งในระบบ (1) มีความเสถียรแบบไม่มีซีมโทติค ทั้งหมดโหมดระบุที่สอดคล้องกับอินพุตที่แตกต่างกัน X น (t), หรือพวกเขาทั้งหมดไม่เสถียร

ดังนั้น เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความเสถียรหรือความไม่เสถียรของระบบ และไม่เกี่ยวกับระบอบใด ๆ ของระบบ

นี่เป็นข้อสรุปที่สำคัญซึ่งช่วยลดปริมาณการวิจัยเกี่ยวกับ ACS

น่าเสียดาย มันใช้ได้เฉพาะกับปืนอัตตาจรเชิงเส้นเท่านั้น

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเสถียรของปืนอัตตาจรเชิงเส้น

สำหรับความเสถียรเชิงซีมโทติกของระบบเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่รากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ

จะมีส่วนจริงเชิงลบ

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

1. ให้รากมีจริง.

ที่

- และนี่คือส่วนเบี่ยงเบนจากโหมดระบุ

2. ถ้ารากนั้นซับซ้อน.

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความมั่นคง

สำหรับความเสถียรเชิงซีมโทติกของระบบ (1), (8) จำเป็นที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะต้องมีเครื่องหมายเหมือนกัน

การตีความทางเรขาคณิตของสภาวะความมั่นคง

เพื่อความเสถียรของ ACS จำเป็นและเพียงพอที่รากของสมการคุณลักษณะจะอยู่ในระนาบครึ่งด้านซ้ายของระนาบเชิงซ้อนของราก

เกณฑ์ความเสถียรของ ACS

นี่เป็นวิธีการประดิษฐ์ที่ช่วยให้สามารถตอบคำถามเกี่ยวกับความเสถียรของ ACS ได้โดยไม่ต้องหารากของสมการคุณลักษณะ กำหนดสัญญาณของส่วนที่แท้จริงของราก

เกณฑ์ความยั่งยืนสองประเภท:

หนึ่ง). เกณฑ์ความเสถียรของพีชคณิต (เกณฑ์ความเสถียรของ Hurwitz)

ให้สมการลักษณะเฉพาะ

เพื่อความเสถียรของ ACS มีความจำเป็นและเพียงพอ:

หนึ่ง). เพื่อให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะจะมีเครื่องหมายเหมือนกัน -
(
ระบบไม่เสถียร)

2). ดีเทอร์มิแนนต์หลักของ Hurwitz ที่รวบรวมตามกฎเกณฑ์หนึ่ง และเส้นทแยงมุมย่อยทั้งหมดจะมีเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ - จะมากกว่าศูนย์

กฎสำหรับการเขียนคำจำกัดความหลักของ Hurwitz

หนึ่ง). สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะจะอยู่ที่เส้นทแยงมุมหลักของดีเทอร์มีแนนต์โดยเรียงจากน้อยไปมากของดัชนี เริ่มจาก เอ 1 .

2). ตำแหน่งในดีเทอร์มีแนนต์เหนือเส้นทแยงมุมหลักจะเต็มไปด้วยสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะโดยเรียงจากน้อยไปมากของดัชนี

3). ตำแหน่งในดีเทอร์มีแนนต์ใต้เส้นทแยงมุมหลักจะเต็มไปด้วยสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะโดยเรียงจากมากไปหาน้อยของดัชนี

4). ตำแหน่งในดีเทอร์มีแนนต์ที่สัมประสิทธิ์ที่มีดัชนีมากกว่า นและน้อยกว่า ศูนย์,เต็มไปด้วยศูนย์

ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ Hurwitz หลักจึงมีรูปแบบดังนี้:

A=
>0

ACS มีเสถียรภาพถ้า

หนึ่ง). สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะมีค่ามากกว่าศูนย์ ( 0!)

,
, ….

2). ดีเทอร์มิแนนต์หลักของ Hurwitz และผู้เยาว์ในแนวทแยงทั้งหมด > 0

,
,
, ….

พิจารณาตัวอย่าง

1.

1.

2.

สำหรับความเสถียรของ ACS อันดับสอง เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเสถียรคือค่าบวกของสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะ

1.
ผม=0…3

2.

