Sub stabilitatea sau stabilitatea sistemuluiîn sens larg, proprietatea unui sistem este înțeleasă de a reveni la o anumită stare de echilibru sau mod după ce a fost perturbată de unii factori externi sau interni.

Sistemul poate fi caracterizat printr-un comportament foarte complex, se modifică continuu, dar unii dintre parametrii săi pot rămâne constanți. În acest caz, putem vorbi despre stabilitatea sistemului în raport cu acești parametri.

De exemplu, la studierea proceselor dintr-un circuit oscilator, s-a constatat că, indiferent de valorile inițiale ale tensiunii și curentului, indiferent dacă există oscilații amortizate sau neamortizate, frecvența acestora în acest circuit rămâne întotdeauna neschimbată și este determinată. de parametrii circuitului. Acest lucru dă dreptul de a numi unui birou oscilator un sistem care este stabil în raport cu frecvența oscilațiilor naturale.

Din punct de vedere al sensului, conceptele de echilibru și staționaritate (stări de echilibru, proces staționar) sunt apropiate de conceptul de stabilitate. Cu toate acestea, aceste concepte au o semnificație mai restrânsă, specială. Astfel, conceptul de stabilitate a unui sistem folosit uneori, ca abilitatea sa de a se strădui de la diverse stări inițiale la o stare de echilibru, staționară, este, de asemenea, mai restrâns, mai particular.

Conținutul principal al teoriei stabilității este: studii asupra influenței influențelor perturbatoare asupra comportamentului sistemului, în timp ce factorii perturbatori sunt de obicei înțeleși ca forțe care sunt de obicei necunoscute în prealabil, care, atât datorită incertitudinii lor, cât și datorită micimii lor relative în comparație cu forțele principale, nu sunt luate în considerare la descrierea mișcărilor sistemului.

Un alt exemplu de stabilitate a comportamentului unui sistem este ciclicitatea acestuia.

comportament ciclic se numește astfel atunci când sistemul, în absența perturbațiilor, trece periodic în mod repetat prin aceeași succesiune de stări - un set stabil de stări.

În ceea ce privește unele perturbații care acționează asupra sistemului, starea lui de echilibru (sau ciclul) poate fi caracterizată prin mai multe tipuri de stabilitate.

Dacă sistemul revine la o stare de echilibru sub orice influență posibilă asupra sa (sub orice perturbații), atunci echilibrul se numește absolut durabil. De exemplu, un pendul.

Dacă sistemul, sub perturbații, revine la starea de echilibru doar dintr-o anumită zonă, atunci echilibrul se numește stabilă în această zonă. Aici, un exemplu ar fi o cărămidă, care, dacă este înclinată puțin, va reveni la starea ei, iar dacă este înclinată prea mult, va cădea.

Dacă, după un impact asupra sistemului, acesta păstrează o nouă stare cauzată de acest impact, atunci sistemul este apelat indiferent de stabil. Cel mai simplu exemplu este un disc rotund uniform, montat pe o osie, care trece prin centrul acestuia.

În toate celelalte cazuri, sistemul este instabil.

În sistemele cibernetice complexe, în funcție de natura problemelor studiate și de tipul perturbației, se propune utilizarea diferitelor metode de determinare a stabilității (criterii de stabilitate). Una dintre aceste metode, care a devenit larg răspândită, este determinarea stabilității propusă de omul de știință Lyapunov: se presupune că un obiect (sistem control automat) este descrisă de un sistem de ecuații diferențiale.

Stabilitatea comportamentului sistemelor, de regulă, este o proprietate pozitivă care asigură funcționarea normală a acestora și păstrarea integrității în condiții extreme. Cu toate acestea, în unele cazuri, stabilitatea reflectă inerția, inerția sistemului, ceea ce limitează capacitatea de a le gestiona.

Stabilitatea este o proprietate a întregului sistem ca întreg și nu a unei anumite părți a acestuia. Un sistem format din mai multe subsisteme stabile se poate dovedi a fi instabil și invers: atunci când un anumit număr de subsisteme instabile sunt combinate, poate apărea un sistem stabil, în funcție de metoda unei astfel de asocieri.

Strâns legat de conceptul de stabilitate este conceptul homeostaziei sau homeostaziei(din greaca homeo - egal, staza - o stare), folosit inițial în biologie, unde însemna menținerea constantă a parametrilor esențiali ai organismului (temperatura, presiunea, compoziția sângelui etc.). În prezent, homeostazia este proprietatea unui sistem, atunci când interacționează cu mediul extern, de a menține parametrii esențiali în anumite limite specificate.

Pentru a ilustra fenomenul homeostaziei, neurofiziologul englez W.R. Ashby a construit un model analog, pe care l-a numit homeostat, care conține 4 magneți rotativi care modifică rezistența potențiometrelor lichide de 4ox în timpul rotației lor.

Sistemele economice și caracteristicile acestora

Sistemele economice sunt un caz special de sisteme dinamice complexe.

sistem economic este definit ca un subsistem funcțional al societății în care se realizează producția, distribuția și consumul de bunuri materiale. Schematic poate fi reprezentat astfel:

Ca urmare a aplicării muncii sociale, resursele naturale sunt transformate în bunuri materiale consumate de societate, astfel, societatea, în raport cu subsistemul economic de transformare a resurselor (sistemul de producție), acționează pe de o parte ca o asociație de producători. , pe de alta ca o asociatie de consumatori care formeaza anumite cerinte pentru bunurile materiale - sortimentul, cantitatea si calitatea acestora.

Rezultatul comparării parametrilor nevoilor sociale și bunurilor materiale efectiv produse, adică diferența dintre nevoia socială și posibilitatea satisfacerii acesteia, este un stimulent pentru dezvoltarea economiei, implementat în procesul de management. Cu toate acestea, în procesul de management, nu sunt realizate doar rezultatele simple ale unei astfel de comparații, ci și scopurile dezvoltate de societate și determinate de o serie de factori socio-politici inerenți unei anumite formațiuni sociale și, în primul rând, sub forma proprietății. a mijloacelor de producţie.

Sistemele economice se caracterizează printr-un număr dintre următoarele caracteristici:

Sunt foarte complexe, datorită prezenței legăturilor materiale și informaționale multiple și destul de puternice între subsisteme și elemente ale sistemului.

Sistemele economice se caracterizează prin evoluții continue, dinamice și, la scară macro, care nu se repetă în comparație, de exemplu, cu sisteme biologice. Deci, dacă speciile de animale sau plante aflate în proces de evoluție se modifică pe o perioadă de 1000, 10000 sau mai mulți ani, atunci metodele de producție, relațiile economice pot suferi modificări semnificative și chiar repetate în timpul vieții unei generații de oameni.

