proporţional(static , fără inerție ) legătură . Acesta este cel mai simplu legătură, semnal de ieșire care este direct proporţional semnal de intrare:

Unde k- coeficient de proporționalitate sau transfer de legătură.

Exemple de astfel de legătură sunt: ​​a) supape cu liniarizat caracteristici (când se schimbă curgerea fluidului proporţional cu gradul de schimbare pozitia tijei) în exemplele de mai sus de sisteme de control; b) divizor de tensiune; c) pârghie etc.

Trecând (3.1) la imagini, avem:

1. Funcția de transmisie: .

2. Răspuns la pas: , deci .

3. răspuns la impuls: .

4. KCHH: .

6. PFC: .

Descrierea acceptată a relației dintre IntrareȘi ieșire valabil doar pentru legătură perfectă si corespunde link-uri reale Doar cand frecvente joase, . Când se află în legături reale, coeficientul de transfer kîncepe să depindă de frecvenţă şi frecvente inalte scade la zero.

legătură întârziată. Această legătură este descrisă de ecuație

unde este timpul de întârziere.

Un exemplu legătură întârziată deservesc: a) linii electrice lungi fără pierderi; b) conductă lungă etc.

Funcția de transmisie, tranzitorieși impuls tranzitoriu caracteristică, CFC, precum și răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al acestei legături:

2. înseamnă: .

Figura 3.1 prezintă: a) Hodograf KCHH legătură întârziată; b) AFC și PFC ale legăturii întârziate. Rețineți că atunci când crește, capătul vectorului descrie un unghi în continuă creștere în sensul acelor de ceasornic.

Fig.3.1. Hodograf (a) și AFC, PFC (b) al legăturii întârziate.

Legătură de integrare. Această legătură este descrisă de ecuație

unde este coeficientul de transfer al legăturii.

Exemple de elemente reale ale căror circuite echivalente se reduc la integrator, sunt: ​​a) un condensator electric, dacă luăm în considerare semnal de intrare curent, și sfârșit de săptămână- tensiune pe condensator: ; b) un arbore rotativ, dacă se numără semnal de intrare viteza unghiulară de rotație și ieșirea - unghiul de rotație al arborelui: ; etc.

Să definim caracteristicile acestui link:

2. .

Folosim tabelul de transformare Laplace 3.1, obținem:

.

Înmulțim cu deoarece funcția la .

3. .

4. .

Figura 3.2 prezintă: a) hodograful CFC al legăturii de integrare; b) răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii; c) răspuns tranzitoriu al legăturii.

Fig.3.2. Hodograf (a), răspuns în frecvență și răspuns de fază (b), răspuns tranzitoriu (c) al legăturii de integrare.

Legătură de diferențiere. Această legătură este descrisă de ecuație

unde este coeficientul de transfer al legăturii.

Să găsim caracteristicile linkului:

2. , având în vedere că , constatăm: .

3. .

4. .

În figura 3.3 sunt prezentate: a) odograful legăturii; b) răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii.

A) b)

Orez. 3.3. Hodograful (a), răspunsul în frecvență și răspunsul de fază (b) al legăturii de diferențiere.

Un exemplu legătură de diferențiere sunt condensator idealȘi inductanţă. Aceasta rezultă din faptul că tensiunea u si curent i legat pentru condensator CUși inductanță L conform urmatoarelor relatii:

Rețineți că capacitate reală are un mic inductanță capacitivă, inductanță reală Are capacitate interturn(care sunt deosebit de pronunțate la frecvențe înalte), ceea ce aduce formulele de mai sus la următoarea formă:

, .

Prin urmare, diferențiator nu poate fi implementat tehnic, deoarece Ordin partea dreaptă a ecuației sale (3.4) este mai mare decât ordinul părții stângi. Și știm că condiția trebuie îndeplinită n>m sau, cel puțin, n=m.

Cu toate acestea, se poate aborda această ecuație dată legătură, folosind inerţial-diferenţiere(diferențierea reală)legătură.

Inerțial-diferențiere(diferențierea reală ) legătură este descris de ecuația:

Unde k- coeficientul de transfer al legăturii, T- timpul constant.

Funcția de transmisie, tranzitorieȘi răspuns la impuls, CFC, AFC și PFC ale acestei legături sunt determinate de formulele:

Folosim proprietatea transformării Laplace - schimbarea imaginii(3.20), conform căreia: dacă , atunci .

De aici: .

3. .

5. .

6. .

Figura 3.4 prezintă: a) graficul CFC; b) răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii.

A) b)

Fig.3.4. Hodograful (a), răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al unei legături de diferențiere reală.

Pentru proprietăți adevărat diferențiator aproape de proprietăți ideal, este necesară creșterea simultană a coeficientului de transmisie k si scade constanta de timp T astfel încât produsul lor să rămână constant:

kT= k d,

Unde k e este coeficientul de transfer al legăturii de diferențiere.

Aceasta arată că în dimensiunea coeficientului de transmisie k d legătură de diferențiere inclus timp.

Legătură inerțială de ordinul întâi(legatura aperiodica ) este una dintre cele mai comune link-uri ACS. Este descris de ecuația:

Unde k– coeficientul de transfer al legăturii, T este constanta de timp.

Caracteristicile acestei legături sunt determinate de formulele:

2. .

Utilizarea proprietăților integrarea originaluluiȘi schimbarea imaginii avem:

.

3. , deoarece la , atunci pe toată axa timpului această funcție este egală cu 0 (la ).

5. .

6. .

Figura 3.5 prezintă: a) graficul CFC; b) răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii.

Fig.3.5. Hodograful (a), răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii inerțiale de ordinul întâi.

Legătură integrală de diferențiere. Această legătură este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul întâi în forma cea mai generală:

Unde k- coeficientul de transfer al legăturii, T 1Și T 2- constante de timp.

Să introducem notația:

In functie de valoare t linkul va avea proprietăți diferite. Daca atunci legătură proprietățile sale se vor apropia integrareaȘi inerțială link-uri. Dacă , atunci dat legătură proprietățile vor fi mai aproape de diferenţiereaȘi inerţial-diferenţiere.

Să definim caracteristicile legătură integro-diferenţiatoare:

1. .

2. , asta implică:

Deoarece la t® 0, atunci:

.

6. .

În Fig.3.6. dat: a) diagrama CFC; b) răspuns în frecvenţă; c) PFC; d) răspuns tranzitoriu al legăturii.

A) b)

V) G)

Fig.3.6. Hodograf (a), răspuns în frecvență (b), răspuns de fază (c), răspuns tranzitoriu (d) al legăturii integro-diferențiatoare.

Legătură inerțială de ordinul doi. Această legătură este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul doi:

unde (kapa) este constanta de amortizare; T- timpul constant, k- coeficientul de transfer al legăturii.

Răspunsul sistemului descris de ecuația (3.8) la o acțiune cu un singur pas la is oscilații armonice amortizate, în acest caz se numește și linkul oscilatoare . Când vibrațiile nu apar și legătură descrisă de ecuația (3.8) se numește legătură aperiodică de ordinul doi . Dacă , atunci oscilațiile vor fi neamortizat cu frecventa.

Un exemplu de implementare constructivă a acestui lucru legătură poate servi ca: a) un circuit electric oscilator ce conţine capacitate, inductanţăși ohmic rezistenţă; b) greutate suspendat pe arc si avand dispozitiv de amortizare, etc.

Să definim caracteristicile legătură inerțială de ordinul doi:

1. .

2. .

Rădăcinile ecuației caracteristice din numitor sunt determinate de:

.

Evident, există trei cazuri posibile aici:

1) pentru rădăcinile ecuației caracteristice negative reale diverseși , atunci răspunsul tranzitoriu este determinat de:

;

2) pentru rădăcinile ecuației caracteristice realele negative sunt aceleași :

3) la , rădăcinile ecuației caracteristice a legăturii sunt complex-conjugat , și

răspunsul tranzitoriu este determinat de formula:

,

adică, după cum sa menționat mai sus, dobândește caracter oscilator.

3. Avem și trei cazuri:

1) ,

deoarece la ;

2), pentru că la ;

3) , deoarece la .

5. .