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเสถียรของระบบลำดับที่สามคือค่าบวกของสัมประสิทธิ์และผลคูณของเงื่อนไขภายใน
ต้องมากกว่าผลคูณของเงื่อนไขสุดขั้ว
สมการคุณลักษณะ

,

,
,

นอกจากนี้ยังมีเกณฑ์เกี่ยวกับพีชคณิต Routh นี่เป็นเกณฑ์เดียวกันกับ Hurwitz แต่จัดในลักษณะที่สะดวกในการใช้เพื่อสร้างโปรแกรมเพื่อกำหนดความเสถียร

เกณฑ์ความเสถียรของ Vyshnegradsky สำหรับระบบลำดับที่สาม

Vyshnegradsky I.A. เสนอให้พรรณนาขอบเขตความมั่นคงบนระนาบพารามิเตอร์ Vyshnegradskii ที่เรียกว่า

ให้เราได้สมการคุณลักษณะของดีกรีที่สาม

ลองแปลงโดยใช้การแทนที่:

จากนั้นจะมีรูปแบบดังนี้

อา 1 และอา 2 เรียกว่าพารามิเตอร์ Vyshnegradsky (ปริมาณไร้มิติ) ในระนาบที่มีการสร้างขอบเขตความมั่นคง

ให้เราใช้เกณฑ์ความเสถียรของ Hurwitz กับสมการที่แปลงแล้ว

หรือ อา 1 อา 2 > 1

บนขอบของความมั่นคง
.

จากที่นี่
- สมการบนขอบเขตความมั่นคง

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะใช้เพื่อกำหนด อา 1 และ อา 2 . หากจุดอยู่ต่ำกว่าไฮเปอร์โบลา แสดงว่า ACS เสถียร หากจุดนั้นสูงกว่า แสดงว่าไม่เสถียร

7.1. แนวคิดเรื่องความมั่นคงของ ACS

แนวคิดเรื่องความเสถียรเป็นการประเมินคุณภาพที่สำคัญที่สุดของคุณสมบัติไดนามิกของ ACS ความเสถียรของ ACS นั้นสัมพันธ์กับธรรมชาติของพฤติกรรมหลังจากสิ้นสุดอิทธิพลภายนอก ซึ่งสามารถประมาณได้โดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายการทำงานของระบบ ทฤษฎีทั่วไปของความมั่นคงได้รับการพัฒนาโดย A.M. ยาปูนอฟ ระบบเชิงเส้นตรงมีความเสถียรหากพิกัดเอาต์พุตยังคงถูกจำกัดสำหรับการดำเนินการอินพุตใดๆ ที่จำกัดด้วยค่าสัมบูรณ์ ความเสถียรของระบบเชิงเส้นตรงถูกกำหนดโดยคุณลักษณะและไม่ขึ้นอยู่กับอิทธิพลที่แสดง
ในกรณีทั่วไป การแก้สมการจะมีรูปแบบดังนี้ y(t)= y B (t) + y n (เสื้อ)
โดยที่ y B (t) คือคำตอบของสมการเอกพันธ์ (องค์ประกอบชั่วคราวหรือองค์ประกอบอิสระ) y n (t) - ค่าคงที่ของตัวแปรควบคุม (องค์ประกอบบังคับ) - คำตอบของสมการทางด้านขวา ความเสถียรของระบบถูกกำหนดโดยส่วนประกอบชั่วคราว หากองค์ประกอบชั่วคราวของกระบวนการควบคุมหลังจากการสิ้นสุดอิทธิพลภายนอกมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แสดงว่าระบบดังกล่าวมีเสถียรภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเสถียรของระบบคือการลดทอนของกระบวนการชั่วคราว
หากองค์ประกอบอิสระมีแนวโน้มที่จะมีค่าจำกัดหรือมีรูปแบบของความผันผวนฮาร์มอนิกที่มีแอมพลิจูดคงที่ ระบบจะถือว่าเป็นกลาง ในกรณีที่ส่วนประกอบอิสระเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดหรือมีรูปแบบของการสั่นของฮาร์มอนิกที่มีแอมพลิจูดเพิ่มขึ้น ระบบจะถือว่าไม่เสถียร
การประเมินความเสถียรขึ้นอยู่กับผลการศึกษาองค์ประกอบอิสระ ซึ่งเป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์ (สมการลักษณะ): D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
องค์ประกอบการเปลี่ยนแปลงของการแก้ปัญหาของสมการในรูปแบบทั่วไป y ni (t) = A i e α i t * บาป(β i t + φ i)โดยที่ α i ± jβ i เป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ A i ,Φ i เป็นค่าคงที่
ในกรณีนี้ ส่วนประกอบชั่วคราวมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์พร้อมกับเวลาที่เพิ่มขึ้น หากส่วนจริงของราก α i เป็นค่าลบ มิฉะนั้น แอมพลิจูดของความผันผวนของส่วนประกอบชั่วคราวจะเพิ่มขึ้น (รูปที่ 4.1)