Sistemele economice sunt afectate continuu de factori naturali și de societate, iar aceste impacturi sunt în mare parte nedeterministe, dar de natură stocastică. Astfel, distribuția resurselor naturale, starea vremii și alți factori de mediu nu pot fi prezise decât cu un anumit grad de certitudine. La rândul său, definirea nevoilor societății pentru bunuri materiale este, de asemenea, susceptibilă doar de evaluări statistice. Acest lucru se datorează complexității și variabilității nevoilor și gusturilor individuale ale membrilor societății, influenței modei și demografiei naturale statistice, care determină nevoile cantitative ale societății și mărimea resurselor de muncă. Previziunile dezvoltării științei, posibilitatea apariției anumitor descoperiri, invenții și îmbunătățiri, eficacitatea introducerii în producție a noilor echipamente și tehnologii sunt, de asemenea, în mare măsură incerte.

Una dintre cele mai importante funcții ale sistemelor economice este producția și, în consecință, unul dintre principalele subsisteme este sistemul de producție.

În sistemul de producţie se transformă componente materiale şi materiale – resursele naturale în bunuri materiale destinate consumului public.

În sistemul de producție și, în consecință, în structura producției și tehnologice, proprietățile ierarhice sunt destul de clar exprimate. La descrierea structurii sale ierarhice, este necesar să se țină seama atât de aspectele verticale (sectoriale) cât și de cele orizontale (regionale) ale formării structurii, în timp ce elementele primare, adică verigile celui mai de jos nivel al ierarhiei, sunt operatii tehnologice elementare.

Considerarea lor ulterioară nu are sens socio-economic, deoarece conduce deja la studiul proprietăților fiziologice. Pentru mai mult niveluri înalte ierarhiile sunt magazine, întreprinderi, complexe de producție, industrii etc. Subsistemele unui sistem ierarhic de producție sunt interconectate în primul rând prin fluxuri de materiale (materii prime, semifabricate, semifabricate, componente, produse finite etc.).

În același timp, fiecărui flux de material poate fi asociat un anumit flux de informații. Deci de la unitatea de producție nivel inferior ierarhie, informații despre capacitățile de producție și implementarea lor sunt transmise organismelor de planificare de ordin superior - asociații, industrii, care, la rândul lor, le transferă organelor de conducere ale statului.

Acestea din urmă, folosind conexiuni de sus în jos, transmit sarcini administrative și directive și anumiți parametri de funcționare economică.

Alături de problemele structurii sistemelor de producție și economice, problemele infrastructurii acestora joacă un rol important. Sub infrastructurăîn economie ei înțeleg totalitatea industriilor și activităților care sunt externe ciclului principal de producție, deservesc sectoarele de producție și neproducție ale economiei, asigurând astfel funcționarea normală. Principalele ramuri ale producției materiale și dezvoltarea forțelor productive.

Infrastructura include:

Transport si comunicatii

Instituții științifice și instituții de învățământ

Utilități

Instituțiile culturale etc.

Caracteristicile sistemelor economice evidențiază caracteristicile activitati de productieîntreprinderilor legate de acest sistem. Deci trăsăturile sistemului economic agrar decurg din trăsăturile producției agricole. Una dintre caracteristicile producției agricole este că producția se desfășoară aici într-un singur mod, adică sinteza biologică cu ajutorul plantelor crescute în sol natural.

Spre deosebire de mijloacele de producție precum mașinile, clădirile, care sunt supuse uzurii și necesită înlocuire, resursele de producție precum cărbunele, petrolul, minereul, ale căror rezerve sunt epuizate, terenurile, dacă sunt gestionate corespunzător, pot, dimpotrivă, depășește fertilitatea acestuia. De asemenea, poate fi atribuit resurse naturale: paduri, lumea animală, stocuri de pește etc.

O altă caracteristică a producției agricole este ciclicitatea acesteia, iar aceste cicluri pot fi foarte lungi: în agricultură de la un an la 2 sau mai mulți ani, în horticultură și creșterea animalelor de mai bine de o duzină de ani. În timpul ciclului de producție, există situații în care intervalele de timp necesare pentru transformarea materiei prime în produs finit, nu coincide cu intervalele de timp care necesită impactul muncii. Deci, procesul principal de creștere și coacere a culturilor de cereale are loc aproape fără aplicarea forței de muncă din cauza influențelor naturale. mediu inconjurator- umiditatea atmosferică și radiația solară. Și deoarece acești factori se dovedesc a fi foarte instabili de la an la an și nici măcar nu sunt susceptibili de previziuni pe termen lung, sunt introduse astfel stocasticitatea și imposibilitatea unei planificări precise în natura producției agricole.

Procesele tehnologice ale producției industriale și agricole sunt semnificativ diferite.

ÎN productie industriala materiile prime, obiectele de muncă, de regulă, conțin întreaga masă a produsului care se produce, de exemplu, pentru fabricarea unei mașini, este necesar să se aprovizioneze instalația cu o cantitate adecvată de metal, semifabricate și alte materiale. Între timp, materialul de pornire pentru producția agricolă este doar mult mai puțin în greutate față de materialul de pornire, elemente, cum ar fi semințele, care conțin doar embrionii viitorului obiect biologic și unele cantitate minimă nutrientii necesari pentru stadiul inițial dezvoltarea lor. Pe viitor, masa produsului produs este creată ca urmare a creșterii și dezvoltării naturale a plantelor și animalelor și a asimilării ingredientelor necesare din mediul extern (sol, aer, îngrășământ etc.). Această caracteristică a producției agricole este un alt factor al stocasticității sale.

Toți factorii principali enumerați și o serie de alți factori mai puțin semnificativi fac dificilă realizarea în agricultură a acelui ritm, organizare, Eficiență ridicată utilizarea tehnologiei moderne și a instrumentelor de automatizare.

PAGINA\*MERGEFORMAT 14

Prelegerea #4

Stabilitate ACS

Proprietatea unui sistem de a reveni la starea inițială după îndepărtarea unei perturbații se numește stabilitate.

Definiție.

Curbele 1 și 2 caracterizează un sistem stabil, curbele 3 și 4 caracterizează sistemele instabile.

Sistemele 5 și 6 la limita stabilității 5 - sistem neutru, 6 - limită de stabilitate oscilativă.

Fie ecuația diferențială SAC sub formă de operator să aibă forma

Apoi soluția ecuației diferențiale (mișcarea sistemului) constă din două părți Mișcare forțată de același fel ca și acțiunea de intrare.

În absența rădăcinilor multiple unde C i -constante de integrare determinate din conditiile initiale,

 1 ,  2 …,  n sunt rădăcinile ecuației caracteristice

Locația rădăcinilor caracteristicii

ecuații de sistem pe plan complex

Rădăcinile ecuației caracteristice nu depind nici de tipul de perturbare, nici de

condițiile inițiale și sunt determinate numai de coeficienții a 0 , а 1 , а 2 ,…,а n , adică parametrii și structura sistemului.