În studiul sistemelor de control, acestea sunt de obicei prezentate ca un set interconectat de elemente individuale - legături dinamice. legătură dinamică se referă la un dispozitiv de orice formă și design fizic care are o intrare și o ieșire așa cum se arată în Figura 2.1 și pentru care este dată o ecuație (de obicei diferențială) care leagă semnalele la intrare și la ieșire.

Figura 2.1 - Diagrama unei legături dinamice

Clasificarea legăturilor dinamice se face după forma ecuației diferențiale. Dispozitivele de orice tip (electrice, electromecanice, hidraulice, termice etc.) pot fi descrise prin aceleași ecuații diferențiale, ceea ce face posibilă utilizarea acelorași abordări pentru proiectarea diferitelor dispozitive.

Dacă ecuaţia care raportează semnalele , liniar, atunci ei vorbesc despre o legătură dinamică liniară

Ecuația unei legături dinamice liniare are următoarea formă:

unde sunt coeficienți constanți; .

Cu toate acestea, forma ecuației diferențiale nu este singura caracteristică prin care sunt comparate legăturile dinamice.

Principalele caracteristici ale legăturilor sunt:

Ecuații diferențiale ale mișcării;

funcții de transfer;

Caracteristicile timpului (funcție tranzitorie, funcție de impuls (greutate);

Caracteristici de frecvență (caracteristici de amplitudine-frecvență, caracteristici de frecvență amplitudine-fază, caracteristici de frecvență logaritmică).

funcție de transfer Legătura este raportul dintre imaginile semnalelor de ieșire și de intrare în condiții inițiale zero. Să supunem ecuația (2.1) transformării Laplace, presupunând că condițiile inițiale sunt zero și înlocuind semnalele originale cu imaginile lor:

De aici ajungem

Relația (2.2) nu depinde de imaginile semnalelor și este determinată doar de parametrii legăturii dinamice în sine , , are forma unei funcții fracționale-raționale.

Tip ecuație

se numește ecuația caracteristică a legăturii dinamice, deoarece numitorul funcției de transfer este polinomul caracteristic al ecuației diferențiale care descrie legătura dinamică.

Sincronizare determina proprietățile dinamice ale legăturii. Ele sunt determinate la ieșirea legăturii atunci când semnalele standard sunt aplicate la intrare.

funcția de tranziție sau răspunsul tranzitoriu este un proces tranzitoriu la ieșirea legăturii care are loc atunci când la intrarea sa este aplicată o acțiune de salt cu o valoare de salt egală cu unu (Figura 2.2). O astfel de acțiune se numește funcție pas unitar și se notează

Funcția pas este un tip comun de acțiune de intrare în ACS. Acest tip de impact poate include o modificare instantanee a sarcinii generatorului electric, o creștere a cuplului pe arborele motorului, o modificare instantanee a sarcinii pentru turația motorului, o rotație instantanee a axei de comandă a sistemului servo.

Figura 2.2 - Funcții cu un singur pas (a) și tranziție (b).

Imaginea Laplace a funcției pasului unitar este definită ca

Pentru a determina imaginea funcției de tranziție cu o funcție de transfer cunoscută a legăturii, trebuie să efectuați următoarea operație:

Originalul este găsit folosind transformarea Laplace inversă (Anexa B) aplicată la (1.5).

funcția de tranziție a impulsurilor sau funcția de greutate este răspunsul legăturii la funcția de impuls al unității. Funcția de impuls unitar, sau funcția -, este derivata funcției pasului unitar:

Funcția delta este definită de expresie

Proprietatea principală a funcției delta este aceea că

adică are o unitate de suprafață. Această funcție poate fi descrisă ca un impuls scurt, dar puternic. Funcția delta este, de asemenea, o intrare comună în sistemele automate. De exemplu, șoc de sarcină de scurtă durată pe arborele motorului, curent de scurtcircuit pe termen scurt al generatorului, oprit prin siguranțe etc.

Este ușor de stabilit că imaginea funcției - este definită

Imaginea funcției de greutate este funcția de transfer:

Prin urmare, pentru a găsi originalul funcției de tranziție de impuls, este necesar să se aplice transformarea Laplace inversă la funcția de transfer a legăturii (sistemului).

Funcția delta și funcția de greutate a unei anumite legături sunt prezentate în Figura 2.3

Figura 2.3 - Funcția Delta (a) și funcția de greutate (b)

Funcțiile de tranziție și de impuls sunt legate de relații

raspuns in frecventa legătura dinamică se numește funcția argumentului complex, obținută prin înlocuirea formală a în expresia funcției de transfer. Caracteristicile de frecvență sunt obținute prin luarea în considerare a mișcării unei legături (sistem) atunci când se aplică un efect armonic la intrarea acesteia.

Funcția , care se obține din funcția de transfer (2.2):

se numește funcție de transfer de frecvență.

Funcția de transfer de frecvență, în funcție de argumentul complex, poate fi reprezentată ca

unde este partea reală (reala) a ; este partea imaginară a ; – modul (amplitudine) ; – argument (fază).

Amplitudinea, faza, părțile reale și imaginare ale funcției sunt funcții ale frecvenței, astfel încât funcția de transfer al frecvenței este utilizată și reprezentată ca răspunsuri de amplitudine-fază, reale, imaginare, de amplitudine și de fază.

Astfel, următoarele caracteristici de frecvență ale legăturilor dinamice sunt luate în considerare în TAU:

1. Răspuns amplitudine-frecvență (AFC) -

2. Răspuns de fază (PFC) -

3. Răspuns în frecvență reală (VCH) -

5. Răspunsul în frecvență amplitudine-fază (APFC), care este definit ca un hodograf vectorial (curba descrisă la sfârșitul acestui vector), construit pe planul complex când frecvența se schimbă de la 0 la .

Semnificația fizică a caracteristicilor de frecvență poate fi definită după cum urmează. Cu efect armonic în sistemele stabile după terminarea tranzitoriului, valoarea de ieșire se modifică și în conformitate cu legea armonică, dar cu o amplitudine și o fază diferite. În acest caz, raportul dintre amplitudinile valorilor de ieșire și de intrare este egal cu modulul, iar defazarea este egală cu argumentul funcției de transfer de frecvență. Și, prin urmare, răspunsul în frecvență de amplitudine arată o modificare a raportului amplitudinilor, iar răspunsul în frecvență de fază arată schimbarea de fază a valorii de ieșire în raport cu intrarea în funcție de frecvența efectului armonic de intrare.

O vedere generală a caracteristicilor frecvenței este prezentată în Figura 2.4.

Figura 2.4 - Caracteristici de frecvență:

amplitudine-fază (a), amplitudine-frecvență (b), fază-frecvență (c), frecvență reală (d), frecvență imaginară (e) caracteristici

Caracteristici de frecvență logaritmică (LFC).Răspuns în frecvență cu amplitudine logaritmică(LAFC) a unei legături dinamice este o astfel de reprezentare a răspunsului de amplitudine în frecvență (AFC), în care modulul (amplitudinea) răspunsului în frecvență este exprimat în decibeli, iar frecvența este într-o scară logaritmică:

Răspuns în frecvență de fază logaritmică(LPCH) a unei legături dinamice se numește un grafic al dependenței caracteristicii fază-frecvență (PFC) de logaritmul frecvenței. La construirea caracteristicilor logaritmice, frecvența este reprezentată de-a lungul abscisei pe o scară logaritmică, iar valoarea în sine este scrisă la marcajul corespunzător valorii. Destul de des, LACH și LPCH sunt construite pe același grafic pentru a oferi o imagine completă a proprietăților obiectului.

Unitatea este decibelul, iar unitatea logaritmului de frecvență în LFC este deceniul. deceniu Se numește intervalul în care frecvența se modifică cu un factor de 10. Când frecvența se schimbă de 10 ori, se spune că s-a schimbat cu un deceniu.

La construirea LPFC, unghiurile sunt numărate de-a lungul axei y pe scara obișnuită în grade sau radiani.

La construirea LFC, axa ordonatelor este trasată printr-un punct arbitrar, și nu printr-un punct (frecvența corespunde unui punct infinit îndepărtat: la ). Deoarece , atunci originea coordonatelor este luată cel mai adesea în punctul .