รูปที่ 4.1 กราฟของส่วนประกอบชั่วคราว

รากจินตภาพคู่หนึ่ง (α i =0) ของสมการคุณลักษณะทำให้ได้องค์ประกอบชั่วคราวในรูปแบบของการสั่นในตัวเองด้วยแอมพลิจูดคงที่:

รากที่ได้จากสมการคุณลักษณะสามารถแสดงเป็นจุดบนระนาบเชิงซ้อนได้ (รูปที่ 4.2.)

รูปที่ 4.2 ตำแหน่งของราก ACS บนระนาบเชิงซ้อนของรูต

สำหรับระบบที่เสถียร จำเป็นและเพียงพอที่รากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะจะอยู่ทางด้านซ้ายของแกนจินตภาพของระนาบเชิงซ้อนของราก ถ้าอย่างน้อยหนึ่งรูทจริงหรือคู่ของคอนจูเกตที่ซับซ้อนอยู่ทางด้านขวาของแกนจินตภาพ ระบบจะไม่เสถียร หากมีศูนย์รูทหรือคู่ของรากจินตภาพล้วนๆ ระบบจะถือว่าเป็นกลาง (ตั้งอยู่บนขอบเขตของความเสถียรและความไม่เสถียร) ดังนั้น แกนจินตภาพของระนาบเชิงซ้อนจึงเป็นขอบเขตของความเสถียร

เพื่อให้การวิเคราะห์ความเสถียรของระบบง่ายขึ้น จึงมีการพัฒนาวิธีการพิเศษจำนวนหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าเกณฑ์ความเสถียร เกณฑ์ความเสถียรแบ่งออกเป็นสองประเภท: พีชคณิต (เกณฑ์ Hurwitz) และความถี่ (เกณฑ์ มิคาอิโลวาและ Nyquist). เกณฑ์เกี่ยวกับพีชคณิตเป็นเกณฑ์เชิงวิเคราะห์ และเกณฑ์ความถี่เป็นเกณฑ์เชิงกราฟิค เกณฑ์ความเสถียรยังทำให้สามารถประเมินอิทธิพลของพารามิเตอร์ระบบที่มีต่อความเสถียรได้อีกด้วย

เกณฑ์เกี่ยวกับพีชคณิต Hurwitz ใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ SAR เริ่มแรก เมทริกซ์ของดีเทอร์มีแนนต์หลักรวบรวมจากสัมประสิทธิ์ของสมการ (4.1):

บนเส้นทแยงมุมของเมทริกซ์จากมุมบนซ้าย สัมประสิทธิ์สมการ (4.1.) ทั้งหมดจะถูกเขียนตามลำดับ โดยเริ่มจาก a1 จากนั้นแต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์จะเสริมในลักษณะที่ดัชนีของสัมประสิทธิ์เพิ่มขึ้นจากเส้นทแยงมุมและลดลงด้านล่าง
เพื่อความเสถียรของระบบ มันจำเป็นและเพียงพอที่สำหรับ a0>0 ดีเทอร์มิแนนต์เชิงมุมทั้งหมด (รองลงมา) ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน กล่าวคือ

ฯลฯ

ดีเทอร์มิแนนต์ Hurwitz สุดท้าย ดังที่เห็นจากเมทริกซ์ด้านบน คือ Δ n =a n *Δ n-1 ดังนั้น ค่าความเป็นบวกจะลดลงสำหรับ Δ n-1 >0 เป็นเงื่อนไข a n >0 สำหรับระบบของลำดับที่หนึ่งและสอง เกณฑ์ของ Hurwitz จะลดค่าสัมประสิทธิ์ ai ให้เป็นค่าบวก หากดีเทอร์มีแนนต์ Δ n =0 แสดงว่าระบบอยู่บนขอบเขตของความเสถียร จากเงื่อนไข Δ n-1 =0 เป็นไปได้ที่จะกำหนดพารามิเตอร์ที่ระบบอยู่บนขอบเขตของความเสถียร ตัวอย่างเช่น อัตราขยายวิกฤตของ ACS K cr ที่เปิดอยู่