1 - rădăcina este reală, mai mare decât zero;

2-rădăcină reală, mai mică decât zero;

3-rădăcină este egală cu zero;

4-două rădăcini zero;

5-două rădăcini conjugate complexe a căror parte reală este

pozitiv;

6-două rădăcini conjugate complexe, a căror parte reală este negativă;

7-două rădăcini conjugate imaginare.

Metode de analiză a stabilității:

1. drepte (pe baza rezolvării ecuațiilor diferențiale);
2. Indirect (criterii de stabilitate).

Teoremele lui A.M. Lyapunov.

Teorema 1.

Teorema 2.

Note:

1. Dacă există două sau mai multe rădăcini zero printre rădăcinile ecuației caracteristice, atunci sistemul este instabil.
2. Dacă o rădăcină este zero și toate celelalte sunt în semiplanul stâng, atunci sistemul este neutru.
3. Dacă 2 rădăcini sunt conjugate imaginare și toate celelalte sunt în semiplanul stâng, atunci sistemul se află la limita oscilativă a stabilității.

Criterii de stabilitate ACS.

Criteriul de stabilitate este o regulă care vă permite să aflați stabilitatea sistemului fără a calcula rădăcinile ecuației caracteristice.

În 1877 Rous instalat:

1. Criteriul de stabilitate Hurwitz

Criteriul a fost elaborat în 1895.

Să fie definită ecuația caracteristică a unui sistem închis: ecuația se reduce la forma astfel încât a0 >0.

Compunem principalul determinant Hurwitz prin următoarea regulă:

coeficienții ecuației se scriu de-a lungul diagonalei principale, începând de la a doua până la ultima, coloanele sus din diagonală sunt umplute cu coeficienți cu indici crescători, iar coloanele de jos din diagonală sunt umplute cu coeficienți cu indici descrescători. În absența oricărui coeficient în ecuație și în locul coeficienților cu indici mai mici de 0 și mai mari n scrie zero.

Evidențiem diagonalele minore sau cei mai simpli determinanți din determinantul principal Hurwitz:

Formularea criteriului.

Pentru sistemele de ordinul doi, în plus față de pozitivitatea tuturor coeficienților ecuației caracteristice, trebuie îndeplinite următoarele inegalități:

1. Pentru sistemele de ordinul a treia:
2. Pentru sistemele de ordinul a patra:
3. Pentru sistemele de ordinul al cincilea:

1. Pentru sistemele de ordinul al șaselea:

Exemplu. Este dată o ecuație caracteristică pentru a investiga stabilitatea sistemului conform lui Hurwitz.

Pentru sisteme durabile, este necesar

2. Criteriul Routh

Criteriul Routh este utilizat în studiul stabilității sistemelor de ordin înalt.

Formularea criteriului:

Masa Routh.

Algoritm de completare a tabelului: în primul și al doilea rând se scriu coeficienții ecuației cu indici pari și impari; elementele rândurilor rămase se calculează după următoarea regulă:

Avantajul criteriului este că este posibil să se studieze stabilitatea sistemelor de orice ordin.

2. Criteriul de stabilitate Nyquist

Principiul argumentului

Baza metodelor de frecvență este principiul argumentului.

Să analizăm proprietățile unui polinom de forma:

Unde  i - rădăcinile ecuației

Pe plan complex, fiecare rădăcină corespunde unui punct bine definit. Geometric, fiecare rădăcinăi poate fi reprezentat ca un vector desenat de la origine la un punct i : | i | - lungimea vectorului, argi - unghiul dintre vector și direcția pozitivă a axei x. Să mapam D(p) în spațiul Fourier, atunci unde j - i este un vector elementar.

Capetele vectorilor elementari sunt pe axa imaginară.

Vector modul și argument (fază)

Direcția de rotație a vectorului în sens invers acelor de ceasornic este considerată POZITIV. Apoi la schimbare de la la fiecare vector elementar ( j  -  i ) se va roti cu un unghi + , dacă  i se află în semiplanul stâng.

Fie D ( )=0 să aibă m rădăcinile în semiplanul drept şi n-m rădăcini în stânga, apoi cu creștere de la modificarea argumentului vectorului D(j ) (unghiul de rotație D(j ), egală cu suma modificărilor argumentelor vectorilor elementari) va fi

Principiul argumentului:

Criteriul Nyquist se bazează pe caracteristicile de frecvență ale unui circuit deschis al ACS, deoarece stabilitatea unui sistem închis poate fi apreciată din forma caracteristicilor de frecvență ale unui circuit deschis.

Criteriul Nyquist a găsit o aplicare largă în practica inginerească din următoarele motive:

1. Stabilitatea unui sistem în stare închisă este studiată de funcția de transfer de frecvență a circuitului său deschis, iar această funcție constă cel mai adesea din factori simpli. Coeficienții sunt parametrii reali ai sistemului, ceea ce face posibilă alegerea acestora din condițiile de stabilitate.
2. Pentru a studia stabilitatea, se pot folosi caracteristicile de frecvență obținute experimental ale celor mai complexe elemente ale sistemului (obiect de reglare, agentie executiva), ceea ce îmbunătățește acuratețea rezultatelor obținute.
3. Stabilitatea poate fi studiată de LFC, a cărui construcție nu este dificilă.
4. Este convenabil să se determine marjele de stabilitate.

1. Sistem stabil în starea deschisă

Să introducem o funcție auxiliară și să înlocuim p  j  , atunci

Conform principiului argumentului, modificarea argumentului D(j ) și D s (j  ) la 0<  <  egal. Atunci acesta este hodograful W 1 (j  ) nu trebuie să acopere originea.

Pentru a simplifica analiza și calculele, vom deplasa originea vectorului rază de la origine la punctul (-1, j 0), dar în locul funcției de ajutor W 1 (j  ) folosim AFC în buclă deschisă W (j  ).

Formularea criteriului #1

Exemple.

Rețineți că diferența dintre numărul de tranziții pozitive și negative ale AFC este la stânga punctului (-1, j 0) este egal cu zero.

2. Un sistem cu poli pe axa imaginară în stare deschisă

Pentru a analiza stabilitatea sistemelor AFC, acestea sunt completate cu un cerc cu raza infinit de mare la 0 în sens invers acelor de ceasornic față de o semiaxă reală pozitivă la poli zero, iar în cazul rădăcinilor pur imaginare - un semicerc în sensul acelor de ceasornic în punctul de discontinuitate al AFC.

Formularea criteriului #2

1. Sistem instabil cu circuit deschis

Un caz mai general - numitorul funcției de transfer a unui sistem cu buclă deschisă conține rădăcini situate în semiplanul drept. Apariția instabilității unui sistem în buclă deschisă este cauzată de două motive:

1. Consecința prezenței legăturilor instabile;
2. O consecință a pierderii stabilității legăturilor acoperite de feedback pozitiv sau negativ.