8. Legătura de integrare cu decelerare

Aici, este câștigul de legătură și este constanta de timp, s.

În sistemele servo (Fig. 1.14, a), când arborele de antrenare este rotit cu un anumit unghi, arborele de primire se rotește și el cu același unghi. Cu toate acestea, arborele de primire ocupă o nouă poziție nu instantaneu, ci cu o oarecare întârziere după încheierea procesului de tranziție. Procesul tranzitoriu poate fi aperiodic (Fig. 2.1, a) și oscilator cu oscilații amortizate (Fig. 2.1, b). Este posibil ca oscilațiile arborelui receptor să fie neamortizate (Fig. 2.1, c) sau să crească în amplitudine (Fig. 2.1, d). Ultimele două moduri sunt instabile.

Cum va rezolva acest sistem cutare sau cutare schimbare în influența principală sau perturbatoare, adică care este natura procesului de tranziție al sistemului, dacă sistemul va fi stabil sau instabil - aceste întrebări și altele similare sunt luate în considerare în dinamica sistemelor , control automat.

2.1. Legături dinamice ale sistemelor automate

Necesitatea reprezentării elementelor sistemelor automate prin legături dinamice. Definiția unei legături dinamice

Pentru a determina proprietățile dinamice ale unui sistem automat, este necesar să existe descrierea sa matematică, adică modelul matematic al sistemului. Pentru a face acest lucru, este necesar să se compună ecuații diferențiale pentru elementele sistemului, cu ajutorul cărora sunt descrise procesele dinamice care au loc în ele.

Când se analizează elementele sistemelor automate, se dovedește că diverse elemente care diferă ca scop, design, principiu de funcționare și procese fizice, sunt descrise prin aceleași ecuații diferențiale, adică sunt similare în proprietăți dinamice. De exemplu, într-un circuit electric și într-un sistem mecanic, în ciuda naturii lor fizice diferite, procesele dinamice pot fi descrise prin ecuații diferențiale similare.

Orez. 2.1. Răspunsuri posibile ale servosistemului la o acțiune de conducere în trepte.

În teoria controlului automat, elementele sistemelor automate în ceea ce privește proprietățile lor dinamice sunt reprezentate cu ajutorul unui număr mic de legături dinamice elementare. O legătură dinamică elementară este înțeleasă ca un model matematic al unei părți a sistemului izolată artificial, caracterizată printr-un algoritm simplu (descrierea matematică sau grafică a procesului).

O legătură elementară poate reprezenta uneori mai multe elemente ale sistemului sau invers - un element poate fi reprezentat ca mai multe legături.

În direcția de trecere a impactului, se disting intrarea și ieșirea și, în consecință, valorile de intrare și ieșire ale legăturii. Valoarea de ieșire a unei legături direcționale nu are niciun efect asupra valorii de intrare. Ecuațiile diferențiale ale unor astfel de legături pot fi compuse separat și independent de alte legături. Deoarece ACS include diverse amplificatoare cu acțiune direcțională, ACS are capacitatea de a transmite impacturi într-o singură direcție. Prin urmare, ecuația dinamicii întregului sistem poate fi obținută din ecuațiile dinamicii legăturilor sale, excluzând variabilele intermediare.

Legăturile dinamice elementare stau la baza construirii unui model matematic al unui sistem de orice complexitate.

Clasificarea și caracteristicile dinamice ale legăturilor

Tipul de legătură este determinat de algoritmul în funcție de care acțiunea de intrare este transformată. În funcție de algoritm, se disting următoarele tipuri de legături dinamice elementare: proporționale (amplificatoare), aperiodice (inerțiale), oscilatorii, integratoare și diferențiatoare.

Fiecare legătură este caracterizată de următoarele caracteristici dinamice: ecuația dinamicii (mișcarea), funcția de transfer, funcțiile tranzitorii și tranzitorii de impuls (greutatea), caracteristicile frecvenței. Proprietățile unui sistem automat sunt, de asemenea, evaluate prin aceleași caracteristici dinamice. Luați în considerare caracteristicile dinamice pe exemplul unei legături aperiodice,

Orez. 2.2. Circuit electric reprezentat printr-o legătură aperiodă și răspunsul legăturii la acțiuni tipice de intrare: a - diagramă; b - acţiune într-un singur pas; c - funcţia de tranziţie a legăturii; - un singur impuls; e - funcţia tranzitorie de impuls a legăturii.

care reprezintă circuitul electric prezentat în Fig. 2.2, a.

Ecuația dinamicii legăturii (sistemului). Ecuația dinamicii unui element (link) este o ecuație care determină dependența valorii de ieșire a unui element (link) de valoarea de intrare

Ecuația dinamicii poate fi scrisă în forme diferențiale și operaționale. Pentru a obține ecuația diferențială a unui element, ecuațiile diferențiale sunt compilate pentru valorile de intrare și de ieșire ale acestui element. În ceea ce privește circuitul electric (Fig. 2.2, a):

Ecuația circuitului diferențial se obține din aceste ecuații prin eliminarea variabilei intermediare

unde este constanta de timp, s; - factor de amplificare a legăturii.

În teoria controlului automat, se adoptă următoarea formă de scriere a ecuației: valoarea de ieșire și derivatele sale sunt în partea stângă, cu derivata de ordin superior pe primul loc; valoarea de ieșire intră în ecuație cu un coeficient egal cu unu; cantitatea de intrare, precum și, mai general, derivatele sale și alți termeni (perturbații) sunt în partea dreaptă a ecuației. Ecuația (2.1) se scrie în conformitate cu această formă.

Un element al sistemului, procesul în care este descris printr-o ecuație de forma (2.1), este reprezentat printr-o legătură aperiodică (legătură inerțială, statică de ordinul întâi).

Pentru a obține ecuația dinamicii în forma operațională (după Laplace), funcțiile incluse în ecuația diferențială sunt înlocuite cu funcțiile transformate la Laplace, iar operațiile de diferențiere

și integrarea în cazul condițiilor inițiale zero - prin înmulțirea și împărțirea la o variabilă complexă a imaginilor funcțiilor, din care se ia derivata sau integrala. Ca urmare, se realizează trecerea de la o ecuație diferențială la una algebrică. În conformitate cu ecuația diferențială (2.1), ecuația de dinamică a unei legături aperiodice în formă operațională pentru cazul condițiilor inițiale zero are forma:

unde este imaginea Laplace a funcției timpului – un număr complex.

Forma operațională (2.2) a ecuației nu trebuie confundată cu forma simbolică a ecuației diferențiale:

unde este simbolul de diferentiere. Nu este dificil să distingem simbolul „diferențierii de o variabilă complexă: după simbolul diferențierii există un original, adică o funcție a și după o variabilă complexă - o imagine conform lui Laplace, i.e. functia de la

Din formula (2.1) se poate observa că legătura aperiodică este descrisă printr-o ecuație de ordinul întâi. Alte legături elementare sunt descrise prin ecuații de ordinul zero, primul și maxim al doilea.

Funcția de transfer a unei legături (sistem) este raportul dintre imaginile Laplace ale ieșirii Xkyx și valorile de intrare la condiții inițiale zero:

Funcția de transfer a unei legături (sistem) poate fi determinată din ecuația legăturii (sistem) scrisă în formă operațională. Pentru o legătură aperiodică în conformitate cu ecuația (2.2)

Din expresia (2.3) rezultă

adică, cunoscând imaginea Laplace a acțiunii de intrare și funcția de transfer a legăturii (sistem), este posibil să se determine imaginea valorii de ieșire a acestei legături (sistem).

Imaginea valorii de ieșire a legăturii aperiodice în conformitate cu expresia (2.4) este următoarea:

Funcția de tranziție a unei legături (sistem) h(t) este reacția legăturii (sistemului) la impactul formei unei funcții cu un singur pas (Fig. 2.2, b) în condiții inițiale zero. Funcția de tranziție poate fi determinată prin rezolvarea unei ecuații diferențiale prin metode convenționale sau operaționale. Pentru determinare

folosind metoda operațională, înlocuim imaginea funcției pasului unitar în ecuația (2.5) și găsim imaginea funcției de tranziție

adică imaginea funcției de tranziție este egală cu funcția de transfer împărțită la Funcția de tranziție se găsește ca transformată Laplace inversă a

Pentru a determina legătura aperiodică, înlocuim în ecuația (2.6) și găsim imaginea funcției de tranziție

Descompunem în fracții elementare în care și folosind tabelele de transformare Laplace găsim originalul

Graficul funcției de tranziție a legăturii aperiodice este prezentat în fig. 2.2, c. Din figură se poate observa că procesul tranzitoriu al legăturii are un caracter aperiodic. Valoarea de ieșire a legăturii își atinge valoarea nu imediat, ci treptat. În special, valoarea este atinsă prin .