เกณฑ์ของ Mikhailov เกี่ยวข้องกับการสร้างโฮโดกราฟบนระนาบที่ซับซ้อน ในการสร้าง hodograph จากสมการคุณลักษณะของระบบปิด (4.1) โดยการแทนที่ p=jω จะได้นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับเวกเตอร์ M(jω)
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
สมการ (4.2) มีความซับซ้อนและสามารถแสดงเป็น:

โฮโดกราฟถูกสร้างขึ้นตามสมการของเวกเตอร์ M(jω) เมื่อความถี่เปลี่ยนจาก 0 เป็น + ความเสถียรของระบบประเมินโดยมุมการหมุนของโฮโดกราฟเมื่อเปลี่ยนความถี่ 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)

, (4.3)

โดยที่ m คือจำนวนรากด้านขวาของพหุนามลักษณะเฉพาะ n คือลำดับของสมการคุณลักษณะของระบบ
จากนั้น เพื่อความเสถียรของระบบเชิงเส้นตรงของลำดับที่ n จำเป็นและเพียงพอที่การเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ hodograph M(jω) เมื่อเปลี่ยนจาก 0 เป็น + เท่ากับ n เนื่องจาก m=0 เพื่อให้มั่นใจถึงความเสถียรของ ระบบ.
เกณฑ์ของมิคาอิลอฟมีการกำหนดดังนี้: ระบบมีความเสถียรหากมิคาอิลอฟโฮโดกราฟ M(jω) เมื่อเปลี่ยนจาก 0 เป็น + เริ่มจากส่วนบวกของแกนจริง ตามลำดับ n จตุภาคในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) และ ในจตุภาคที่ n ไปที่
หากโฮโดกราฟเริ่มต้นที่จุดศูนย์ของระนาบเชิงซ้อนหรือผ่านจุดนี้ด้วยความถี่ที่แน่นอน ระบบจะถือว่าระบบเป็นกลาง ในกรณีนี้ P(ω) = 0 และ Q(ω) = 0
จากสมการเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดค่าของพารามิเตอร์ที่ระบบอยู่บนขอบเขตความเสถียร (ค่าวิกฤต) รูปที่ 4.3 แสดง hodograph ของ Mikhailov สำหรับ ACS ที่เสถียรและไม่เสถียร

รูปที่ 4.3 โฮโดกราฟของมิคาอิลอฟ

มีสูตรที่สองของเกณฑ์ Mikhailov: เพื่อความเสถียรของระบบมีความจำเป็นและเพียงพอที่รากของสมการ P(ω) = 0 และ Q(ω) = 0 ทางเลือก (ทางเลือก) เช่น โฮโดกราฟข้ามแกนของระนาบเชิงซ้อนตามลำดับ สะดวกในการใช้สูตรนี้เพื่อศึกษาความเสถียรของระบบจนถึงลำดับที่ 5 สมการ (4.3) สามารถใช้กำหนดจำนวนรูทที่ถูกต้องในระบบที่ไม่เสถียร

เกณฑ์ Nyquist เป็นเกณฑ์ความถี่ที่ช่วยให้สามารถประเมินความเสถียรของระบบวงปิดได้โดยรูปแบบของการตอบสนองความถี่แอมพลิจูดเฟสของระบบวงเปิด สามารถรับ AFC ได้ทั้งแบบทดลองและแบบวิเคราะห์ การสร้างการวิเคราะห์ของ AFC ดำเนินการโดยวิธีการทั่วไป เกณฑ์ Nyquist นั้นกำหนดขึ้นแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่าระบบ open-loop นั้นเสถียรหรือไม่
หากระบบเปิดมีเสถียรภาพดังนั้นเพื่อความเสถียรของระบบปิดจึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่ AFC ของระบบเปิดจะไม่ครอบคลุมจุดที่มีพิกัด -I, j0 เมื่อความถี่เปลี่ยนจาก 0 เป็น หาก AFC ของระบบเปิดผ่านจุดที่มีพิกัด -I, j0 ระบบก็จะเป็นกลาง รูปที่ 4.4 แสดง AFC ของระบบสแตติกแบบเปิด เกณฑ์ Nyquist ทำให้สามารถติดตามผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ของฟังก์ชันการถ่ายโอนบนความเสถียรของระบบด้วยสายตา