X Deși teoretic întregul sistem în stare închisă poate fi stabil în prezența instabilității de-a lungul buclei de feedback local, în practică un astfel de caz este nedorit și ar trebui evitat, încercând să se utilizeze doar feedback-uri locale stabile. Acest lucru se explică prin prezența unor proprietăți nedorite, în special, apariția stabilității condiționate, care, cu neliniaritățile prezente de obicei în sistem, pot duce în unele moduri la o pierdere a stabilității și la apariția auto-oscilațiilor. Prin urmare, de regulă, la calcularea sistemului, sunt alese astfel de feedback-uri locale care ar fi stabile cu feedback-ul principal deschis..

Fie polinomul caracteristic D(pag ) a unui sistem deschis are m rădăcini cu o parte reală pozitivă.

Apoi

Funcție auxiliară la înlocuire p  j  conform principiului argumentării pentru sistemele închise stabile ar trebui să aibă următoarea modificare a argumentului când

Formularea criteriului #3

Formularea lui Ya.Z. Tsypkina

Criteriul Nyquist pentru LFC

Notă: răspunsul de fază al LFC al sistemelor astatice este completat de o secțiune monotonă + /2 la  0.

Absolut stabilse numește sistem care rămâne stabil cu orice scădere a câștigului în circuit deschis, altfel sistemul este stabil condiționat.

Sunt numite sisteme care pot fi stabilizate prin modificarea parametrilor lorstabil din punct de vedere structuralîn caz contrar, instabil structural.

Marje de sustenabilitate

Pentru funcționarea normală, orice ACS trebuie îndepărtat de la limita de stabilitate și să aibă o marjă de stabilitate suficientă. Acest lucru este necesar din următoarele motive:

1. Ecuațiile elementelor ACS sunt, de regulă, idealizate; atunci când sunt compilate, factorii secundari nu sunt luați în considerare;
2. Când ecuațiile sunt liniarizate, erorile de aproximare cresc suplimentar;
3. Parametrii elementelor sunt determinați cu o oarecare eroare;
4. Parametrii aceluiași tip de elemente au o răspândire tehnologică;
5. În timpul funcționării, parametrii elementelor se modifică din cauza îmbătrânirii.

În practica calculelor inginerești, cea mai utilizată este determinarea marjei de stabilitate pe baza criteriului NIEQUIST, prin eliminarea AFC a unui sistem în buclă deschisă din punctul critic cu coordonate (-1, j 0), care este evaluat de doi indicatori: marja de stabilitate a fazei și marja de stabilitate modulo (amplitudine) H.

Pentru ca ACS să aibă marje de stabilitate de cel puțin și H , AFC-ul circuitului său deschis, deși satisface criteriul de stabilitate, nu ar trebui să intre în partea inelului umbrită în Fig. 1, unde H este determinată de raport

Dacă stabilitatea este determinată de LFC a sistemelor stabile condiționat, atunci pentru a asigura marje de stabilitate de cel puțin și h este necesar astfel încât:

a) la h  L  - h caracteristica fază-frecvență a satisfăcut inegalitățileθ > -180  +  sau θ< -180  -  , adică nu a intrat în zona umbrită 1 din Fig. 2;

b) la -180  +   θ  -180  -  caracteristica amplitudine-frecvență a satisfăcut inegalitățile L< - h или L >h , adică nu a intrat în zonele umbrite 2" și 2"" din Fig. 2.

Pentru un sistem absolut stabil, marjele de stabilitate și h sunt determinate așa cum se arată în Fig. 3:

1. Marja de fază

1. Marja modulo h =- L (ω -π ), unde ω -π – frecventa la care θ=-180˚ .

Valorile cerute ale marjelor de stabilitate depind de clasa ACS și de cerințele pentru calitatea reglementării. Aproximativ ar trebui să fie =30  60  și h =6  20dB.

Marjele minime admisibile de stabilitate în amplitudine trebuie să fie de cel puțin 6 dB (adică coeficientul de transfer al unui sistem în buclă deschisă este de două ori mai mic decât cel critic), iar în fază de cel puțin 25 30 .

Stabilitatea unui sistem cu o legătură de întârziere pură

Dacă AFC în buclă deschisă trece prin punctul (-1, j 0), atunci sistemul este în pragul stabilității.

Un sistem cu întârziere pură poate fi stabilit prin includerea în circuit a unei legături fără inerție cu un coeficient de transfer mai mic de 1. Sunt posibile și alte tipuri de dispozitive corective.

Sisteme structural stabile și structural instabile

O modalitate de a schimba calitatea unui sistem (în termeni de stabilitate) este schimbarea raportului în buclă deschisă.

La schimbarea k L ( ) se va ridica sau va coborî. Dacă k crește, L ( ) crește și  cf va crește și sistemul va rămâne instabil. Dacă k scade, sistemul poate fi stabilizat. Aceasta este o modalitate de a corecta sistemul.

Sistemele care pot fi stabilite prin modificarea parametrilor sistemului se numesc STRUCTURAL STABLE.

Pentru aceste sisteme, există un raport critic de buclă deschisă. K crit. - acesta este un astfel de coeficient de transfer atunci când sistemul este în pragul stabilității.

Există sisteme STRUCTURAL INSTABILE - acestea sunt sisteme care nu pot fi stabilite prin modificarea parametrilor sistemului, dar este necesară modificarea structurii sistemului pentru stabilitate.

Exemplu.

Luați în considerare trei cazuri:

1. Lasa

Apoi

Să verificăm stabilitatea sistemului.

Δ \u003d a 3 Δ 2\u003e 0.

Pentru a determina k rs.cr. egal cu zero 2 .

Apoi

Când la

Sistemul luat în considerare este STRUCTURAL STABLE, deoarece poate fi stabilizat prin modificarea parametrilor legăturilor.

1. Lasă la fel ca în primul caz.

Acum nu există nicio eroare statică pe canalul de control.

Condiții de stabilitate Hurwitz:

Fie  2 =0, atunci dacă atunci sistemul este instabil.

Acest sistem cu astatism de ordinul 1 este STRUCTURAL STABIL.

1. Lasa

Sistemul este întotdeauna instabil. Acest sistem este STRUCTURAL INSTABIL.

Agenția Federală de Transport Feroviar

Federația Rusă

bugetul statului federal instituție educațională

Studii profesionale superioare

Universitatea de Stat de Comunicații din Petersburg

Departamentul de tracțiune electrică

Yakushev A.Ya., Vikulov I.P., Tsaplin A.E.

Influența parametrilor ACS

Despre stabilitatea și calitatea reglementării

Ghid pentru munca de laborator

St.Petersburg

Obiectiv - studiul parametrilor principali și al relațiilor acestora care determină stabilitatea și proprietățile dinamice ale sistemelor de control automat (ACS), caracterizate prin tipul de procese tranzitorii de modificare a variabilei de ieșire sub influențe perturbatoare.

Diagrama structurală a ACS

Analiza proprietăților dinamice ale unui sistem de control automat se realizează de obicei analitic conform diagramei bloc sau folosind un model matematic al sistemului. Proprietățile dinamice sunt evaluate în funcție de răspunsul variabilei de ieșire YT) sub forma unei funcții de tranziție a sistemului pentru o schimbare de pas în conducerea D g×1(t) sau perturbarea D Z×1(t) impacturi .

Schema structurală se numește o schemă compusă din funcții de transfer de operator ale legăturilor direcționale care formează un sistem de control automat. Baza pentru elaborarea unei diagrame bloc este diagrama funcțională a ACS (Fig. 1, a) și caracteristicile dinamice ale elementelor sale constitutive. Caracteristicile dinamice ale elementelor funcționale din diagrama bloc sunt reprezentate de funcțiile de transfer operator (Fig. 1b). Setarea influenței g(t), influență tulburătoare Z(t), variabila de iesire YT) pe diagrama bloc sunt reprezentate prin imagini de operator ale modificărilor finale ale acestora , D g(p), D Z(p), D Y(p) raportat la nivelurile stabilite. Modificarea variabilei de ieșire D Y(p) este determinată de funcțiile de transfer al operatorului sistemului închis conform setării D g(p) perturbator D Z(p) influențe.

Caracteristicile dinamice ale elementelor funcționale ale ACS în majoritatea cazurilor pot fi reprezentate prin legături aperiodice de ordinul I, precum și prin legături de amplificare fără inerție. Caracteristicile elementelor funcționale mai complexe pot fi reprezentate prin două sau mai multe legături.

Lucrarea studiază procesele tranzitorii de control automat sub influențe perturbatoare D Z=1(t)în raport cu cel mai simplu sistem de control automat. În schema bloc (Fig. 1, b), elementele funcționale ale sistemului în studiu: obiectul de control, actuatorul, elementul de feedback sunt reprezentate prin legături aperiodice de ordinul I. Parametrii dinamici ai elementelor funcționale se notează: T op , T yiwu , T oc - constante de timp, , , - factori de amplificare. În sistemul studiat se folosește un controler cu o lege de control proporțională, caracterizat printr-un câștig . Astfel, analiza influenței parametrilor sistemului de control automat asupra stabilității acestuia și a formei procesului tranzitoriu de modificare a variabilei de ieșire se realizează în raport cu sistemul de ordinul 3, compus dintr-o legătură de amplificare și legături aperiodice de ordinul 1.

Influența parametrilor ACS asupra stabilității acestuia.

Stabilitatea unui sistem de control automat este capacitatea sistemului, sub influența unor factori perturbatori, de a ajunge la o stare de echilibru în timp. Distingeți între stabilitatea statică și cea dinamică.

Stabilitatea statică este asigurată de prezența feedback-ului principal negativ și absența pozitivului local părereîn schema bloc a sistemului de control automat. Prin urmare, se numește stabilitate a circuitului. Condițiile analitice pentru asigurarea stabilității statice sunt determinate de pozitivitatea tuturor coeficienților ecuațiilor diferențiale generale sau caracteristice ale sistemului. Această condiție se numește condiție de stabilitate necesară.

Ecuația caracteristică este o ecuație algebrică în care exponenții variabilei independente corespund ordinului derivatelor variabilei de ieșire a ecuației diferențiale generale a sistemului:

Coeficienții termenilor ecuației caracteristice sunt egali cu coeficienții derivatelor variabilei de ieșire a ecuației diferențiale generale a sistemului de control automat:

Ecuația caracteristică poate fi obținută din polinomul numitorului funcției de transfer a unui sistem închis atunci când este utilizată pentru analiza diagramei bloc a ACS.

Pentru sistemul de control automat studiat, a cărui schemă bloc este prezentată în fig. 1b, funcția de transfer a unui sistem închis în raport cu acțiunea perturbatoare D Z(p) are următoarea formă:

(1)

În expresia (1) notat LA 0 câștig total, egal cu produsul câștigurilor tuturor legăturilor incluse în circuitul închis al diagramei structurale a ACS:

. (2)

Pentru a obține ecuația caracteristică a sistemului, este necesar să egalăm numitorul funcției de transfer (1) cu zero:

În urma transformării, s-a obținut ecuația caracteristică a sistemului de control automat, care este o ecuație algebrică de gradul trei:

Coeficienții acestei ecuații sunt determinați de următoarele expresii:

. (4)

Din relațiile formulelor (4) se poate observa că toți coeficienții ecuației caracteristice (3) sunt pozitivi, prin urmare, este prevăzută condiția de stabilitate necesară, adică. sistemul de control automat investigat este stabil static.

Pentru evaluarea stabilității dinamice au fost dezvoltate metode care determină condiții suficiente, numite criterii de stabilitate. Unul dintre ele este criteriul algebric Hurwitz. Conform criteriului de stabilitate Hurwitz, condiția de stabilitate dinamică a unui sistem de ordinul trei este determinată de raportul dintre coeficienții ecuației caracteristice (3):

Din relația (5) rezultă că sistemul va fi stabil dacă câștigul total al sistemului, care este inclus în expresia coeficientului a 3 ecuația caracteristică a sistemului, va fi mai mică decât valoarea:

.

După substituirea în această inegalitate a expresiilor pentru coeficienții (4) ai ecuației caracteristice și a unor transformări, se obține relația pentru câștigul total. LA 0 sistem stabil de ordinul 3:

. (6)

Câștigul critic se numește câștig global LA 0cr, determinat pentru sistemul de ordinul 3 prin egalitate (6), la care sistemul de control automat este în starea limită de stabilitate. Din relația (6) rezultă că dacă constantele de timp ale legăturilor aperiodice sunt egale, T op =T yiwu =T oc, se determină cea mai mică valoare a câștigului critic al sistemului de ordinul 3 LA 0cr = 8.

Când rapoartele constantelor de timp se modifică, câștigul critic al sistemului crește, de exemplu, când Și , LA 0cr = 16,8.

Operabilitatea sistemului de control automat este determinată nu numai de stabilitate, ci și de natura acceptabilă a procesului tranzitoriu al variabilei de ieșire sub influențe perturbatoare asupra sistemului. În practică, valoarea câștigului total LA 0 , la care natura și durata procesului tranzitoriu vor fi satisfăcătoare, ar trebui să fie de aproximativ 4 ... 5 ori mai mică decât valoarea critică. Aceasta înseamnă că pentru rapoartele constantelor de timp date în exemple, câștigul total al unui sistem real cu un tranzitoriu satisfăcător trebuie să fie în limita LA 0 =2...4.

Stabilitatea este capacitatea sistemului de a reveni la modul nominal dacă se abate de la acest mod dintr-un anumit motiv.

Cerințele de stabilitate sunt obligatorii pentru toate tunurile autopropulsate.