Funcția de tranziție a impulsurilor (funcția de greutate) a unei legături (sistem) este răspunsul unei legături (sistem) la un singur impuls (un impuls instantaneu cu o amplitudine infinit de mare și o unitate de suprafață, Fig. 2.2, d). Impulsul unitar se obţine prin diferenţierea saltului unitar: sau sub forma operaţională: Prin urmare

adică, imaginea funcției de tranziție a impulsului este egală cu funcția de transfer a legăturii (sistemului). Rezultă că atât funcția de transfer, cât și funcția de tranziție de impuls pot fi utilizate în mod egal pentru a caracteriza proprietățile dinamice ale unei legături (sistem). După cum se poate observa din (2.8), pentru a obține funcția de tranziție de impuls, este necesar să se găsească originalul corespunzător funcției de transfer Funcția de tranziție de impuls a legăturii aperiodice

În conformitate cu (2.7) sau la trecerea la originale, funcția de tranziție de impuls a unei legături (sistem) poate fi obținută și prin diferențierea funcției de tranziție. Funcția tranzitorie a pulsului aperiodic

(click pentru a vizualiza scanarea)

Orez. 2.3. Scheme schematice ale elementelor reprezentate printr-o legătură proporţională: a - divizor de tensiune; b - potențiometru; c - amplificator tranzistor; g - reductor.

După cum vedem, expresiile (2.9) și (2.10) pentru coincid. Graficul funcției de tranziție de impuls a legăturii aperiodice este prezentat în fig. 2.2, d.

Din expresia (2.5) și exemplele luate în considerare, rezultă că pentru o acțiune de intrare dată, valoarea de ieșire este determinată de funcția de transfer. Prin urmare, cerințele tehnice pentru valoarea de ieșire a unei legături (sistem) pot fi exprimate în termeni de cerințele corespunzătoare pentru funcția de transfer a acestei legături (sistem). În teoria controlului automat, metoda de cercetare și proiectare a sistemelor care utilizează funcția de transfer este una dintre principalele metode.

Legătură proporțională (amplificatoare). Ecuația de legătură are forma:

adică există o relație proporțională între valorile de ieșire și de intrare ale conexiunii. Ecuația (2.11) în formă operațională

Din ecuația (2.12) se determină funcția de transfer a legăturii

adică, funcția de transfer a legăturii proporționale este numeric egală cu câștigul. Exemple de astfel de legături sunt un divizor de tensiune, un senzor potențiometric, o treaptă electronică de amplificare, o cutie de viteze ideală, ale cărei diagrame sunt prezentate în Fig. 2.3, a, b, f, d, respectiv. Câștigul legăturii proporționale poate fi fie adimensional (divizor de tensiune, treaptă de amplificare, cutie de viteze), fie valoare dimensională (senzor potențiometric).

Să estimăm proprietățile dinamice ale legăturii proporționale. Când o legătură a unei funcții de pas este introdusă la intrare, valoarea de ieșire (funcția de tranziție), datorită egalității (2.11), va fi, de asemenea, în trepte (Tabelul 2.1), adică, valoarea de ieșire copiază modificarea în intrare.

valori fără întârziere și distorsiune. Prin urmare, legătura proporțională este numită și lipsită de inerție.

Funcție proporțională tranzitorie de impuls

adică este un impuls instantaneu de amplitudine infinit de mare, a cărui zonă este

Legătură vibrantă. Ecuația legăturii:

sau în formă operativă

Atunci funcția de transfer a legăturii oscilatorii are forma

Proprietățile dinamice ale legăturii depind de rădăcinile ecuației sale caracteristice

Componentă gratuită a soluției

Soluția completă a ecuației (2.14) cu o acțiune de intrare în trepte (funcția de tranziție a legăturii) are forma:

unde este frecvența unghiulară a oscilațiilor naturale; - faza iniţială a oscilaţiilor; - scaderea amortizarii; - coeficientul relativ de atenuare.

1.3.1 Caracteristici ale clasificării legăturilor ACS Sarcina principală a teoriei controlului automat TAU ​​este de a dezvolta metode prin care să fie posibilă găsirea sau evaluarea indicatorilor de calitate ai proceselor dinamice în ACS. Cu alte cuvinte, nu toate proprietăți fizice elementele sistemului, dar numai cele care influențează, sunt asociate tipului de proces dinamic. Designul structural al elementului, dimensiunile sale generale, modul de însumare nu sunt luate în considerare.

energie, caracteristici de design, gama de materiale utilizate etc. Cu toate acestea, vor fi importanți parametri precum masa, momentul de inerție, capacitatea termică, combinațiile de RC, LC etc., care determină direct tipul de proces dinamic. Caracteristicile performanței fizice ale elementului sunt importante numai în măsura în care vor afecta performanța sa dinamică. Astfel, este luată în considerare o singură proprietate selectată a unui element - natura procesului său dinamic. Acest lucru ne permite să reducem considerația unui element fizic la modelul său dinamic sub forma unui model matematic. Soluție model, adică ecuația diferențială care descrie comportamentul elementului, dă un proces dinamic care este supus unei evaluări calitative.

Clasificarea elementelor ACS se bazează nu pe caracteristicile de proiectare sau caracteristicile scopului lor funcțional (obiect de control, element de comparație, organism de reglementare etc.), ci pe tipul de model matematic, de exemplu. ecuații matematice de legătură între variabilele de ieșire și de intrare ale elementului. Mai mult, această legătură poate fi specificată atât sub forma unei ecuații diferențiale, cât și într-o altă formă transformată, de exemplu, folosind funcții de transfer (PF). Ecuația diferențială oferă informații complete despre proprietățile legăturii. După ce am rezolvat-o, cu una sau alta lege dată a valorii de intrare, obținem o reacție, prin forma căreia evaluăm proprietățile elementului.

Introducerea conceptului de funcție de transfer face posibilă obținerea unei legături între mărimile de ieșire și de intrare sub formă de operator și, în același timp, utilizarea unor proprietăți ale funcției de transfer, care fac posibilă simplificarea semnificativă a reprezentării matematice. ale sistemului și să utilizeze unele dintre proprietățile acestora. Pentru a explica conceptul de PF, luăm în considerare unele proprietăți ale transformării Laplace.

1.3.2 Unele proprietăți ale transformării Laplace Rezolvarea modelelor legăturilor dinamice ale ACS dă o modificare a variabilelor în planul timpului. Avem de-a face cu funcții. X(t). Cu toate acestea, folosind transformarea Laplace, acestea pot fi transformate în funcții [X(p)] cu un argument diferit p și proprietăți noi.

Transformarea Laplace este un caz special de potrivire de tip: o funcție este asociată cu o altă funcție. Ambele funcții sunt interconectate printr-o anumită dependență. Corespondența seamănă cu o oglindă, reflectând într-un mod diferit, în funcție de formă, obiectul din fața acesteia. Tipul de afișare (corespondență) poate fi ales arbitrar, în funcție de problema care se rezolvă. Puteți, de exemplu, să căutați o corespondență între un set de numere, al cărui sens se rezumă la modul în care, în funcție de numărul ales la din zonă Y găsi numărul X din zonă X. O astfel de relație poate fi specificată analitic, sub forma unui tabel, grafic, regulă etc.

În mod similar, se poate stabili o corespondență între grupuri de funcții (Fig. 3.1 a), de exemplu, sub forma:

Ca corespondență între funcțiile x(t) și x(p) (Fig. 3.1 b), integrala Laplace poate fi utilizată:

in conditiile: x(t)= 0 la și la t.