รูปที่ 4.4 AFC ของ ACS ที่เปิดอยู่

AFC ของระบบ astatic ซึ่งเริ่มต้นจากครึ่งแกนบวกจริง ที่ ω->0 เคลื่อนที่โดยส่วนโค้งที่มีรัศมีขนาดใหญ่อย่างไม่มีที่สิ้นสุดเป็นมุมเท่ากับ -ν โดยที่ ν คือลำดับของภาวะ Astaticism รูปที่ 4.5 แสดง AFC ของระบบ astatic อันดับ 1 ที่เสถียรในสถานะปิด

รูปที่ 4.5 AFC ของ astatic ACS ของคำสั่งแรก

หากระบบเปิดไม่เสถียรเพื่อความเสถียรของระบบปิดจึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่ AFC ของระบบเปิดครอบคลุมจุดด้วยพิกัด (-1, j0) และเมื่อความถี่เปลี่ยนจาก 0 เป็นรอบ มันทวนเข็มนาฬิกา m ครั้ง โดยที่ m คือจำนวนเสาขวาระบบเปิด
ACS มีสองประเภท: เสถียรแน่นอนและเสถียรตามเงื่อนไข ในระบบระดับเฟิร์สคลาส การเพิ่มขึ้นของเกนของระบบ open-loop เท่านั้นที่สามารถนำไปสู่การสูญเสียความเสถียร และระบบที่เสถียรตามเงื่อนไขอาจไม่เสถียรทั้งที่มีการเพิ่มขึ้นและลดลงในการได้รับ
สำหรับระบบที่เสถียรอย่างยิ่ง แนวคิดของขอบเสถียรภาพในแอมพลิจูด (โมดูลัส) และระยะขอบเสถียรภาพในเฟสถูกนำมาใช้ ระยะขอบของความเสถียรถูกกำหนดที่ความถี่ตัด ω เฉลี่ย โดยที่ A(ω เฉลี่ย)=1
ค่าความคงตัวของแอมพลิจูดถูกกำหนดโดยค่า 1/a (รูปที่ 4.6) ซึ่งแสดงจำนวนครั้งของการเพิ่มขึ้นของระบบ open-loop เพื่อให้ ACS อยู่บนขอบเขตความเสถียร

รูปที่ 4.6 AFC ของระบบที่เสถียรอย่างยิ่ง

ระยะขอบความเสถียรของเฟสถูกกำหนดโดยมุมหนึ่ง φ (รูปที่ 4.6) ในระบบที่มีการหน่วงที่ดี ระยะขอบความเสถียรของแอมพลิจูดจะอยู่ที่ประมาณ 6-20 เดซิเบล ซึ่งเท่ากับ 2÷10 บนสเกลเชิงเส้น และระยะขอบเฟสอยู่ระหว่าง 30 ถึง 60°
วิธีที่สะดวกที่สุดในการศึกษาความมั่นคงคือการใช้ L.A.Ch. และ L.P.H. วางไว้ใต้กันและกันเพื่อให้แกนพิกัดอยู่ในแนวเดียวกันและเลือกมาตราส่วนเดียวกันของแกน abscissa (รูปที่ 4.7)