O definiție riguroasă a stabilității a fost dată de A.M. Lyapunov în lucrarea „Problema generală a stabilității mișcării” (sfârșitul secolului al XIX-lea)

Fie ca dinamica sistemului să fie descrisă de ecuație

y - valoarea de ieşire

X- valoarea de intrare

y ( i ) , X ( j ) - derivate.

Să presupunem că în acest sistem există un mod nominal de operare la n (t), care este determinat în mod unic de acţiunea nominală de intrare X n (t) şi condiţiile iniţiale nominale.

(2)

Deoarece condițiile inițiale nominale (2) sunt dificil de menținut în practică, există condiții inițiale „deviate” în sistem.

(3)

Pentru modul nominal, ecuația este adevărată:

Condițiile inițiale respinse corespund modului respins.

Pentru modul deviat, următoarea ecuație este valabilă:

(6)

Scădem ecuația (4) din ecuația (5), obținem (7)

Să introducem o definiție.

Mod evaluat la n (t) stabil după Lyapunov, dacă pentru orice condiții inițiale deviate (3) , care diferă suficient de puțin de condițiile inițiale nominale nominale (2), pentru toate t > 0 z(t) va fi mic.

Dacă regimul nominal este stabil după Lyapunov şi limita
, atunci se apelează modul nominal stabil asimptotic.

Dacă există condiții inițiale (3) în mod arbitrar puțin diferite de condițiile inițiale nominale (2), și în același timp
devine mai mare decât o valoare mică, predeterminată, apoi modul nominal la n (t) numit instabil.

Din (7) rezultă că comportamentul z(t) complet independent de tipul de intrare X n (t) .

De aici rezultă concluzia: fie în sistemul (1) sunt stabile asimptotic toate moduri nominale corespunzătoare diferitelor intrări X n (t), sau toate sunt instabile.

Prin urmare, putem vorbi despre stabilitatea sau instabilitatea sistemului, și nu despre oricare dintre regimurile sale.

Aceasta este o concluzie importantă care reduce volumul cercetărilor privind SCA.

Din păcate, este valabil doar pentru tunurile liniare autopropulsate.

Condiții necesare și suficiente pentru stabilitatea tunurilor liniare autopropulsate.

Pentru stabilitatea asimptotică a sistemelor liniare, este necesar și suficient ca toate rădăcinile ecuației caracteristice.

ar avea o parte reală negativă.

Se știe că soluția unei ecuații diferențiale cu coeficienți constanți

1. Lasă rădăcinile să fie reale.

La

- și aceasta este o abatere de la modul nominal.

2. Dacă rădăcinile sunt complexe.

O condiție necesară pentru stabilitate.

Pentru stabilitatea asimptotică a sistemului (1), (8), este necesar ca toți coeficienții ecuației caracteristice să aibă același semn.

Interpretarea geometrică a stării de stabilitate

Pentru stabilitatea ACS, este necesar și suficient ca rădăcinile ecuației caracteristice să fie situate în semiplanul stâng al planului complex al rădăcinilor.

Criterii de stabilitate ACS.

Acestea sunt metode artificiale care permit, fără a găsi rădăcinile ecuației caracteristice, să răspundă la întrebări despre stabilitatea ACS, i.e. determinați semnele părților reale ale rădăcinilor.

Două tipuri de criterii de durabilitate:

unu). Criteriul de stabilitate algebrică (criteriul de stabilitate Hurwitz).

Să fie dată o ecuație caracteristică.

Pentru stabilitatea ACS, este necesar și suficient:

unu). Astfel încât toți coeficienții ecuației caracteristice ar avea același semn -
(
sistemul este instabil)

2). Principalul determinant Hurwitz, compilat după o anumită regulă, și toate diagonalele sale minore ar avea semnul coeficienților - ar fi mai mari decât zero.

Reguli pentru scrierea definiției principale a lui Hurwitz.

unu). Toți coeficienții ecuației caracteristice sunt situați de-a lungul diagonalei principale a determinantului în ordinea crescătoare a indicilor, începând de la A 1 .

2). Locurile din determinant deasupra diagonalei principale sunt umplute cu coeficienții ecuației caracteristice în ordinea crescătoare a indicilor.

3). Locurile din determinant sub diagonala principală sunt completate cu coeficienții ecuației caracteristice în ordinea descrescătoare a indicilor.

4). Se plasează în determinant unde coeficienții cu indici mai mari decât nși mai puțin zero, plin cu zerouri

Astfel, principalul determinant Hurwitz are forma:

A=
>0

ACS este stabil dacă

unu). Toți coeficienții ecuației caracteristice sunt mai mari decât zero ( 0!)

,
, ….

2). Principalul determinant Hurwitz și toate diagonalele sale minore > 0.

,
,
, ….

Luați în considerare exemple.

1.

1.

2.

Pentru stabilitatea ACS de ordinul doi, o condiție necesară și suficientă pentru stabilitate este pozitivitatea coeficienților ecuației caracteristice.

1.
i=0...3

2.

O condiție necesară și suficientă pentru stabilitatea sistemelor de ordinul trei este pozitivitatea coeficienților și produsul termenilor interni.
trebuie să fie mai mare decât produsul termenilor extremi
ecuație caracteristică.

,

,
,

Există și criteriul algebric Routh. Acesta este același criteriu Hurwitz, dar organizat astfel încât să fie convenabil să îl utilizați pentru a crea programe pentru determinarea stabilității.

Criteriul de stabilitate Vyshnegradsky pentru sistemele de ordinul trei.

Vyshnegradsky I.A. a propus să descrie limita de stabilitate pe așa-numitul plan al parametrilor Vyshnegradsky.

Să avem o ecuație caracteristică de gradul trei.

Să-l transformăm folosind substituția:

Apoi va lua forma:

A 1 ȘiA 2 sunt numiți parametrii Vyshnegradsky (cantități adimensionale), în planul cărora este construită granița de stabilitate.

Să aplicăm criteriul de stabilitate Hurwitz la ecuația transformată

sau A 1 A 2 > 1

La limita stabilității
.

De aici
- ecuaţia la limita de stabilitate

Pentru determinare se folosesc coeficienții ecuației caracteristice DAR 1 Și DAR 2 . Dacă punctul este sub hiperbolă, ACS este stabil; dacă este mai sus, este instabil.

7.1. Conceptul de stabilitate ACS

Conceptul de stabilitate este cea mai importantă evaluare calitativă a proprietăților dinamice ale ACS. Stabilitatea ACS este legată de natura comportamentului său după încetarea influenței externe, care poate fi estimată prin rezolvarea unei ecuații diferențiale care descrie funcționarea sistemului. Teoria generală a stabilității a fost dezvoltată de A.M. Lyapunov. Se spune că un sistem liniar este stabil dacă coordonatele sale de ieșire rămân limitate pentru orice acțiuni de intrare limitate în valoare absolută. Stabilitatea unui sistem liniar este determinată de caracteristicile sale și nu depinde de influențele care acționează.
În cazul general, soluția ecuației are forma: y(t)= y B (t) + y n (t)
unde y B (t) este soluția unei ecuații omogene (componentă tranzitorie sau liberă); y n (t) - valoarea constantă a variabilei controlate (componenta forțată) - rezolvarea ecuației cu partea dreaptă. Stabilitatea sistemului este determinată de componenta tranzitorie. Dacă componenta tranzitorie a procesului de control după încetarea influenței externe tinde spre zero, atunci un astfel de sistem este stabil. Cu alte cuvinte, stabilitatea unui sistem este atenuarea proceselor sale tranzitorii.
Dacă componenta liberă tinde spre o valoare finită sau are forma unor oscilații armonice cu amplitudine constantă, atunci sistemul este considerat neutru. În cazul în care componenta liberă crește la nesfârșit sau are forma unor oscilații armonice cu amplitudine crescândă, atunci sistemul este considerat instabil.
Evaluarea stabilității se bazează pe rezultatele studiului componentei libere, care este soluția unei ecuații diferențiale omogene (ecuația caracteristică): D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
Componenta de tranziție a soluției ecuației în formă generală y ni (t) = A i e α i t * sin(β i t + φ i), unde α i ± jβ i sunt rădăcinile ecuației caracteristice; A i ,Φ i sunt constante.
În acest caz, componenta tranzitorie tinde spre zero cu creșterea timpului dacă părțile reale ale rădăcinilor α i sunt negative, în caz contrar amplitudinea fluctuațiilor componentei tranzitorii crește (Fig. 4.1).

Fig.4.1. Grafice ale componentelor tranzitorii

O pereche de rădăcini imaginare (α i =0) ale ecuației caracteristice face posibilă obținerea unei componente tranzitorii sub formă de auto-oscilații cu amplitudine constantă:

Rădăcinile obţinute ale ecuaţiei caracteristice pot fi reprezentate ca puncte pe planul complex (Fig. 4.2.).

Fig.4.2. Amplasarea rădăcinilor ACS pe planul complex al rădăcinilor

Pentru sistemele stabile, este necesar și suficient ca toate rădăcinile ecuației caracteristice să se afle la stânga axei imaginare a planului complex al rădăcinilor. Dacă cel puțin o rădăcină reală sau o pereche de rădăcini conjugate complexe este situată în dreapta axei imaginare, atunci sistemul este instabil. Dacă există o rădăcină zero sau o pereche de rădăcini pur imaginare, atunci sistemul este considerat neutru (situat la granița stabilității și instabilității). Astfel, axa imaginară a planului complex este limita stabilității.

Pentru a simplifica analiza stabilității sistemelor, au fost dezvoltate o serie de metode speciale, care se numesc criterii de stabilitate. Criteriile de stabilitate sunt împărțite în două soiuri: algebrice (criteriu Hurwitz) și frecvența (criterii MihailovaȘi Nyquist). Criteriile algebrice sunt analitice, iar criteriile de frecvență sunt grafico-analitice. Criteriile de stabilitate permit, de asemenea, evaluarea influenței parametrilor sistemului asupra stabilității.

Criteriul algebric Hurwitz este utilizat pe scară largă în analiza SAR. Inițial, matricea determinantului principal este compilată din coeficienții ecuației (4.1):

Pe diagonala matricei din colțul din stânga sus se scriu în ordine toți coeficienții ecuației (4.1.), începând de la a1. Apoi, fiecare coloană a matricei este completată în așa fel încât indicii coeficienților să crească în sus de la diagonală și să scadă în jos în jos.
Pentru stabilitatea sistemului este necesar si suficient ca pentru a0>0 toti determinantii unghiulari (minori) sa fie si pozitivi, i.e.

etc.

Ultimul determinant Hurwitz, așa cum se vede din matricea de mai sus, este Δ n =a n *Δ n-1 . Prin urmare, pozitivitatea sa este redusă pentru Δ n-1 >0 la condiția a n >0. Pentru sistemele de ordinul întâi și al doilea, criteriul Hurwitz se reduce pur și simplu la pozitivitatea coeficienților ai. Dacă determinantul Δ n =0, atunci sistemul se află la limita stabilității. Din condiția Δ n-1 = 0, este posibil să se determine parametrii la care sistemul se află la limita stabilității, de exemplu, câștigul critic al unui ACS K cr deschis.

Criteriul lui Mihailov presupune construirea unui hodograf pe plan complex. Pentru a construi un hodograf, din ecuația caracteristică a unui sistem închis (4.1), prin substituirea p=jω, se obține o expresie analitică pentru vectorul M(jω):
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
Ecuația (4.2) este complexă și poate fi reprezentată ca:

Hodograful este construit conform ecuației vectorului M(jω) când frecvența se schimbă de la 0 la + . Stabilitatea sistemului este evaluată prin unghiul de rotație al hodografului la schimbarea frecvenței 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)

, (4.3)

unde m este numărul de rădăcini drepte ale polinomului caracteristic; n este ordinea ecuației caracteristice a sistemului.
Atunci, pentru stabilitatea sistemului liniar de ordinul al n-lea, este necesar și suficient ca modificarea argumentului hodograf M(jω) la schimbarea de la 0 la + să fie egală cu n, întrucât m=0 pentru a asigura stabilitatea lui. sistemul.
Criteriul lui Mikhailov este formulat astfel: sistemul este stabil dacă hodograful Mihailov M(jω), la schimbarea de la 0 la + , începând din partea pozitivă a axei reale, a ocolit secvenţial n cadrane în direcţia pozitivă (în sens invers acelor de ceasornic) şi în al n-lea cadran a mers la .
Dacă hodograful începe la punctul zero al planului complex sau trece prin acest punct la o anumită frecvență, atunci sistemul este considerat neutru. În acest caz, P(ω) = 0 și Q(ω) = 0.
Din aceste ecuații, este posibil să se determine valorile parametrilor la care sistemul se află la limita de stabilitate (valori critice). Figura 4.3 prezintă hodografele lui Mihailov pentru ACS stabil și instabil.

Fig.4.3. hodografiile lui Mihailov

Există o a doua formulare a criteriului Mihailov: pentru stabilitatea sistemului, este necesar și suficient ca rădăcinile ecuațiilor P(ω) = 0 și Q(ω) = 0 alterne (alternant), adică. hodograful a traversat secvenţial axele planului complex. Este convenabil să folosiți această formulare pentru a studia stabilitatea sistemelor de până la ordinul al cincilea inclusiv. Ecuația (4.3) poate fi utilizată pentru a determina numărul de rădăcini drepte în sistemele instabile.

Criteriul Nyquist este un criteriu de frecvență care permite, prin forma răspunsului în frecvență amplitudine-fază al unui sistem în buclă deschisă, să se evalueze stabilitatea sistemului în buclă închisă. AFC poate fi obținut experimental sau analitic. Construcția analitică a AFC este realizată prin metode convenționale. Criteriul Nyquist este formulat diferit în funcție de stabilitatea sau nu a sistemului în buclă deschisă.
Dacă sistemul deschis este stabil, atunci pentru stabilitatea sistemului închis este necesar și suficient ca AFC-ul sistemului deschis să nu acopere punctul cu coordonatele -I, j0 când frecvența se schimbă de la 0 la. Dacă AFC al unui sistem deschis trece printr-un punct cu coordonatele -I, j0, atunci sistemul va fi neutru. Figura 4.4 prezintă AFC-ul sistemelor statice deschise. Criteriul Nyquist face posibilă urmărirea vizuală a efectului modificării parametrilor funcției de transfer asupra stabilității sistemului.

Fig.4.4. AFC a ACS deschis

AFC al unui sistem astatic, pornind de pe o semiaxă pozitivă reală, la ω->0 se deplasează cu un arc de rază infinit de mare la un unghi egal cu -ν , unde ν este de ordinul astatismului. Figura 4.5 prezintă AFC a unui sistem astatic de ordinul întâi care este stabil în stare închisă.

Fig.4.5. AFC de astatic ACS de ordinul întâi

Dacă sistemul deschis este instabil, atunci pentru stabilitatea sistemului închis este necesar și suficient ca AFC al sistemului deschis să acopere punctul cu coordonatele (-1, j0) și, atunci când frecvența se schimbă de la 0 la, se înfășoară în jurul este de m ori în sens invers acelor de ceasornic, unde m este numărul de poli din dreapta sistemului deschis.
Există două clase de ACS: absolut stabil și condiționat stabil. În prima clasă de sisteme, doar o creștere a câștigului unui sistem în buclă deschisă poate duce la o pierdere a stabilității, iar un sistem stabil condiționat poate deveni instabil atât cu o creștere, cât și cu o scădere a câștigului.
Pentru sistemele absolut stabile se introduce conceptul de marja de stabilitate in amplitudine (modul) si de marja de stabilitate in faza. Marjele de stabilitate sunt determinate la frecvența de tăiere ω avg, la care A(ω avg)=1.
Marja de stabilitate a amplitudinii este stabilită cu o anumită valoare 1/a (Fig. 4.6), care arată de câte ori poate fi mărit câștigul unui sistem în buclă deschisă, astfel încât ACS să se afle la limita de stabilitate.

Fig.4.6. AFC a unui sistem absolut stabil

Marja stabilității fazei este dată de un anumit unghi φ (Fig. 4.6). În sistemele bine amortizate, marja de stabilitate a amplitudinii este de aproximativ 6-20 dB, care este 2÷10 pe o scară liniară, iar marja de fază este de la 30 la 60°.
Cea mai convenabilă modalitate de a studia stabilitatea este utilizarea L.A.Ch. şi L.P.H., aşezându-le unele sub altele astfel încât axele ordonatelor să fie aliniate şi alegând aceeaşi scară a axei absciselor (Fig. 4.7).

Fig.4.7. LFC a unui sistem absolut stabil

Conform LFC al unui sistem deschis, este posibil să se determine marjele de stabilitate: marja de fază φ zap este numărată conform LFC. la frecvența de tăiere ω avg și este egală cu φ zap =π - φ(ω avg), iar marja în amplitudine L zap corespunde valorii l.a.h. la frecvența la care L.F.H. egal cu -π (Fig. 4.7). Dacă φ(ω ср)=-&pi, atunci sistemul se află la limita stabilității. Câștigul critic al unui sistem în buclă deschisă K kr este determinat din expresia 20*lg(K kr)=20*lg(K ori) + L aprox.
Este convenabil să folosiți criteriul Nyquist pentru a studia stabilitatea sistemelor cu întârziere. În acest caz, se construiește LFC al unui ACS deschis cu o întârziere W τ (jω) = W(jω) * e -jωτ. Răspunsul în frecvență logaritmică nu se modifică, iar L.F.H. se deplasează în jos cu -ω i τ, unde ω i este valoarea frecvenței într-un anumit punct. Valoarea critică a timpului de întârziere pur τcr, la care ACS se va afla la limita de stabilitate, se află prin formula: .
Pentru a proiecta un sistem cu indicatori de performanță dați, se construiește o zonă interzisă în jurul unui punct cu coordonate (-1, j0), care nu ar trebui să includă răspunsul de fază în buclă deschisă, așa cum se arată în Fig. 4.8.

7.5. Criteriul frecvenței logaritmice.

Criteriul logaritmic este un criteriu de frecvență care face posibilă aprecierea stabilității unui ACS închis după forma caracteristicii logaritmice a unui sistem deschis. Acest criteriu se bazează pe relația neechivocă dintre LPFC și AFC a sistemelor de control automat. În același timp, sunt luate în considerare sistemele de control automat bazate pe utilizarea unor sisteme deschise stabile. În plus, sunt luate în considerare sistemele cu astaticism nu mai mare decât ordinul doi.

După cum rezultă din criteriul de stabilitate Nyquist în ACS stabil, defazarea poate atinge o valoare numai atunci când modulele funcției de transfer complexe sunt mai mici decât unitatea. Acest lucru face ușoară determinarea stabilității prin forma LAFC și LPFC.

Formularea criteriului: pentru stabilitatea sistemului în stare închisă, este necesar și suficient ca în domeniul de frecvență în care LAFC al unui sistem deschis este mai mare decât zero, numărul de tranziții ale caracteristicii de fază a liniei drepte de jos în sus depășește numărul de tranziții de sus în jos, unde a este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a unui sistem deschis situat în semiplanul drept.

Într-un caz particular pentru un sistem stabil în buclă deschisă (a=0), o condiție necesară și suficientă pentru un sistem în buclă închisă este necesitatea de a îndeplini următoarea condiție. În intervalul de frecvență în care , răspunsul în frecvență de fază nu trebuie să traverseze linia dreaptă sau să o traverseze de același număr de ori de jos în sus și de sus în jos.

Orez. 6. LPFC de ACS stabil și instabil

Valoarea critică a coeficientului de conversie este valoarea sa la care AFC trece prin punctul (-1, j0) și sistemul se află la limita de stabilitate.

Marja modulo este valoarea în decibeli cu care trebuie modificat coeficientul de conversie ACS pentru a-l aduce la limita de stabilitate.

,

unde este frecvența la care caracteristica de fază este .

Marja de stabilitate a fazei este unghiul prin care caracteristica amplitudine-fază a unui sistem cu buclă deschisă trebuie să fie rotită astfel încât ACS închis să se afle la limita de stabilitate.

,

unde este valoarea răspunsului de fază la frecvența de tăiere a sistemului pentru care condiția este îndeplinită.