În ACS, nu sunt investigate modificările absolute ale variabilelor, ci abaterile acestora de la valorile la starea de echilibru. Prin urmare, x(t) - o clasă de funcții care descriu abaterile variabilelor din sistemul de control automat și pentru ele sunt îndeplinite ambele condiții ale transformării Laplace: prima - deoarece nu există nicio modificare a variabilelor înainte de aplicarea perturbației, a doua - deoarece în timp orice abatere dintr-un sistem operabil tinde spre zero.

Acestea sunt condițiile de existență a integralei Laplace. Să luăm, ca exemplu, imagini cu cele mai simple funcții, dar la Laplace.

Orez. 3.1. Tipuri de afișare a funcției

Deci, dacă funcția unitară x(t) = 1 este dată, atunci

Pentru funcția exponențială x(t) = e -α t, imaginea de

Laplace va arăta ca:

In cele din urma:

Funcțiile rezultate nu sunt mai complicate decât cele originale. Funcția x(t) se numește originală și x(p)- imaginea ei. Transformarea Laplace directă și inversă condiționată poate fi reprezentată ca:

L=x(p),L -1<=x(t).

În acest caz, există o relație neechivocă între original și imagine și invers, doar imaginea unică a funcției corespunde originalului. Luați în considerare câteva proprietăți ale transformării Laplace.

Imaginea funcției diferențiale. Fie funcția x(t) să corespundă imaginii x(p): x(t)-> x(p)- Este necesar să găsiți imaginea derivatului său x(t):

Prin urmare

În condiții inițiale zero

Pentru imaginea derivatei de ordinul al n-lea:

Astfel, imaginea derivatei unei funcții este imaginea funcției în sine, înmulțită cu operator p in masura n, Unde P este ordinea diferențierii.

Legătură dinamică elementară (EDZ) se numește model matematic al unui element sub forma unei ecuații diferențiale care nu este supusă simplificării ulterioare.

1.3.3 Legătură aperiodică inerțială de ordinul întâi

O astfel de legătură este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul întâi care raportează cantitățile de intrare și de ieșire:

Un exemplu de astfel de legătură, în plus față de un termocuplu, un motor de curent continuu, un lanț RL, poate fi un pasiv RC- lanț (Fig. 3.2 d).

Folosind legile de bază pentru descrierea circuitelor electrice, obținem un model matematic al unei legături aperiodice în formă diferențială:

Să obținem relația dintre valorile de intrare și de ieșire ale legăturii sub forma transformării Laplace:

Orez. 3.2. Exemple de legături aperiodice

Raportul dintre valoarea de ieșire și valoarea de intrare oferă un operator de formă.

Introducere

Teoria controlului automat este o știință tehnică uz general. Acesta oferă o bază teoretică pentru cercetarea, dezvoltarea și proiectarea sistemelor automate și automatizate.

1. Concepte de bază și definiții

Există o varietate extrem de mare de sisteme care realizează automat anumite funcții pentru a controla diferite procese fizice din toate domeniile tehnologiei.

Un sistem automat este capabil să modifice orice cantități fizice într-un anumit proces controlat pentru o lungă perioadă de timp în mod corect.

Un sistem automatizat este un sistem în care un operator uman este folosit ca unul dintre noduri.

Operare de control - acțiuni care vizează funcționarea corectă și de înaltă calitate a obiectului de control. Ele asigură la momentul potrivit începutul, succesiunea și încheierea acțiunilor individuale; prevede alocarea resurselor necesare și stabilește parametrii necesari procesului în sine.

Obiectul de control este un ansamblu de mijloace tehnice care efectuează un anumit proces și sunt supuse controlului.

Toate sistemele de control automat (ACS) pot fi clasificate după cum urmează.

1. După tipul de diagramă bloc:

- deschis (mașini automate care funcționează după unele programe);

- închis (cu feedback).

2. După forma ecuațiilor dinamicii proceselor de control:

– liniar;

- neliniar.

Sistemele liniare au fost studiate cel mai pe deplin.

3. După natura transmisiei semnalului:

– continuu;

- discret:

– puls (discret în timp);

– digital (discret în timp și nivel);

- releu (semnalul se schimbă brusc).

4. După natura funcționării:

- obisnuit;

– adaptiv (auto-tuning).

5. În funcție de natura modificării acțiunii de control:

– sisteme automate de stabilizare;

– sisteme de control al programelor;

– sisteme de urmărire.

O schemă tipică ACS este următoarea (Fig. 1).

Orez. 1. Schema tipică ACS

g(t) este acțiunea de setare;

f(t) - actiune perturbatoare (poate actiona asupra oricarei unitati a sistemului);

la(t) este semnalul de ieșire;

1 - dispozitiv principal. Dispozitivul convertește intrarea g(t) într-un semnal proporțional cu valoarea setată a mărimii de ieșire la(t);

2, 5 - dispozitive de comparare. Generați un semnal de nepotrivire (eroare) e(t) între semnalul de intrare și semnalul principal de feedback
comunicații;

3 - dispozitiv de conversie;

4, 8 - dispozitive corective. Îmbunătățirea calității managementului;

6 - dispozitiv de amplificare;

7 - dispozitiv executiv;

9 - aparat de masura;

10 - dispozitiv de potrivire. Generează un semnal care este într-o anumită dependență funcțională de variabila controlată;

11 - obiect de control.

Astfel, într-un mod simplificat, orice ACS poate fi reprezentat astfel (Fig. 2).

Orez. 2. Schema simplificată a ACS

Sarcinile teoriei ACS

Teoria studiilor de control automat principii generale construirea ACS și metode pentru studiul lor, indiferent de natura fizică a proceselor.

Se pot distinge două sarcini.

1. Sarcina analizei: studiul proprietăților statice și dinamice ale sistemului.

2. Sarcina de sinteză: dezvoltarea de noi sisteme care să îndeplinească cerințele tehnice specificate.

La rezolvarea acestor probleme sunt investigate următoarele întrebări.

1. Formarea diagramelor funcționale și structurale ale ACS.

2. Construirea caracteristicilor statice și dinamice ale legăturilor individuale și ale sistemului în ansamblu.

3. Determinarea erorilor de control și a indicatorilor de precizie ai unui sistem închis.

4. Studiul stabilitatii sistemului.

5. Evaluarea indicatorilor de calitate ai procesului de management.

6. Sinteza dispozitivelor corective și optimizarea parametrilor sistemului.

3. Ecuații diferențiale și
funcții de transfer

Pentru a analiza sistemele, este necesar să existe descrierea lor matematică. De obicei, acestea sunt ecuații diferențiale (DE). Dacă această ecuație folosește derivate ale cantităților de intrare și de ieșire, atunci aceasta este o ecuație dinamică. Dacă setăm derivatele semnalelor de intrare la zero, aceasta este ecuația staticii (o descriere a sistemului în stare staționară). Aceste ecuații sunt compilate pe baza legilor fizice.

În cazul general, ecuațiile rezultate sunt neliniare. Pentru a simplifica analiza, se utilizează una sau alta metodă de liniarizare, de exemplu, extinderea într-o serie Taylor.

În general, o ecuație diferențială liniară are următoarea formă:

În teoria controlului automat se adoptă forma standard de scriere a ecuațiilor diferențiale: - derivata este înlocuită de operator p, coeficientul la valoarea de ieșire trebuie să fie egal cu 1.

De exemplu, pentru o ecuație de ordinul doi:

Parametru K se numeste coeficient de transfer (castig). Acesta este raportul dintre valoarea de ieșire și valoarea de intrare în stare staționară.

Parametru T este constanta de timp.

Această vedere reprezintă prima formă de descriere a ACS.

Pe lângă descrierea în domeniul timpului, sunt descrise sisteme funcții de transfer. Pentru a obține funcția de transfer, trebuie să utilizați expansiunea Laplace

,

Unde p = c + jd- număr complex;

f(t) este originalul;

F(p) este imaginea conform lui Laplace.

În consecință, ecuația diferențială poate fi, de asemenea, transformată și scrisă în raport cu imagini (vezi exemplul de mai sus):

Aceasta este a doua formă de descriere a ACS.

Funcția de transmisie este raportul dintre imaginile valorilor de ieșire și de intrare, găsite din ecuația de mai sus:

.

Pentru a studia proprietățile de frecvență ale ACS, este utilizată funcția de transfer de frecvență. Pentru a-l obține se folosește transformata Fourier. În același timp, operatorul p = j w, iar funcția de transfer de frecvență este scrisă ca W(j w). Această reprezentare este a treia formă de descriere a sistemelor.

Caracteristicile ACS

Există diferite metode pentru studierea ACS sau a legăturilor sale individuale. Una dintre ele este de a analiza răspunsul unui sistem sau legătura cu influențele externe.

Semnalele standard sunt folosite ca influențe externe. În teoria sistemelor de control automat, sunt utilizate trei tipuri de semnal.

1. Acțiune cu o singură intrare 1( t) (Fig. 3).

Orez. 3. Acțiune de intrare unică

2. d-pulse - un semnal de lățime zero și amplitudine infinită - d( t), iar aria sa este egală cu 1 (Fig. 4)

.

Orez. 4. Puls delta

O astfel de funcție este o abstractizare matematică. În practică, un astfel de semnal este considerat un impuls scurt de mare putere.

d-pulse este legat matematic de semnalul 1( t):

.

3. A sinw t, și pentru simplitate A = 1.

În consecință, pentru fiecare dintre aceste semnale standard există o anumită reacție a ACS.

1. Este numită reacția unui ACS sau a unei legături la o singură acțiune de intrare raspuns tranzitoriu sau funcția de tranziție h(t) (Fig. 5).

Orez. 6. Un exemplu de funcție de greutate ACS

Când folosim transformata Laplace, obținem următoarele relații:

.

Transformarea Laplace a funcției de greutate este funcția de transfer.

Funcția de greutate și răspunsul tranzitoriu sunt legate printr-o relație simplă

.

Descrierea ACS în domeniul timp prin funcția de greutate este echivalentă cu descrierea prin funcția de transfer în domeniul imaginii.

Puteți găsi răspunsul sistemului la un semnal de intrare arbitrar. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza integrala Duhamel sau integrala de convoluție

.

3. Dacă un semnal de intrare de forma A sinw t, apoi vorbesc despre caracteristicile de frecvență ale sistemului.

Caracteristicile frecvenței sunt expresii și dependențe grafice care exprimă reacția ACS studiat la un semnal al formei A sinw t la diferite valori ale frecvenței w.

La ieșirea ACS, semnalul va arăta ca

Unde A(t) este amplitudinea semnalului, j( t) este schimbarea de fază.

Funcția de transfer de frecvență pentru obținerea caracteristicilor de frecvență poate fi reprezentată astfel:

;

, (1)

Unde u(baghetă v(w) sunt părțile reale și imaginare ale expresiei complexe.

Partea reală este formată din puteri pare ale frecvenței w, iar partea imaginară este formată din puteri impare.

Această funcție poate fi reprezentată grafic în plan complex. O astfel de imagine se numește odograf(Fig. 7) sau caracteristică amplitudine-fază. Curba se construiește obținând puncte pe plan prin specificarea anumitor valori ale frecvenței w și calculând u(w) și n(w).

Pentru a obține un grafic în cazul frecvențelor negative, este necesar să se realizeze o imagine în oglindă a caracteristicii existente în raport cu axa reală.

Orez. 7. Hodograf sau caracteristică amplitudine-fază a sistemului

Într-un mod similar, se pot construi separat grafice ale lungimii vectorului A(w) și unghiul de rotație j(w). Apoi obținem caracteristicile amplitudine-frecvență și fază-frecvență.

În practică, caracteristicile logaritmice sunt adesea folosite. Este logic să folosiți logaritmul natural

Cu toate acestea, în practică, logaritmii zecimali sunt utilizați și obțin amplitudine-frecvență logaritmică(LACHH) (Fig. 8) și fază-frecvență logaritmică(LPCH) caracteristici(Fig. 9).

Orez. 9. Exemplu de sistem LFC

Când se calculează răspunsul de fază logaritmică, se utilizează (1).

La trasarea graficelor de-a lungul abscisei, frecvența este reprezentată pe o scară logaritmică. Deoarece dependențele de gradul lui w sunt utilizate în calculul valorilor LAFC în expresii, graficul are o pantă standard care este un multiplu de 20 dB/dec. Dec - deceniu, adică o schimbare a frecvenței cu un ordin de mărime.

Teoretic, punctul w \u003d 0 pe axa frecvenței ar trebui să fie la stânga la infinit, dar pentru calcule practice, axa y este deplasată la dreapta.

Caracteristicile logaritmice au următoarele avantaje:

– ușurință în construcție;

– ușurința obținerii LAFC-ului sistemului din LAFC-ului legăturilor prin adunare geometrică;

- ușurința analizei ACS.

Legile de control

Acestea sunt algoritmi sau dependențe funcționale, în conformitate cu care se formează influența de control (reglementare).

u(t) = F(X(t), g(t), f(t)),

Unde X(t) - eroare;

g(t) este acțiunea de setare;

f(t) este efectul perturbator.

u(t) = F 1 (X) + F 2 (g) + F 3 (f),

Unde F 1 (X) – controlul abaterii sau erorii;

F 2 (g) Și F 3 (f) – control prin acțiunea corespunzătoare.

De obicei, sunt luate în considerare legile liniare cu privire la DE.

Există mai multe legi tipice de control.

1. Control proporțional.

În circuitul de control există un proporțional (static)
legătură.

În stare de echilibru:

,

Unde K este câștigul general al sistemului;

y SET este valoarea constantă a mărimii de ieșire;

X 0 este o valoare constantă de eroare.

Pentru un ACS închis, găsim valoarea constantă a erorii folosind formula (3):

Unde g 0 – acțiune constantă de intrare;

x f ST este eroarea în stare staționară din acțiunea perturbatoare.

Analiza expresiei arată că eroarea la starea de echilibru a scăzut în (1 + K) ori, dar în principiu nu este egal cu 0.

2. Control integral.

În acest caz, există o relație între eroare și rata de modificare a acțiunii de reglementare (control).

;

Ca parte a ACS, există în mod necesar legături de integrare.

Valoarea constantă a erorii este găsită prin formula (3).

Primul termen este egal cu 0, al doilea depinde de valoarea numărătorului, deci expresia este aplicabilă pentru el

.

În absența unei acțiuni perturbatoare, valoarea totală a erorii la starea de echilibru este zero.

Sistemul este astatic în ceea ce privește acțiunea de conducere sau are un astaticism de ordinul întâi. Cu toate acestea, dacă influența de antrenare este variabilă (rata de modificare a acesteia nu este egală cu 0), atunci eroarea în stare staționară va avea o valoare diferită de zero.

Pentru a elimina eroarea de viteză în ACS, este necesar să adăugați încă un integrator.

Această abordare are un dezavantaj: în prezența unui număr mare de integratori, procesul de control încetinește și stabilitatea sistemului se modifică.

3. Controlul derivat (diferențial).

Procesul de control este descris de relațiile:

;

.

Procesul de control începe să funcționeze atunci când eroarea este încă egală cu 0, iar derivata sa este diferită de 0. În starea staționară, circuitul de control este de asemenea întrerupt, prin urmare, această lege nu are o valoare independentă. Folosit ca adaos la altele. Oferă un răspuns rapid al ACS în modul tranzitoriu.

4. Controlul izodromic.

Este posibil să utilizați toate legile de mai sus în același timp. Legea controlului în acest caz are forma:

.

Un astfel de management combină avantajele tuturor legilor luate în considerare. De exemplu, cu o acțiune de intrare în schimbare liniară (Fig. 28), la momentul inițial (secțiunea I), controlul derivat acționează, apoi controlul proporțional aduce o contribuție mai mare, după timpul t 0 (secțiunea II) control în esență integral.

Orez. 28. Legile de control în ACS

9. Procesul de management și cerințele pentru acesta

Procesul de control în timp este determinat de soluția ecuației diferențiale a dinamicii unui sistem închis. În acest caz, este posibil să se determine cerințele pentru sistem în trei domenii principale.

1. Evaluarea fundamentală a posibilității tranziției unui sistem la o anumită stare de echilibru sub orice influență externă. Aceasta este o evaluare a stabilității sistemului.

2. Evaluarea calității procesului de tranziție.

3. Estimarea preciziei sistemului în stare staționară.

Să luăm în considerare fiecare dintre aceste puncte.

Criterii de durabilitate

Criteriile de stabilitate pot fi împărțite în două grupuri mari.

1. Algebric.

2. Frecvența.

Să le luăm în considerare mai detaliat.

Indicatori de calitate

Cerințele pentru calitatea procesului de control în fiecare caz specific pot fi diferite, dar, de regulă, natura procesului de tranziție este evaluată printr-o singură acțiune (Fig. 40).

Orez. 40. Indicatori ai calității procesului de tranziție

Se folosesc următorii indicatori ai calității tranziției
proces.

1. t REG este timpul de reglare (durata procesului tranzitoriu), timpul în care, începând din momentul aplicării acțiunii de intrare, abaterea valorii de ieșire de la valoarea ei staționară devine mai mică decât valoarea prestabilită ∆. De obicei ∆ = 5% din X A STABILIT

2. Depășire:

.

3. Oscilație - numărul de oscilații complete ale valorii de ieșire în timpul de reglare.

4. Eroarea la starea de echilibru este diferența dintre forța motrice și valoarea la starea de echilibru a cantității de ieșire.

metoda lui Solodovnikov

Aici este introdus conceptul de caracteristică reală trapezoidală unitară tipică. Înălțimea sa este egală cu 1, frecvența de tăiere (frecvența pozitivității) w p =1 (Fig. 41).

Orez. 41. Caracteristica reală tipică unică trapezoidală

Pentru acest trapez, există tabele de conectare a valorii de ieșire X(t) pe coeficientul de pantă c = w a / w p.

Metoda constă în efectuarea următoarei secvențe de acțiuni.

1. Se construiește un grafic al părții reale a funcției de transfer de frecvență a unui sistem închis.

2. Graficul este împărțit în trapeze. Această procedură este prezentată în Fig. 42. În acest exemplu, au fost obținute trei trapeze tipice.

Orez. 42. Împărțirea graficului unei caracteristici reale într-un trapez

3. Pentru fiecare trapez, tabelele sunt folosite pentru a găsi valorile procesului de ieșire X 1 (t), X 2 (t), X 3 (t).

4. Graficul rezultat al semnalului de ieșire se găsește prin adăugarea graficelor X 1 (t), X 2 (t), X 3 (t).

Deoarece tabelele sunt concepute pentru un singur trapez, atunci când se construiește un proces tranzitoriu pentru fiecare trapez, este necesar să se utilizeze regulile (formulele) pentru trecerea la valoarea reală a eșantioanelor de semnal de ieșire.

1. Obținerea unei valori stabile P(0) = X(∞) = X A STABILIT

2. Obținerea amplitudinii semnalului real

3. Schimbarea scalei de timp .

Indicatorii de calitate ai procesului tranzitoriu pot fi estimați aproximativ din răspunsul în frecvență real al unui sistem închis fără a efectua calculele de mai sus. Toate varietățile graficului acestei caracteristici sunt prezentate în Fig. 43.

Orez. 43. Vedere tipică a graficelor unei caracteristici reale

1 - graficul caracteristic are o „cocoașă”;

2 - nu există „cocoașă”, derivatul și ia diverse sensuri;

3 - nu există „cocoașă” și scade monoton.

În cazul 1 tranzitoriu X(t) are o depășire, iar valoarea sa este mai mare de 18%.

În cazul 2 tranzitoriul X(t) are o depășire, iar valoarea sa este mai mică de 18%.

În cazul 3, procesul de control este monoton.

Conform graficului, este posibil să se determine aproximativ timpul procesului de tranziție

,

unde w MF este gama de frecvențe esențiale. Caracteristică R(w) depășește un anumit nivel e în acest interval. De obicei e = 5%.

Indicele de oscilație

Acest parametru este utilizat pentru a determina marja de stabilitate. Poate fi calculat din modulul funcției de transfer de frecvență a sistemului închis

.

Indicele de oscilație este egal cu raportul și este prezentat în Fig. 44.

Orez. 44. Modulul funcției de transfer de frecvență a unui sistem închis

Aceasta este înălțimea relativă a vârfului rezonant. Pentru a simplifica calculele, se presupune că M(0) = 1. Mai mult, M K = M MAX.

Din punct de vedere fizic, indicele de oscilație este raportul dintre valorile maxime ale semnalelor de ieșire și de intrare ACS.

Cu cât este mai mică marja de stabilitate a ACS, cu atât este mai mare tendința sistemului de a fluctua, cu atât este mai mare vârful de rezonanță. De obicei, indicele de oscilație se află în intervalul 1,1 ... 1,5.

M k poate fi determinată din forma răspunsului de frecvență în buclă deschisă folosind funcția de transfer în buclă deschisă

.

Prezentarea W(j w) prin real Uși imaginar V părți, obținem:

;

Aceste relații descriu un cerc și CU este coordonata reală a centrului său; R- raza.

Pe plan complex, se poate construi o familie de cercuri cu acești parametri în funcție de M. Pe acest grafic este reprezentat un hodograf cu buclă deschisă (Fig. 45).

Orez. 46 Trasarea modulului funcţiei de transfer de frecvenţă
sistem închis

Uneori este suficient să determinați valoarea maximă M MAX (prin atingerea AFC a cercului corespunzător).

Se poate rezolva problema inversă: se setează valoarea admisibilă a indicatorului M ADIŢIONAL Sistemul trebuie proiectat în consecință.

Pentru a îndeplini această condiție, este necesar să se asigure că hodograful ACS nu intră în zona delimitată de un cerc cu o valoare dată M(Fig. 47).

Orez. 47. Zona permisă a parametrilor ACS din punct de vedere al oscilației

Sinteza ACS liniară

Metode pentru sinteza ACS

Obiectivele principale ale proiectării ACS sunt de a asigura stabilitatea sistemului și de a asigura calitatea necesară a procesului de tranziție.

Aceste obiective pot fi atinse în două moduri.

1. Modificarea parametrilor sistemului, adică modificarea parametrilor legăturilor (câștig, constantă de timp). În unele cazuri, această abordare nu duce la rezultatul dorit.

2. Schimbarea structurii sistemului. De obicei, aceasta este introducerea de dispozitive sau blocuri suplimentare (dispozitive corective).

Să aruncăm o privire mai atentă la a doua abordare.

În teoria ACS, există 4 tipuri de dispozitive corective.

1. Dispozitive corective secvențiale (filtre corective).

2. Dispozitive de corectare paralele, de obicei sub formă de local părere.

3. Dispozitive de corectare a influențelor externe.

4. Feedback principal non-unitate.

Exercițiu

Trebuie să faceți următoarele.

1. Descrieți funcționarea sistemului.

2. Determinați funcțiile de transfer ale elementelor sistemului.

3. Realizați o diagramă bloc a sistemului.

4. Construiți caracteristicile logaritmice ale unui circuit deschis
sisteme.

5. Determinați stabilitatea și marja de stabilitate în amplitudine și fază.

6. Folosind criteriul Hurwitz, determinați valoarea critică a factorului de calitate al sistemului fără feedback.

7. Introduceți feedback-ul de viteză.

8. Aflați valoarea minimă a coeficientului de feedback al vitezei necesar pentru stabilitatea sistemului.

9. Găsiți valoarea optimă a coeficientului de feedback al vitezei necesar pentru a asigura indicatorii de calitate ai procesului tranzitoriu al sistemului.

Schema inițială a ACS (Fig. 59):

Orez. 59. Schema inițială a sistemului

unde SP este o pereche selsyn;

R - reductor;

D - motor;

OS - obiect de control;

U - amplificator;

KO - axa de comandă;

IO - axa executivă;

α este unghiul de rotație al senzorului sincron - aceasta este o acțiune de comandă;

β este unghiul de rotație al motorului;

γ - unghiul de rotație al cutiei de viteze - aceasta este acțiunea executivă;

U 1 – semnal de ieșire SP;

U 2 – semnal de ieșire Y;

Parametrii ACS:

U MAX este tensiunea maximă la ieșirea transformatorului sincron;

k U este factorul de amplificare U;

T Y este constanta de timp Y;

U U - tensiunea nominală pe bobina de comandă a motorului;

N XX - numărul de rotații pe minut la turația de ralanti a motorului și la tensiunea nominală a motorului;

T D este constanta de timp D;

i- raportul de transmisie al cutiei de viteze;

S TG - abruptitatea caracteristicii de ieșire a tahogeneratorului;

t REG - timp de reglare;

s este valoarea depășirii;

n este numărul de oscilații complete ale semnalului de ieșire.

Date inițiale:

k Y = 900;

T Y = 0,01 s;

T D = 0,052 s;

i= 1,2 × 10 3 ;

U MAX=5V;

U U = 30 V;

N XX = 10000 rpm;

S TG = 0,001 V × s/rad;

t REG 1 GBP;

n = 1,5.

Descrierea sistemului

Din diagrama sistemului prezentată în sarcină se poate observa (vezi Fig. 59) că dispozitivul principal este axa de comandă rotită de senzorul sincron conform unei legi arbitrare α = α( t). Aceeași lege a unghiului de rotație în timp α( t) = γ( t) trebuie reprodus automat la ieșirea sistemului, adică la obiectul de control și la axa executivă. Dacă unghiurile de rotație ale axelor de comandă și executive nu sunt egale, (α( t) ¹ γ( t)), atunci apare o tensiune de nepotrivire la ieșirea perechii de sincronizare U 1 . Valoare U 1 depinde de unghiul de rotație al axelor de comandă și executive. Voltaj U 1 este alimentat la intrarea amplificatorului, la ieșirea căruia apare o tensiune U 2 furnizate bobinei de control al motorului. Ca urmare, rotorul motorului începe să se rotească în direcția scăderii erorii de nepotrivire (θ = α - γ) până când cele două axe sunt aliniate. Adică, rotirea rotorului motorului prin cutia de viteze stabilește o nouă lege a unghiului de rotație al axei executive. Rotorul motorului se va roti până când eroarea următoare este redusă la zero, după care se va opri. Astfel, sistemul este acoperit de feedback negativ.

Procese aleatorii în ACS

Noțiuni de bază

Mai sus, procesele de funcționare ACS au fost studiate atunci când semnalele deterministe sunt recepționate la intrarea acestuia.

În multe cazuri, semnalul de intrare poate lua valori aleatorii. În acest caz, pot fi evaluate numai caracteristicile probabilistice.

Un exemplu de expunere aleatorie: sistem de urmărire a contorului de viteză Doppler. Caracteristicile spectrale ale proceselor ACS în acest caz sunt prezentate în Fig. 66.

Frecvența Doppler W depinde nu numai de viteza obiectului, ci și de unghiul de incidență al fasciculului și de tipul suprafeței subiacente, prin urmare este aleatorie. În acest caz, caracteristica spectrală a semnalului primit are o amplitudine S W și o lățime aleatorie Dw.

Orez. 66. Caracteristicile spectrale ale proceselor aleatorii ACS

w 0 este frecvența emisă;

w P - frecvența recepționată;

Dw este lățimea spectrului.

Calcule pentru un minim de eroare

Dacă sistemul este afectat simultan de un semnal util și de interferență, atunci problema calculării optime a sistemului poate fi rezolvată pentru a asigura cea mai mică eroare de sistem rezultată.

Criteriul este valoarea minimă a erorii rezultate a sistemului, determinată de semnal și zgomot. Pentru procesele aleatoare, acestea sunt de obicei limitate la estimarea erorii pătratice medii. Este necesar să se asigure un minim de eroare pătratică medie cu acțiunea simultană a semnalului și a interferenței.

Criteriul arată astfel:

.

Indezirabilitatea unei erori este proporțională cu pătratul mărimii acesteia.

Există două formulări posibile ale acestei probleme.

1. Există un ACS al unei structuri date. Este necesar să se aleagă parametrii săi astfel încât să se asigure o abatere standard minimă pentru parametrii statistici dați ai semnalului și erorii.

Soluția se caută astfel: cunoscând densitatea spectrală a erorii, teoretic, se găsește o expresie pentru calcularea varianței și a deviației standard. Această expresie depinde de parametrii sistemului, de semnalul util și de interferența. Se cauta conditii pentru parametrii sistemului care sa asigure dispersia minima. În cazuri simple, este posibil să se aplice metode cunoscute pentru găsirea extremului unei funcții prin diferențierea și echivalarea derivatelor parțiale cu zero.

2. Se pune întrebarea despre găsirea structurii optime a sistemului și a parametrilor legăturilor pentru a obține eroarea rădăcină-medie-pătratică minimă teoretic pentru caracteristicile probabilistice date ale semnalului util și interferenței.

Soluția este următoarea: se găsește funcția de transfer teoretică a unui sistem închis și este vizată în timpul proiectării. Este posibil ca implementarea unui ACS cu o astfel de funcție de transfer optimă să fie asociată cu dificultăți semnificative.

ACS neliniar

Analiza ACS neliniară (NSAU) este o sarcină destul de dificilă. Când o rezolvă, ei încearcă să reducă un astfel de ACS la unul liniar cu anumite ipoteze și restricții.

Astfel de sisteme le includ pe acelea în care există cel puțin o legătură descrisă prin ecuații diferențiale neliniare.

Legăturile neliniare pot fi de următoarele tipuri:

tip releu;

Cu caracteristică liniară pe bucăți;

Cu o caracteristică curbilinie a oricărei forme;

Există un produs și alte combinații de variabile;

Legătură neliniară cu întârziere;

Legătură de impuls;

boolean;

Descris printr-o ecuație diferențială liniară pe bucăți.

Neliniaritățile pot fi statice și dinamice. Cele statice sunt descrise prin caracteristici statice neliniare, în timp ce cele dinamice sunt descrise prin ecuații diferențiale neliniare.

spațiu fazelor

Pentru o reprezentare vizuală a proceselor ACS neliniare, este introdus conceptul de „spațiu de fază”, care este după cum urmează.

Ecuația diferențială a unui sistem închis n de ordinul al-lea este înlocuit cu un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi.

,

Unde X 1 – valoarea de ieșire;

X 2 – x n sunt variabile auxiliare;

f, g– acțiuni de intrare (deranjante și de conducere);

X 10 = X 1 (t = 0), X 20 = X 2 (t= 0) … sunt condițiile inițiale.

Aceste ecuații diferențiale pot fi reprezentate geometric în n-spaţiul dimensional. De exemplu, când n= 3 (Fig. 75).

Orez. 75. Spațiu de fază tridimensional

Într-un proces real de control în fiecare moment de timp, cantitățile X 1 , X 2 , X 3 au semnificații bine definite. Aceasta corespunde unei poziții bine definite a punctului M in spatiu. Punct M numită reprezentând. În timp, valorile X 1 , X 2 , X 3 schimbare, punct M se deplasează pe o anumită traiectorie, arătând așa-numita traiectorie de fază. Prin urmare, traiectoria punctului M poate servi ca o ilustrare geometrică vizuală a comportamentului dinamic al ACS în procesul de control.

Să luăm în considerare un exemplu de traiectorii de fază ale unor sisteme de control automat liniare. Lasă-le să fie descrise de ecuație . În funcție de parametrii telecomenzii, sunt posibile mai multe cazuri. Unele dintre ele sunt prezentate în Fig. 76.

Orez. 76a corespunde rădăcinilor complexe cu o parte reală negativă (prezența unui proces tranzitoriu amortizat), cazul din fig. 76b prezintă traiectoria de fază a unui proces amortizat aperiodic cu rădăcini reale negative ale ecuației caracteristice.

DE sunt expresii pentru proiecțiile vitezei punctului reprezentativ M pe axa de coordonate. Prin urmare, în funcție de valorile părților corecte ale ecuațiilor în fiecare moment de timp, se poate judeca mișcarea punctului M, și, în consecință, despre comportamentul unei NSAU reale în procesul de control.

Traiectoria fazei este o caracteristică calitativă a NSAU. Pentru a determina valorile cantitative ale semnalelor de ieșire, este necesar să se rezolve ecuații diferențiale în fiecare punct.

Dacă sunt compilate ecuații diferențiale pentru abaterile semnalului de ieșire de la valorile la starea de echilibru, atunci pentru un sistem stabil, curba de fază va tinde spre origine.

A)

Orez. 76. Exemple de traiectorii de fază

Stabilitate conform lui Lyapunov