รูปที่ 4.7 LFC ของระบบที่เสถียรอย่างยิ่ง

ตาม LFC ของระบบเปิด เป็นไปได้ที่จะกำหนดระยะขอบเสถียรภาพ: ระยะขอบ φ zap ถูกนับตาม LFC ที่ความถี่ตัด ω เฉลี่ย และเท่ากับ φ zap =π - φ(ω เฉลี่ย) และระยะขอบในแอมพลิจูด L zap สอดคล้องกับค่าของ l.a.h ที่ความถี่ที่ L.F.H. เท่ากับ -π (รูปที่ 4.7) ถ้า φ(ω ср)=-&pi แสดงว่าระบบอยู่ในขอบเขตของความเสถียร อัตราขยายที่สำคัญของระบบ open-loop K kr ถูกกำหนดจากนิพจน์ 20*lg(K kr)=20*lg(K ครั้ง) + L app
สะดวกในการใช้เกณฑ์ Nyquist เพื่อศึกษาความเสถียรของระบบด้วยความล่าช้า ในกรณีนี้ LFC ของ ACS แบบเปิดที่มีความล่าช้า W τ (jω) = W(jω) * e -jωτ จะถูกสร้างขึ้น การตอบสนองความถี่ลอการิทึมไม่เปลี่ยนแปลง และค่า L.F.H. เลื่อนลง -ω i τ โดยที่ ω i คือค่าความถี่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ค่าวิกฤตของเวลาดีเลย์บริสุทธิ์ τcr ซึ่ง ACS จะอยู่ที่ขอบเขตความเสถียร ถูกพบโดยสูตร:
ในการออกแบบระบบด้วยตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพที่กำหนด พื้นที่ต้องห้ามถูกสร้างขึ้นรอบ ๆ จุดที่มีพิกัด (-1, j0) ซึ่งไม่ควรรวมการตอบสนองเฟส open-loop ดังแสดงในรูปที่ 4.8

7.5. เกณฑ์ความถี่ลอการิทึม

เกณฑ์ลอการิทึมเป็นเกณฑ์ความถี่ที่ทำให้สามารถตัดสินความเสถียรของ ACS แบบปิดได้โดยใช้รูปแบบของลักษณะลอการิทึมของระบบเปิด เกณฑ์นี้อิงจากความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่าง LPFC และ AFC ของระบบควบคุมอัตโนมัติ ในขณะเดียวกันก็พิจารณาระบบควบคุมอัตโนมัติตามการใช้ระบบเปิดที่เสถียร นอกจากนี้ยังพิจารณาระบบที่มีภาวะ astaticism ไม่สูงกว่าลำดับที่สอง

จากเกณฑ์ความเสถียร Nyquist ใน ACS ที่เสถียร การเปลี่ยนเฟสสามารถเข้าถึงค่าได้ก็ต่อเมื่อโมดูลของฟังก์ชันการถ่ายโอนที่ซับซ้อนน้อยกว่าความสามัคคี ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบความเสถียรด้วยรูปแบบของ LAFC และ LPFC

สูตรเกณฑ์: เพื่อความเสถียรของระบบในสถานะปิด จำเป็นและเพียงพอที่ในช่วงความถี่ที่ LAFC ของระบบเปิดมากกว่าศูนย์ จำนวนการเปลี่ยนลักษณะเฟสของเส้นตรงจากด้านล่างขึ้นด้านบน เกินจำนวนการเปลี่ยนจากบนลงล่าง โดยที่ a คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะของระบบเปิดที่อยู่ในระนาบครึ่งทางขวา

ในกรณีเฉพาะสำหรับระบบ open-loop ที่เสถียร (a=0) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับระบบ Closed-loop คือความต้องการที่จะปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ในช่วงความถี่ที่ การตอบสนองความถี่เฟสไม่ควรข้ามเส้นตรงหรือข้ามเป็นจำนวนเท่ากันจากล่างขึ้นบนและจากบนลงล่าง

ข้าว. 6. LPFC ของ ACS ที่เสถียรและไม่เสถียร

ค่าวิกฤตของสัมประสิทธิ์การแปลงคือค่าที่เอเอฟซีผ่านจุด (-1, j0) และระบบอยู่บนขอบเขตความเสถียร

ระยะขอบแบบโมดูโลคือค่าในหน่วยเดซิเบลซึ่งต้องเปลี่ยนสัมประสิทธิ์การแปลง ACS เพื่อให้มีความเสถียร

,

โดยที่ความถี่ที่ลักษณะเฉพาะของเฟสคือ .

ระยะขอบความเสถียรของเฟสคือมุมที่ต้องหมุนคุณลักษณะเฟสแอมพลิจูดของระบบวงเปิดเพื่อให้ ACS แบบปิดอยู่ที่ขอบเขตความเสถียร

,

โดยที่ค่าของการตอบสนองเฟสที่ความถี่ตัดของระบบซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข