ระนาบเป็นหนึ่งในตัวเลขที่สำคัญที่สุดในการวัดระนาบ ดังนั้นคุณต้องเข้าใจให้ดีว่ามันคืออะไร ภายในกรอบของเนื้อหานี้ เราจะกำหนดแนวความคิดของระนาบ แสดงให้เห็นว่ามันถูกเขียนเป็นลายลักษณ์อักษรอย่างไร และแนะนำสัญกรณ์ที่จำเป็น จากนั้นเราจะพิจารณาแนวคิดนี้โดยเปรียบเทียบกับจุด เส้น หรือระนาบอื่นๆ และวิเคราะห์ทางเลือกของพวกเขา ตำแหน่งสัมพัทธ์. คำจำกัดความทั้งหมดจะแสดงเป็นภาพกราฟิก และสัจพจน์ที่จำเป็นจะถูกกำหนดแยกกัน ในย่อหน้าสุดท้ายเราจะระบุวิธีการกำหนดระนาบในอวกาศอย่างถูกต้องหลายวิธี

Yandex.RTB R-A-339285-1

เครื่องบินเป็นหนึ่งในตัวเลขที่ง่ายที่สุดในเรขาคณิตพร้อมกับเส้นและจุด ก่อนหน้านี้เราได้อธิบายว่าจุดและเส้นวางอยู่บนระนาบ หากระนาบนี้อยู่ในพื้นที่สามมิติ เราก็จะได้จุดและเส้นในอวกาศ

ในชีวิต ความคิดที่ว่าเครื่องบินสามารถให้อะไรแก่เราได้โดยสิ่งของต่างๆ เช่น พื้นผิวของพื้น โต๊ะ หรือผนัง แต่ต้องคำนึงว่าในชีวิตมิติของพวกเขามี จำกัด แต่ที่นี่แนวคิดของระนาบมีความเกี่ยวข้องกับอินฟินิตี้

เราจะระบุเส้นตรงและจุดที่ตั้งอยู่ในช่องว่างเช่นเดียวกับที่วางบนระนาบ - โดยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์เล็กและตัวพิมพ์ใหญ่ (B, A, d, q, ฯลฯ ) หากในเงื่อนไขของปัญหาเรามีจุดสองจุดที่อยู่ บนเส้นตรง จากนั้นคุณสามารถเลือกการกำหนดดังกล่าวที่จะสอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น เส้น DB และจุด D และ B

เพื่อเป็นตัวแทนของระนาบในการเขียน อักษรกรีกขนาดเล็กจะใช้ตามธรรมเนียม เช่น α, γ หรือ π

หากเราต้องการการแสดงกราฟิกของเครื่องบิน โดยปกติแล้วจะใช้พื้นที่ปิดสำหรับสิ่งนี้ รูปแบบอิสระหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ระนาบมักจะพิจารณาร่วมกับเส้นตรง จุด ระนาบอื่นๆ ปัญหาเกี่ยวกับแนวคิดนี้มักประกอบด้วยตำแหน่งที่แตกต่างกันบางส่วนที่สัมพันธ์กัน ลองพิจารณาแต่ละกรณี

วิธีแรกของการจัดการร่วมกันคือจุดนั้นตั้งอยู่บนเครื่องบิน นั่นคือ เป็นของเธอ เราสามารถกำหนดสัจพจน์:

คำจำกัดความ 1

เครื่องบินทุกลำมีคะแนน

การจัดเรียงนี้เรียกอีกอย่างว่าการส่งผ่านเครื่องบินผ่านจุด เพื่อแสดงสิ่งนี้เป็นลายลักษณ์อักษรจะใช้สัญลักษณ์ ∈ ดังนั้น หากเราต้องเขียนในรูปแบบตัวอักษรที่ระนาบ π หนึ่งเคลื่อนที่ผ่านจุด A เราก็เขียนว่า: A ∈ π

หากระนาบหนึ่งได้รับในอวกาศจำนวนคะแนนที่เป็นของเครื่องบินนั้นจะไม่มีที่สิ้นสุด และอะไร ปริมาณขั้นต่ำคะแนนจะเพียงพอที่จะกำหนดระนาบ? คำตอบสำหรับคำถามนี้คือสัจพจน์ต่อไปนี้

คำจำกัดความ 2

ผ่านจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันมีระนาบเดียว

เมื่อทราบกฎนี้แล้ว คุณสามารถป้อนการกำหนดเครื่องบินใหม่ได้ แทนที่จะใช้อักษรกรีกตัวเล็กๆ เราสามารถใช้ชื่อของจุดที่อยู่ภายในนั้นได้ เช่น เครื่องบิน A B C

อีกวิธีหนึ่งในการจัดเรียงจุดและระนาบร่วมกันโดยใช้สัจพจน์ที่สาม:

คำจำกัดความ 3

คุณสามารถเลือกได้อย่างน้อย 4 จุดที่จะไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

เราได้ระบุไว้ข้างต้นแล้วว่าจุดสามจุดก็เพียงพอที่จะกำหนดระนาบในอวกาศและจุดที่สี่สามารถอยู่ได้ทั้งในและนอก หากคุณต้องการระบุว่าไม่มีจุดที่เป็นของระนาบที่กำหนดเป็นลายลักษณ์อักษร เครื่องหมาย ∉ จะถูกใช้ รายการของแบบฟอร์ม A ∉ π อ่านอย่างถูกต้องว่า "จุด A ไม่เป็นของระนาบ π"

กราฟสัจพจน์สุดท้ายสามารถแสดงได้ดังนี้:

ตัวเลือกที่ง่ายที่สุดคือเส้นอยู่ในระนาบ จากนั้นจะมีจุดอย่างน้อยสองจุดของบรรทัดนี้ มากำหนดสัจพจน์กัน:

คำจำกัดความ 4

ถ้าอย่างน้อยสองจุดของเส้นที่กำหนดอยู่ในระนาบหนึ่ง หมายความว่าทุกจุดของเส้นนี้อยู่ในระนาบนี้

ในการบันทึกสิ่งที่เป็นเส้นตรงไปยังระนาบหนึ่ง เราใช้สัญลักษณ์เดียวกันกับจุด หากเราเขียน “ a ∈ π ” แสดงว่าเรามีเส้น a ซึ่งอยู่ในระนาบ π . ลองอธิบายสิ่งนี้ในรูป:

รูปแบบที่สองของตำแหน่งสัมพัทธ์คือเมื่อเส้นตรงตัดกับระนาบ ในกรณีนี้จะมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวคือจุดตัด ในการเขียนการจัดเรียงในรูปแบบตัวอักษร เราใช้สัญลักษณ์ ∩ . ตัวอย่างเช่น นิพจน์ a ∩ π = M อ่านว่า "เส้นที่ตัดกับระนาบ π ที่จุด M" ถ้าเรามีจุดตัด เราก็มีมุมที่เส้นตัดระนาบด้วย

ตามกราฟิก การจัดเรียงนี้มีลักษณะดังนี้:

หากเรามีเส้นตรงสองเส้น เส้นหนึ่งอยู่ในระนาบและอีกเส้นตัดกัน เส้นนั้นก็จะตั้งฉากกัน ในการเขียนจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ⊥ . เราจะพิจารณาคุณสมบัติของตำแหน่งนี้ในบทความแยกต่างหาก ในรูป ตำแหน่งนี้จะมีลักษณะดังนี้:

ถ้าเรากำลังแก้ปัญหาที่มีระนาบ เราต้องรู้ว่าเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบคืออะไร

คำจำกัดความ 5

เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบคือเวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตั้งฉากเทียบกับระนาบและไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างของเวกเตอร์ระนาบปกติแสดงในรูป:

กรณีที่สามของตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงและระนาบคือการขนานกัน ในกรณีนี้ ไม่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว เพื่อระบุความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นลายลักษณ์อักษรจะใช้สัญลักษณ์ ∥ ถ้าเรามีบันทึกของรูปแบบ a ∥ π ก็ควรอ่านดังนี้: "เส้น a ขนานกับระนาบ ∥" เราจะวิเคราะห์กรณีนี้โดยละเอียดในบทความเกี่ยวกับระนาบและเส้นคู่ขนาน

หากเส้นตรงอยู่ภายในระนาบ เส้นนั้นจะแบ่งออกเป็นสองส่วนที่เท่ากันหรือไม่เท่ากัน (ครึ่งระนาบ) จากนั้นเส้นตรงดังกล่าวจะเรียกว่าขอบเขตของครึ่งระนาบ

จุด 2 จุดใดๆ ที่อยู่ในครึ่งระนาบเดียวกันจะอยู่บนด้านเดียวกันของขอบเขต และจุดสองจุดที่เป็นของครึ่งระนาบที่ต่างกันจะอยู่ฝั่งตรงข้ามของขอบเขต

1. ตัวเลือกที่ง่ายที่สุด - เครื่องบินสองลำเกิดขึ้นพร้อมกัน จากนั้นพวกเขาจะมีจุดร่วมอย่างน้อยสามจุด

2. เครื่องบินลำหนึ่งสามารถตัดกันอีกลำได้ สิ่งนี้สร้างเส้นตรง เราได้รับสัจพจน์:

คำจำกัดความ 6

หากระนาบสองระนาบตัดกัน ก็จะเกิดเส้นตรงร่วมระหว่างระนาบ ซึ่งจุดตัดที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะอยู่

บนแผนภูมิจะมีลักษณะดังนี้:

ในกรณีนี้ จะเกิดมุมระหว่างระนาบ หากเท่ากับ 90 องศา เครื่องบินจะตั้งฉากกัน

3. ระนาบสองระนาบขนานกัน นั่นคือ ไม่มีจุดตัดเดียว

ถ้าเราไม่มีระนาบสองอัน แต่มีสามระนาบหรือมากกว่าตัดกัน การรวมกันดังกล่าวมักจะเรียกว่ามัดหรือมัดของระนาบ เราจะเขียนเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความแยกต่างหาก

ในย่อหน้านี้ เราจะมาดูกันว่าวิธีกำหนดระนาบในอวกาศมีอะไรบ้าง

1. วิธีแรกขึ้นอยู่กับสัจพจน์ข้อใดข้อหนึ่ง: ระนาบเดียวผ่าน 3 จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ดังนั้น เราสามารถกำหนดระนาบโดยการระบุจุดดังกล่าวสามจุด

ถ้าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในพื้นที่สามมิติ ซึ่งระนาบถูกกำหนดโดยใช้วิธีนี้ เราก็สามารถเขียนสมการสำหรับระนาบนี้ได้ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ให้ดูบทความที่เกี่ยวข้อง) เราพรรณนาวิธีนี้ในรูป:

2. วิธีที่สอง กำหนดระนาบโดยใช้เส้นตรงและจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงนี้ จากสัจธรรมเกี่ยวกับระนาบที่ผ่าน 3 จุด ดูภาพ:

3. วิธีที่สาม กำหนดระนาบที่ผ่านเส้นตัดกันสองเส้น (ดังที่เราจำได้ ในกรณีนี้ มีระนาบเดียวด้วย) ลองอธิบายวิธีการดังนี้

4. วิธีที่สี่ใช้เส้นขนาน จำได้ว่าเส้นใดเรียกว่าขนาน: ต้องอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดตัดเดียว ปรากฎว่าถ้าเราระบุเส้นสองเส้นดังกล่าวในอวกาศ เราก็จะสามารถกำหนดระนาบเดียวสำหรับพวกมันได้ ถ้าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในอวกาศซึ่งระนาบถูกกำหนดไว้แล้วด้วยวิธีนี้ เราก็จะได้สมการของระนาบดังกล่าว

ในรูป วิธีนี้จะมีลักษณะดังนี้:

หากเราจำได้ว่าเครื่องหมายของการขนานกันคืออะไร เราจะได้วิธีอื่นในการกำหนดระนาบ:

คำจำกัดความ 7

ถ้าเรามีเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบหนึ่งซึ่งขนานกับเส้นสองเส้นในระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

ดังนั้น หากเราระบุจุด เราก็สามารถระบุระนาบที่ผ่านจุดนั้น และระนาบที่จะขนานไปกับมันได้ ในกรณีนี้ เราสามารถหาสมการของระนาบได้ด้วย (เรามีเนื้อหาแยกต่างหากในเรื่องนี้)

จำทฤษฎีบทหนึ่งที่ศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิต:

คำจำกัดความ 8

ผ่านจุดหนึ่งในอวกาศ ระนาบเดียวเท่านั้นที่สามารถผ่าน ซึ่งจะขนานกับเส้นที่กำหนด

ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถกำหนดระนาบโดยการระบุจุดเฉพาะที่เครื่องบินจะผ่าน และเส้นที่จะตั้งฉากกับระนาบ ถ้าระนาบถูกกำหนดด้วยวิธีนี้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เราก็สามารถเขียนสมการระนาบของมันได้

นอกจากนี้ เราไม่สามารถระบุเส้นตรงได้ แต่เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ จากนั้นจึงจะสามารถกำหนดสมการทั่วไปได้

เราได้พิจารณาวิธีหลักในการวางระนาบในอวกาศ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ตำแหน่งของระนาบในอวกาศสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนโดยหนึ่งในองค์ประกอบที่รู้จักกันดีในเรขาคณิต ดังนั้นระนาบสามารถกำหนดได้หนึ่งในหกวิธี:

ก) สามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

b) เส้นและจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้

c) เส้นขนานสองเส้น

d) สองเส้นตัดกัน;

จ) รูปร่างแบน;

จ) ร่องรอย

จากนั้นในภาพวาด (รูปที่ 3.1) วัตถุเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง (จุด, เส้น) จะดูเหมือนการฉายภาพ

ข้าว. 3.1. ภาพวาดที่ซับซ้อนสองภาพแบบไม่มีแกนของวัตถุเรขาคณิตที่กำหนดระนาบ

3.2. เครื่องบินส่วนตัวและ ตำแหน่งทั่วไป

3.2.1. ระนาบระดับ

ระนาบระนาบคือระนาบขนานกับระนาบการฉายภาพหนึ่งระนาบ ดังนั้นจึงตั้งฉากกับอีกสองระนาบ จากนั้นเส้นโครงของระนาบระนาบจะเป็นเส้นตรงขนานกับแกนที่เกี่ยวข้องกัน (รูปที่ 3.2) ไม่ว่าจะระบุระนาบอย่างไร เฉพาะการฉายภาพบนระนาบของการฉายภาพที่ระนาบที่กำหนดขนานกันขึ้นอยู่กับวิธีการระบุระนาบ

เครื่องบินขนาน พี 1 เรียกว่าระนาบระดับแนวนอน ( จี). ในรูป 3.2a ให้สามแต้ม

เครื่องบินขนาน พี 2 เรียกว่าระนาบหน้าผากระดับ ( F). มาตั้งค่าด้วยเส้นขนานกัน (รูปที่ 3.2b)

เครื่องบินขนาน พี 3 เรียกว่าระนาบโปรไฟล์ระดับ ( R). เราพิจารณาจากการตัดเส้นตรง (รูปที่ 3.2c)

ข้าว. 3.2. ระนาบระดับใน multidrawing

3.2.2. ฉายเครื่องบิน

ระนาบที่ยื่นออกมาคือระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพตัวใดตัวหนึ่ง ตามคำจำกัดความ ระนาบดังกล่าวจะเสื่อมสภาพเป็นเส้นตรงเมื่อฉายลงบนระนาบการฉายภาพซึ่งระนาบดังกล่าวตั้งฉาก

ข้าว. 3.3. การฉายระนาบในรูปวาดที่ซับซ้อน

ระนาบยื่นในแนวนอนคือระนาบตั้งฉากกับ พี 1 , การฉายภาพด้านหน้า - ตั้งฉาก พี 2 และโปรไฟล์การฉาย - เครื่องบินตั้งฉากกับ พี 3 . ในภาพวาดรูปแรกจะได้รับจากร่างแบน (รูปที่ 3.3a) ส่วนที่สอง - โดยจุดและเส้นตรง (รูปที่ 3.3b) ส่วนที่สาม - โดยเส้นคู่ขนานสองเส้น (รูปที่ 3.3c ).

3.2.3 เครื่องบินในตำแหน่งทั่วไป

ระนาบในตำแหน่งทั่วไปคือระนาบที่ไม่ตั้งฉากหรือขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ และด้วยเหตุนี้จึงจัดวางในมุมที่กำหนดโดยพลการกับแต่ละระนาบ

สำหรับเครื่องบินลำดังกล่าว การฉายภาพทั้งหมดจะเป็นตัวเลขแบนๆ (รูปที่ 3.4)

ข้าว. 3.4. ระนาบในตำแหน่งทั่วไปที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม

3.3. เป็นของจุดและระนาบตรง

จุดเป็นของระนาบหากอยู่ในเส้นที่อยู่ในระนาบนั้น เป็นของระนาบเส้นตรงถูกกำหนดโดยหนึ่งในสองสัญญาณ:

ก) เส้นที่ลากผ่านจุดสองจุดที่อยู่บนระนาบนี้

b) เส้นที่ลากผ่านจุดหนึ่งและขนานกับเส้นที่อยู่ในระนาบนี้

3.4. สายหลักของเครื่องบิน

เส้นหลักของระนาบคือเส้นระดับที่วางอยู่ในระนาบที่กำหนด พิจารณาการสร้างเส้นหลักของระนาบที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3.5)

รูปร่างเครื่องบิน DABCเราเริ่มต้นด้วยการวาดโครงหน้าของมัน ชม 2 ซึ่งรู้กันว่าขนานกับแกน โอ้. เนื่องจากเส้นแนวนอนนี้เป็นของระนาบที่กำหนด มันจึงผ่านจุดสองจุดของระนาบ DABCกล่าวคือ คะแนน อาและ 1. มีโครงหน้า อา 2 และ 1 2 ตามแนวการสื่อสารเราจะได้เส้นโครงแนวนอน 1 1 . โดยการเชื่อมต่อจุด อา 1 และ 1 1 เรามีเส้นโครงแนวนอน ชม 1 ระนาบแนวนอน DABC. การฉายภาพโปรไฟล์ ชม 3 รูปทรงระนาบ DABCจะขนานกับแกน โอ้ตามคำจำกัดความ

หน้าเครื่องบิน DABCถูกสร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน (รูปที่ 3.5) โดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่การวาดภาพเริ่มต้นด้วยการฉายภาพในแนวนอน ฉ 1 เนื่องจากทราบว่าขนานกับแกน OX การฉายภาพโปรไฟล์ ฉ 3 ส่วนหน้าควรขนานกับแกน OZ

เส้นโปรไฟล์เครื่องบิน DABCมีแนวนอน R 1 และด้านหน้า R 2 โครงขนานกับแกน ออยและ ออนซ์, และการฉายภาพโปรไฟล์ R 3 สามารถเข้าถึงได้โดยด้านหน้าโดยใช้จุดแยก วีและ 3 วิ D ABC.

เมื่อสร้างเส้นหลักของระนาบ คุณต้องจำกฎเพียงข้อเดียว: เพื่อแก้ปัญหา คุณต้องได้จุดตัดสองจุดด้วยระนาบที่กำหนดเสมอ

ข้าว. 3.5. การสร้างเส้นหลักของระนาบที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม

3.5. ตำแหน่งร่วมกันของเส้นและระนาบ

3.5.1. ความขนานของเส้นและระนาบ

ก) หากเส้นขนานกัน การฉายภาพที่มีชื่อเดียวกันก็จะขนานกัน ข) เส้นขนานกับระนาบ ถ้าขนานกับเส้นใด ๆ ในระนาบนั้น

ข้าว. 3.6. การสร้างวัตถุทรงเรขาคณิตคู่ขนาน

แล้วสร้างเส้นขนาน เอ(รูปที่ 3.6a) จำเป็นต้องให้เส้นโครงทั้งสองขนานกับเส้นโครงที่มีชื่อเดียวกัน (เช่น AB) นอนอยู่ในระนาบที่กำหนด c) ระนาบขนานกันถ้าเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานคู่ขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบอื่น เพื่อตีความคุณสมบัตินี้ ก็เพียงพอที่จะเสริมโครงสร้างในรูปที่ 3.6a อีกหนึ่งบรรทัด วีข้าม เอและขนานกัน ดวงอาทิตย์(รูปที่ 3.6b)

3.5.2. ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

ก) เส้นจะตั้งฉากกับระนาบ ถ้าเส้นนั้นตั้งฉากกับเส้นตัดสองเส้นที่อยู่ในระนาบนี้ เส้นหนึ่งอยู่ด้านหน้าและอีกเส้นเป็นแนวนอน

แม้ว่าจะค่อนข้างเพียงพอสำหรับความตั้งฉากที่เส้นตัดกันที่ระบุเป็นเส้นใดๆ ในระนาบที่กำหนด อย่างไรก็ตาม เฉพาะแนวนอนและส่วนหน้าเท่านั้นที่ทำให้สามารถรับการฉายภาพของมุมฉากที่เกิดจากฉากตั้งฉากกับระนาบได้โดยไม่ผิดเพี้ยน และหน้าผาก (on พี 2) และตั้งฉากกับระนาบและแนวนอน (on พีหนึ่ง). จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าการฉายภาพแนวนอนของแนวตั้งฉากนี้อยู่ที่มุมฉากกับการฉายภาพแนวนอนของแนวนอน และการฉายภาพด้านหน้าอยู่ที่มุมฉากกับการฉายภาพด้านหน้าของส่วนหน้า

ข้าว. 3.7. การสร้างวัตถุทรงเรขาคณิตที่ตั้งฉาก

ข) ระนาบจะตั้งฉากกันถ้าหนึ่งในนั้นมีตั้งฉากกับอีกอันหนึ่ง

ลองเปิดไปที่รูปที่ 3.7a โดยที่เส้นตั้งฉาก gถึงเครื่องบินที่สร้างขึ้นแล้วจำเป็นต้องผ่านจุด ดีลากเส้นตามอำเภอใจ q(รูปที่ 3.7b)

3.6. ปัญหาตำแหน่งบนเครื่องบิน

งานตำแหน่งเรียกว่างานเพื่อกำหนดองค์ประกอบทั่วไปของวัตถุทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ เส้นของจุดตัดของระนาบสองระนาบ

3.6.1. จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ

ปัญหาจุดตัดของเส้นตรงและระนาบสามารถแก้ไขได้โดยใช้ระนาบเสริมซึ่งต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ก) เป็นระนาบของตำแหน่งเฉพาะ เนื่องจากเป็นระนาบของตำแหน่งเฉพาะที่ฉายบนระนาบที่สอดคล้องกันของการฉายภาพในรูปแบบของเส้นตรง

b) ผ่านเส้นตรงซึ่งเป็นจุดตัดกับระนาบที่เรากำลังมองหา

พิจารณากรณีพิเศษก่อน ให้ระนาบอยู่ในตำแหน่งเฉพาะในอวกาศ เช่น ฉายในแนวนอนและกำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม ABC(รูปที่ 3.8 ก) หาจุดตัดกับเส้น เอให้โดยพลการ เพราะเมื่อ พี 1 ระนาบที่ฉายในแนวนอนเสื่อมเป็นเส้นตรง S 1 จากนั้นการฉายภาพแนวนอนของจุดตัดจะเป็น ถึงหนึ่ง . ลงมาเป็นเส้นตรง เอ 2 (ตรงจุดแยก ถึงอยู่ในเส้น a) หาการฉายภาพหน้าผาก ถึง 2 จุดแยก.

มันยังคงกำหนดส่วนที่มองเห็นได้ของเส้นตรง เอ, เพราะเมื่อ พี 2 ส่วนของเส้นที่กำหนดจะถูกปิดจากผู้สังเกตโดยเครื่องบิน DABC. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาจุดที่โครงหน้าตัดกัน เอและทางตรงใดๆ (เช่น AC) นอนอยู่บนเครื่องบิน DABC. มากำหนดจุดนี้กัน 1 2 . แต่เส้น a และ DABCได้เพียงจุดเดียวเท่านั้นที่เราพบ ( ถึง 2). จุดอื่นๆ ทั้งหมดจะเป็นจุดที่พวกมันตัดกัน ดังนั้น เส้นตรง เอและ ACตัดกันในอวกาศ ซึ่งหมายความว่าทุกจุดที่ฉายภาพตัดกันจะแข่งขันกัน คือ 1 2 =2 2 แล้วต่อ พี 1 เรามีเหนือสายการสื่อสาร 1 1 н อา 1 กับ 1 และ 2 1 อีกครั้ง เอหนึ่ง . มองเห็นได้คือจุดที่ 2 ซึ่งเป็นของเส้น เอ. นี้สงวนไว้จนถึงจุดสี่แยก ถึง 2. ย่อมเป็นส่วนของเส้นตรง เอจะมองไม่เห็น (ระบุด้วยเส้นประ) จนกระทั่งออกจากใต้เครื่องบิน DABC. ตอนนี้ปัญหาสามารถพิจารณาแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์

พิจารณากรณีทั่วไปของจุดตัดของเส้นตรงและระนาบ เมื่อทั้งสองอยู่ในตำแหน่งทั่วไปในอวกาศ ให้ระนาบเป็นสามเหลี่ยม DABC. ต่อไปนี้และต่อไปนี้ เราใช้คำจำกัดความของระนาบโดยส่วนใหญ่เป็นรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากในกรณีนี้ การแก้ปัญหาจะชัดเจนที่สุด จำเป็นต้องหาจุดตัดของเส้นที่กำหนดโดยพลการ วีกับ DABC(รูปที่ 3.8, ข).

ตามที่ระบุไว้ข้างต้นคุณต้องผ่านเส้นตรง วีวาดระนาบของตำแหน่งส่วนตัว (เช่น การฉายด้านหน้า) เส้นตัดของระนาบนี้ตรงกับเส้นตรง วีบน พี 2 คือ S2 = วี 2. จากนั้นที่จุดตัดกัน 3 2 และ 4 2 เราสร้างจุด 3 1 และ 4 1 และด้วยเหตุนี้เส้น 3 1 4 1 ซึ่งเป็นเส้นโครงแนวนอนของเส้นตัดของระนาบ S และ DABC. แต่เนื่องจากเส้นตรง34Ì ดีเอบีซีจากนั้นจุด K 1 จะเป็นเส้นโครงแนวนอนของจุดตัดของเส้นตรง วีและ ดีบีซี.บนนั้นเราจะพบการฉายภาพหน้าผาก ถึง 2 ซึ่งเห็นได้ชัดว่าควรอยู่บน วี 2 (เพราะจุดตัดยังเป็นของเส้น วีและ D ABC)

ข้าว. 3.8. จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ

กำหนดส่วนที่มองเห็นได้ของเส้นตรง วีทั้งสองประมาณการเหนือจุดแข่งขัน เพื่อกำหนดการมองเห็น พี 2 เราใช้คะแนนการแข่งขันด้านหน้า (เช่น คะแนน 3 2 =5 2 , โดยที่ วี 2 และ อา 2 วี 2). เห็นได้ชัดว่าจุดที่ 3 1 อยู่ใกล้กับเรามากกว่าจุดที่ 5 1 . ดังนั้น บน พี 2 เหนือ 3 2 จากนั้น ณ จุดนั้น อา 2 วี 2 ด้านบนและ วี 2 อยู่ใต้. นี่เป็นจริงจนถึงจุดสี่แยกเท่านั้น ถึง 2. นอกจากนี้โดยธรรมชาติจะสูงขึ้น วี 2. ในทำนองเดียวกันโดยคะแนนการแข่งขันในแนวนอน (เช่น 6 1 =7 1) เรากำหนดว่าที่จุดที่ 6 1 =7 1 เส้น วี 1 กับ 1 สูงกว่า วี 1 เนื่องจากจุดที่ 7 2 อยู่สูงกว่าจุดที่ 6 2 ส่วนที่มองไม่เห็นของเส้นตรง วีแสดงด้วยเส้นประ

3.6.2. จุดตัดของเครื่องบิน วิธีการระนาบตัดเสริม

เนื่องจากเส้นตัดของระนาบสองระนาบเป็นเส้นตรง ในการสร้างมันจึงจำเป็นต้องกำหนดจุดตัดของระนาบเพียงสองจุดเท่านั้น

ในการแก้ปัญหานี้ ได้ใช้วิธีระนาบการตัดเสริม ซึ่งมีดังนี้

มีการแนะนำเครื่องบินเพิ่มเติมสองลำที่ตัดกันระหว่างเครื่องบินที่กำหนด สำหรับระนาบเสริม (เสริม) แต่ละระนาบ เราสร้างเส้นตัดกับระนาบที่กำหนด จุดตัดของเส้นผลลัพธ์ทั้งสองจะเป็นจุดตัดของระนาบที่กำหนด เนื่องจากมีระนาบเพิ่มเติมสองระนาบ จึงมีจุดตัดกันสองจุดของระนาบที่กำหนด เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน เราได้เส้นตัดของระนาบ แน่นอนว่าระนาบเพิ่มเติมแต่ละระนาบจะต้องอยู่ในตำแหน่งเฉพาะในอวกาศ จากนั้นจึงฉายลงบนระนาบการฉายซึ่งระนาบเสริมตั้งฉาก มันถูกฉายเป็นเส้นตรง มิฉะนั้น หากระนาบเสริมอยู่ในตำแหน่งทั่วไป การแนะนำระนาบเพิ่มเติมไม่ได้ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ลองอธิบายด้วยสองตัวอย่าง

หาเส้นตัดของสามเหลี่ยมสองรูป ABCและ DEFและกำหนดการมองเห็นด้านข้าง (รูปที่ 3.9) มาสร้างเส้นตัดของสามเหลี่ยมโดยใช้ระนาบซีแคนต์เพิ่มเติมกัน เพื่อลดความซับซ้อนของการแก้ปัญหา ระนาบซีแคนต์จะถูกลากผ่านด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

ข้าว. 3.9. จุดตัดของสามเหลี่ยมสองรูป

ให้ระนาบ S ฉายในแนวนอนเพิ่มเติมผ่านด้านข้าง DE. แล้ว S 1 = ดี 1 อีหนึ่ง . นี่คือการฉายภาพในแนวนอนของเสฉนทางแยก S กับ DABCและ DDEF. มาสร้างโครงหน้ากันเถอะ สำหรับ DDEFนี่มันชัดเจน ดี 2 อี 2. สำหรับ DABCในการฉายภาพแนวนอน 1 1 และ 2 1 ของจุดตัดเราพบการฉายภาพด้านหน้า 1 2 และ 2 2 เชื่อมต่อซึ่งเราได้การฉายภาพด้านหน้าของเส้นตัดของระนาบ S และ DABC. ส่วนต่อขยายสาย ดี 2 อี 2 และ 1 2 2 2 หาจุดตัดของพวกมัน นู๋ 2 * ซึ่งเป็นจุดตัดของระนาบที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม ควรสังเกตว่าจุด นู๋ 2 * ไม่ได้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นจึงเป็นจุดตัดไม่ใช่ของสามเหลี่ยม แต่เป็นระนาบที่สามเหลี่ยมอยู่

ในทำนองเดียวกัน แนะนำเครื่องบิน S* ที่ฉายในแนวนอนเพิ่มเติมผ่านด้านข้าง ดวงอาทิตย์สามเหลี่ยม ABC, หาจุด เอ็ม 2 ทางแยกของสามเหลี่ยมที่กำหนด

โดยการเชื่อมต่อจุด นู๋ 2 * และ เอ็ม 2 , หาโครงหน้าของเส้นตัดระนาบของรูปสามเหลี่ยม ABCและ เดฟมีการจัดสรรที่ดิน นู๋ 2 เอ็ม 2 นอนอยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองเราได้รับการฉายด้านหน้าของเส้นตัดของรูปสามเหลี่ยม ABCและ เดฟตามกระแส นู๋ 2 เอ็ม 2 , เรายังกำหนดเส้นโครงแนวนอน นู๋ 1 เอ็ม 1 เส้นตัดกันของสามเหลี่ยมที่กำหนด ควรสังเกตว่าเราเลือกเครื่องบินเพิ่มเติมโดยพลการ การมองเห็นด้านข้างและส่วนต่างๆ ของสามเหลี่ยมนั้นพิจารณาจากจุดที่แข่งขันกัน มีสองจุดดังกล่าวแล้ว (2 1 = 3 1) เมื่อพิจารณาจากโครงหน้า จะเห็นได้ว่า 2 1 มองไม่เห็น ดังนั้น ณ จุดนี้บรรทัด ดี 1 อี 1 ข้างบน วี 1 กับ 1 ดังนั้นจึงสูงกว่าตลอดความยาวเนื่องจากระนาบของสามเหลี่ยม DA 1 วี 1 กับ 1ไม่ข้ามไปไหน แล้วอีกด้านหนึ่งของ นู๋ 1 เอ็ม 1 ระนาบสามเหลี่ยม ดี 1 อี 1 F 1 จะต่ำกว่า ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดทัศนวิสัยในการฉายภาพด้านหน้า โดยพิจารณาจากจุดที่ 5 และ 6 บนเส้นตัดกัน DEและ AB(รูปที่ 3.9). ในกรณีที่กำหนดทัศนวิสัยได้ยาก สามารถใช้ด้านที่ตัดกันหลายคู่ของสามเหลี่ยมที่กำหนดได้

ในการวัดระนาบระนาบ เครื่องบินเป็นหนึ่งในตัวเลขหลัก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องมีแนวคิดที่ชัดเจน บทความนี้จัดทำขึ้นเพื่อครอบคลุมหัวข้อนี้ ประการแรก แนวคิดของเครื่องบิน การแสดงกราฟิก และการกำหนดเครื่องบิน นอกจากนี้ เครื่องบินจะพิจารณาร่วมกับจุด เส้นตรง หรือระนาบอื่น ในขณะที่ทางเลือกเกิดขึ้นจากตำแหน่งสัมพัทธ์ในอวกาศ ในย่อหน้าที่สอง, สามและสี่ของบทความ, ตัวแปรทั้งหมดของการจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบินสองระนาบ, เส้นตรงและระนาบ, เช่นเดียวกับจุดและระนาบ, จะได้รับการวิเคราะห์, สัจพจน์หลักและภาพประกอบกราฟิก โดยสรุปมีวิธีการหลักในการระบุระนาบในอวกาศ

การนำทางหน้า

เครื่องบิน - แนวคิดพื้นฐาน สัญกรณ์และภาพ

ตัวเลขทางเรขาคณิตที่ง่ายและพื้นฐานที่สุดในปริภูมิสามมิติคือจุด เส้น และระนาบ เรามีแนวคิดเกี่ยวกับจุดและเส้นในระนาบแล้ว หากเราวางระนาบซึ่งแสดงจุดและเส้นในพื้นที่สามมิติ เราก็จะได้จุดและเส้นในอวกาศ แนวคิดเรื่องเครื่องบินในอวกาศช่วยให้คุณได้พื้นผิวของโต๊ะหรือผนัง อย่างไรก็ตาม โต๊ะหรือผนังมีขนาดจำกัด และระนาบขยายเกินขอบเขตจนไม่มีที่สิ้นสุด

จุดและเส้นในอวกาศแสดงในลักษณะเดียวกับบนเครื่องบิน - เป็นตัวพิมพ์ใหญ่และตัวอักษรละตินตัวเล็กตามลำดับ ตัวอย่างเช่น จุด A และ Q เส้น a และ d หากให้สองจุดที่อยู่บนเส้นหนึ่ง เส้นนั้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรสองตัวที่สอดคล้องกับจุดเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น เส้น AB หรือ BA ผ่านจุด A และ B เครื่องบินมักใช้อักษรกรีกตัวเล็กๆ แทน เช่น เครื่องบิน หรือ

เมื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องวาดภาพระนาบในรูปวาด เครื่องบินมักจะแสดงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือพื้นที่ปิดอย่างง่ายตามอำเภอใจ

เครื่องบินมักจะพิจารณาร่วมกับจุด เส้นตรง หรือระนาบอื่นๆ และรูปแบบต่างๆ ของการจัดเรียงร่วมกันของพวกมันก็เกิดขึ้น เราหันไปที่คำอธิบายของพวกเขา

การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบินและจุด

เริ่มจากสัจพจน์: มีจุดในทุกระนาบ จากนั้นจึงเป็นไปตามรูปแบบแรกของการจัดเรียงร่วมกันของระนาบและจุด - จุดอาจเป็นของระนาบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เครื่องบินสามารถผ่านจุดหนึ่งได้ เพื่อระบุตำแหน่งของจุดบนระนาบใด ๆ จะใช้สัญลักษณ์ "" ตัวอย่างเช่น หากเครื่องบินผ่านจุด A คุณสามารถเขียนสั้นๆ ได้

ควรเข้าใจว่ามีหลายจุดบนระนาบที่กำหนดในอวกาศ

สัจพจน์ต่อไปนี้แสดงจำนวนจุดที่ต้องทำเครื่องหมายในช่องว่างเพื่อให้พวกเขากำหนดระนาบเฉพาะ: ผ่านจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวเครื่องบินผ่านและเพียงจุดเดียว หากทราบว่ามีสามจุดที่อยู่บนระนาบ ระนาบสามารถแสดงด้วยตัวอักษรสามตัวที่สอดคล้องกับจุดเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น หากเครื่องบินผ่านจุด A, B และ C ก็จะสามารถกำหนด ABC ได้

ให้เรากำหนดสัจพจน์อีกประการหนึ่ง ซึ่งให้ตัวแปรที่สองของการจัดเรียงระนาบร่วมกันของระนาบและจุด: มีจุดอย่างน้อยสี่จุดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน ดังนั้นจุดหนึ่งในอวกาศอาจไม่ใช่ของระนาบ อันที่จริง โดยอาศัยสัจพจน์ก่อนหน้านี้ เครื่องบินผ่านช่องว่างสามจุด และจุดที่สี่อาจอยู่บนระนาบนี้หรือไม่ก็ได้ เมื่อจดชวเลข จะใช้สัญลักษณ์ "" ซึ่งเทียบเท่ากับวลี "ไม่เข้าข่าย"

ตัวอย่างเช่น ถ้าจุด A ไม่อยู่ในระนาบ ก็จะใช้สัญกรณ์สั้นๆ

เส้นและระนาบในอวกาศ

อย่างแรก เส้นสามารถนอนบนเครื่องบินได้ ในกรณีนี้ อย่างน้อยสองจุดของเส้นนี้อยู่ในระนาบ สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยสัจพจน์: หากจุดสองจุดอยู่ในระนาบ จุดทั้งหมดของเส้นนี้จะอยู่ในระนาบ สำหรับบันทึกสั้น ๆ ของการเป็นเจ้าของเส้นหนึ่งของระนาบที่กำหนด ให้ใช้สัญลักษณ์ "" ตัวอย่างเช่น รายการหมายความว่าเส้น a อยู่ในระนาบ

ประการที่สอง เส้นสามารถตัดระนาบได้ ในกรณีนี้ เส้นตรงและระนาบมีจุดร่วมจุดเดียว ซึ่งเรียกว่าจุดตัดของเส้นกับระนาบ ด้วยบันทึกสั้น ๆ ทางแยกจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ "" ตัวอย่างเช่น รายการหมายความว่าเส้น a ตัดกับระนาบที่จุด M เมื่อเส้นบางเส้นตัดกับระนาบ แนวความคิดของมุมระหว่างเส้นกับระนาบจะเกิดขึ้น

แยกจากกัน ควรอยู่บนเส้นที่ตัดระนาบและตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้ เส้นดังกล่าวเรียกว่าตั้งฉากกับระนาบ สำหรับการบันทึกความตั้งฉากสั้น ๆ จะใช้สัญลักษณ์ "" หากต้องการศึกษาเนื้อหาในเชิงลึกยิ่งขึ้น โปรดดูบทความเรื่องความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

สิ่งที่สำคัญเป็นพิเศษในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระนาบคือสิ่งที่เรียกว่าเวกเตอร์ปกติของระนาบ เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบคือเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่วางอยู่บนเส้นตั้งฉากกับระนาบนี้

ประการที่สาม เส้นตรงสามารถขนานกับระนาบ นั่นคือ ไม่มีจุดร่วมในนั้น เมื่อจดชวเลขความขนาน จะใช้สัญลักษณ์ "" ตัวอย่างเช่น หากเส้น a ขนานกับระนาบ คุณสามารถเขียน . เราขอแนะนำให้คุณศึกษากรณีนี้โดยละเอียดโดยอ้างถึงบทความเรื่องความเท่าเทียมของเส้นตรงและระนาบ

ควรจะกล่าวว่าเส้นตรงที่วางอยู่บนระนาบแบ่งระนาบนี้เป็นระนาบครึ่งสองระนาบ เส้นตรงในกรณีนี้เรียกว่าขอบเขตของระนาบครึ่ง จุดสองจุดใดๆ ของครึ่งระนาบเดียวกันจะอยู่บนด้านเดียวกันของเส้นตรง และจุดสองจุดของครึ่งระนาบที่ต่างกันอยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นเขต

การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบิน

เครื่องบินสองลำในอวกาศสามารถเกิดขึ้นได้ ในกรณีนี้ พวกเขามีอย่างน้อยสามจุดที่เหมือนกัน

เครื่องบินสองลำในอวกาศสามารถตัดกันได้ จุดตัดของระนาบสองระนาบเป็นเส้นตรงซึ่งกำหนดโดยสัจพจน์: หากระนาบสองระนาบมีจุดร่วม ก็จะมีเส้นตรงร่วมที่จุดร่วมทั้งหมดของระนาบเหล่านี้อยู่

ในกรณีนี้ แนวความคิดของมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันเกิดขึ้น สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่มุมระหว่างระนาบเท่ากับเก้าสิบองศา ระนาบดังกล่าวเรียกว่าตั้งฉาก เราได้พูดถึงพวกเขาในบทความเรื่องความตั้งฉากของระนาบ

ในที่สุด ระนาบสองระนาบในอวกาศสามารถขนานกันได้ นั่นคือไม่มีจุดร่วม เราแนะนำให้คุณอ่านบทความเรื่องความเท่าเทียมของระนาบเพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ของตัวแปรตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบนี้

วิธีการกำหนดระนาบ

ตอนนี้เราแสดงรายการวิธีหลักในการกำหนดระนาบเฉพาะในอวกาศ

ประการแรก เครื่องบินสามารถกำหนดได้โดยการกำหนดจุดสามจุดในช่องว่างที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน วิธีนี้ขึ้นอยู่กับสัจพจน์: มีระนาบเดียวบนจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

หากระนาบได้รับการแก้ไขและกำหนดในปริภูมิสามมิติโดยการระบุพิกัดของจุดต่าง ๆ สามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว เราก็สามารถเขียนสมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนดได้

สองวิธีถัดไปในการระบุระนาบเป็นผลมาจากวิธีก่อนหน้า สิ่งเหล่านี้ขึ้นอยู่กับผลที่ตามมาของสัจพจน์เกี่ยวกับระนาบที่ผ่านสามจุด:

• เครื่องบินผ่านเส้นหนึ่งและจุดที่ไม่ได้อยู่บนนั้น ยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงจุดเดียว (ดูสมการบทความของระนาบที่ผ่านเส้นหนึ่งและจุดหนึ่ง)
• ระนาบเดียวผ่านเส้นตัดกันสองเส้น (เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาของบทความ สมการของระนาบที่ตัดผ่านเส้นตัดกันสองเส้น)

วิธีที่สี่ในการกำหนดระนาบในอวกาศนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของเส้นคู่ขนาน จำได้ว่าเส้นสองเส้นในอวกาศเรียกว่าขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน ดังนั้น โดยการระบุเส้นขนานสองเส้นในอวกาศ เราจะกำหนดระนาบเดียวที่เส้นเหล่านี้วางอยู่

หากในปริภูมิสามมิติเทียบกับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ให้ระนาบด้วยวิธีนี้ เราก็สามารถเขียนสมการสำหรับระนาบที่ลากผ่านเส้นคู่ขนานสองเส้นได้

ฉันรู้ มัธยมในบทเรียนเรขาคณิต ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว: ระนาบเดียวผ่านจุดคงที่ในอวกาศ ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ดังนั้น เราสามารถกำหนดระนาบได้หากเราระบุจุดที่เครื่องบินผ่านและเส้นตั้งฉากกับระนาบ

หากระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดตายตัวในปริภูมิสามมิติและกำหนดระนาบตามวิธีที่ระบุ ก็เป็นไปได้ที่จะสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในแนวตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

แทนที่จะเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบ สามารถระบุหนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้ได้ ในกรณีนี้สามารถเขียน

จากสัจพจน์ของ stereometry ที่เรานำมาใช้ เราได้รับทฤษฎีบทที่สำคัญและผลที่ตามมาเกี่ยวกับเส้นและระนาบ ด้วยตัวเองพวกเขาค่อนข้างชัดเจน พิจารณาข้อพิสูจน์ของพวกเขา ซึ่งแสดงให้เห็นว่าคำกล่าวใด ๆ สามารถอนุมานจากสัจพจน์อย่างเคร่งครัดพร้อมการอ้างอิงที่จำเป็นทั้งหมดได้อย่างไร

2.1 การกำหนดเส้นตรงที่มีจุดสองจุด

การพิสูจน์. ในข้อ 1.1 มีการพิสูจน์แล้วว่าผ่านทุก ๆ สองจุด A และ B มีการผ่านเส้น a

ให้เราพิสูจน์ว่าบรรทัดนี้มีเพียงหนึ่งเดียว เส้น a อยู่ในระนาบ a. ให้เราสมมติว่า นอกจากเส้น a แล้ว เส้น b ยังผ่านจุด A, B ด้วย (รูปที่ 31) ตามสัจพจน์ 3 เส้นที่มีจุดสองจุดที่เหมือนกันกับระนาบอยู่ในระนาบนี้ เนื่องจากเส้น b มีจุดร่วม A และ B ที่มี a ดังนั้น b จะอยู่ในระนาบ α

ข้าว. 31

แต่ในระนาบ a จะทำการวัดระนาบ และด้วยเหตุนี้ เส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุด A และ B ทั้งสองจุด ดังนั้นเส้น a และ b จึงตรงกัน ดังนั้น เส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุด A และ B

ผลที่ตามมา ในอวกาศ (เช่นเดียวกับบนเครื่องบิน) เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นไม่สามารถมีจุดร่วมได้มากกว่าหนึ่งจุด

เส้นสองเส้นที่มีจุดร่วมจุดเดียวเรียกว่าตัดกัน

ความคิดเห็น ไม่ใช่ข้อเสนอที่เป็นจริงในการวัดระนาบเสมอไปในเรขาคณิตทึบ ตัวอย่างเช่นในระนาบผ่านจุดที่กำหนดสองจุด N, S วงกลมเดียวที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง NS ผ่านและในอวกาศของวงกลมดังกล่าวมีเซตอนันต์ - ในแต่ละระนาบที่ผ่านจุด N, S เช่น วงกลมอยู่ (รูปที่ 32, ก) .

ข้าว. 32

แต่เส้นตรงที่ผ่านจุด N, S ในอวกาศมีเพียงหนึ่งเดียว นี่เป็นเส้นร่วมของเครื่องบินทุกลำที่ผ่านจุด N, S (รูปที่ 32, b)

เมื่อพิสูจน์แล้วว่ามีเพียงหนึ่งเส้นในช่องว่างในทุก ๆ สองจุด เราสามารถกำหนดเส้นในอวกาศด้วยจุดคู่ใดๆ ของมัน โดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับระนาบที่เส้นนี้อยู่ เส้นตรงที่ผ่านจุด A, B จะแสดง (AB)

เช่นเดียวกับกลุ่ม: ทุก ๆ สองจุดในอวกาศทำหน้าที่เป็นจุดสิ้นสุดของส่วนเดียว

2.2 การกำหนดระนาบที่มีสามจุด

การพิสูจน์. อย่าให้จุด A, B, C อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ตามหลักการของเครื่องบิน เครื่องบินบางลำผ่านจุดเหล่านี้ (ดูรูปที่ 6) เราพิสูจน์ว่ามีเพียงหนึ่งเดียว

สมมติว่าระนาบอื่น (3) นอกเหนือจาก a ผ่านจุด A, B, C เครื่องบิน a และ p มีจุดร่วม (เช่น จุด A) ตามความจริง 2 จุดตัดของระนาบ α และ β เป็นเส้นร่วมของพวกมัน ในจุดนี้ จุดร่วมทั้งหมดของระนาบ α และ β อยู่บนเส้นตรง ดังนั้น จุด A, B, C แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท เนื่องจากตามนั้น A , B, C ไม่นอนบนเส้นตรงเส้นเดียว ดังนั้น จุด A, B, C จะผ่านระนาบ α เพียงหนึ่งระนาบ

เครื่องบินที่ผ่านสามจุด A, B, C ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวจะแสดง (ABC)

ง่ายต่อการแสดงทฤษฎีบท 2 ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของประตูถูกกำหนดโดยบานพับประตูสองตัวและตัวล็อค

2.3 การกำหนดระนาบด้วยเส้นตรงและจุดและเส้นสองเส้น

การพิสูจน์. ให้เส้น a และจุด A ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง ให้จุด B และ C สองจุดบนเส้น a (รูปที่ 33) จุด A ไม่ได้อยู่กับพวกเขาในบรรทัดเดียวกัน เนื่องจากมีเพียงหนึ่งบรรทัดที่ผ่านจุด B และ C - นี่คือเส้น a และจุด A ไม่ได้อยู่บนนั้นโดยเงื่อนไขของทฤษฎีบท

ข้าว. 33

ผ่านจุด A, B, C ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ผ่าน (ตามทฤษฎีบท 2) เครื่องบิน ABC เพียงลำเดียว เส้น a มีจุดร่วมสองจุดคือ B และ C ดังนั้นโดยสัจพจน์ 3 อยู่ในนั้น ดังนั้น เครื่องบิน ABC คือระนาบที่ผ่านเส้น a และจุด A

เราพิสูจน์เอกลักษณ์ของเครื่องบินดังกล่าวด้วยความขัดแย้ง

ให้มีระนาบ β อีกอันที่มีเส้น a และจุด A จากนั้นจะมีจุด B และ C ตามทฤษฎีบท 2 มันจะต้องตรงกับระนาบ ABC ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นได้พิสูจน์ให้เห็นถึงความเป็นเอกลักษณ์

นี่คือภาพประกอบของทฤษฎีบทนี้: พลิกปกหนังสือ คุณกำหนดตำแหน่งของหนังสือด้วยนิ้วของคุณทุกขณะ

การพิสูจน์. ให้เส้น a และ b ตัดกันที่จุด A ใช้จุด B อีกจุดบนเส้น b (รูปที่ 34) ตามทฤษฎีบท 3 เครื่องบิน a ผ่านเส้น a และจุด B ตามสัจพจน์ 3 เส้น b อยู่ในระนาบนี้ เนื่องจากมีจุด A และ B ร่วมกันสองจุด ดังนั้น เครื่องบิน a ผ่านเส้น a และ b พิสูจน์เอกลักษณ์ของเครื่องบินลำดังกล่าวด้วยความขัดแย้ง

ข้าว. 34

ตอนนี้เรารู้สามวิธีในการกำหนดระนาบ:

1. สามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว
2. เส้นตรงและจุดที่ไม่อยู่บนนั้น
3. สองเส้นตัดกัน

คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง

1. คุณรู้อะไรเกี่ยวกับวิธีการกำหนดเส้นตรงในอวกาศ?
2. คุณรู้วิธีกำหนดระนาบอย่างไร

วิธีระบุระนาบที่กำหนดตำแหน่งของระนาบในอวกาศโดยเฉพาะ (ดูรูปที่ 16):

ก) สามจุดที่ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

b) เส้นและจุดนอกเส้น

c) เส้นขนาน

d) เส้นตัดกัน

จ) รูปร่างแบน;

บนไดอะแกรม เครื่องบินถูกระบุโดยการคาดการณ์ขององค์ประกอบทางเรขาคณิตและร่องรอยที่ระบุไว้ องค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์ระนาบ (∆)

เครื่องบินในอวกาศสามารถกำหนดได้ด้วยร่องรอย (ดูรูปที่ 17) ร่องรอยของระนาบคือเส้นตัดของระนาบที่กำหนดกับระนาบของการฉาย ในระบบของระนาบการฉายภาพสามระนาบ ระนาบของตำแหน่งทั่วไป พี(ไม่ตั้งฉากและไม่ขนานกับระนาบการฉาย) สามารถมีได้สามร่องรอย - แนวนอน ( R 1 ), หน้าผาก ( R 2 ), ข้อมูลส่วนตัว ( R 3 ); Рх, รู, รซ- จุดที่หายไป (รูปที่ 17)

3.2. เครื่องบินของตำแหน่งส่วนตัว

เครื่องบินของตำแหน่งส่วนตัวรวมถึง:

การฉายเครื่องบินคือ ระนาบตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพอันใดอันหนึ่ง (รูปที่ 18)

ระนาบระดับคือระนาบขนานกับระนาบการฉายภาพ (รูปที่ 19)

3.3. ฉายเครื่องบิน

คุณสมบัติของระนาบการฉาย:

1. การฉายภาพหนึ่งชิ้นขององค์ประกอบใดๆ ที่อยู่ในระนาบที่ยื่นออกมานั้นเกิดขึ้นพร้อมกับร่องรอยที่สอดคล้องกันของระนาบนี้

2. ในแผนภาพ มุมเอียงของระนาบที่กำหนดไปยังระนาบของการฉายภาพจะถูกฉายเป็นค่าจริง (รูปที่ 18)

3.4. ระนาบระดับ

คุณลักษณะของระนาบระดับคือ ร่างแบนใดๆ ที่อยู่ในระนาบดังกล่าวถูกฉายลงบนระนาบขนานไปกับมันโดยไม่มีการบิดเบือน กล่าวคือ ในมูลค่าที่แท้จริง (รูปที่ 19)

ในการสร้างองค์ประกอบที่อยู่ในระนาบของตำแหน่งทั่วไป คุณต้องปฏิบัติตามกฎสองข้อ:

เส้นตรงเป็นของระนาบถ้ามันผ่านจุดสองจุดที่อยู่บนระนาบหรือถ้ามันผ่านจุดที่อยู่ในระนาบและขนานกับเส้นตรงอีกเส้นที่อยู่ในระนาบนี้ (รูปที่ 20)

จุดอยู่ในระนาบหากอยู่บนเส้นตรงที่อยู่ในระนาบนี้ (รูปที่ 21)

3.6. สายหลักของเครื่องบิน

แนวนอน (ชม) - เส้นตรงนอนอยู่ในระนาบและขนานกับระนาบพร้อมกัน พี 1 (รูปที่ 22). หน้าผาก ( ฉ) - เส้นตรงที่อยู่ในระนาบและขนานกับระนาบ พี 2 . เส้นที่มีความลาดเอียงมากที่สุดคือเส้นตรงที่วางอยู่บนระนาบและตั้งฉากกับแนวนอนหรือด้านหน้าของระนาบ โดยใช้เส้นเอียงสูงสุด มุมเอียงของระนาบกับระนาบการฉายจะถูกกำหนด เส้นที่มีความลาดเอียงมากที่สุดซึ่งตั้งฉากกับระนาบแนวนอนเรียกอีกอย่างว่าเส้นของความชันของระนาบ (VC รูปที่ 22)

ใช้เส้นลาดเอียง มุมเอียงของระนาบจะถูกกำหนด ABCไปยังระนาบการฉายภาพแนวนอน ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องกำหนดขนาดจริงโดยใช้วิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก และมุมระหว่างขนาดธรรมชาติกับการฉายในแนวนอนจะเป็นมุมที่ต้องการ

3.7. คำถามสำหรับการตรวจสอบตนเอง

แสดงรายการและอธิบายวิธีกราฟิกในการระบุระนาบในรูปวาดที่ซับซ้อน

ร่องรอยของเครื่องบินหมายถึงอะไร?

ระนาบใดที่เรียกว่าระนาบการฉายภาพ และลักษณะกราฟิกของมันคืออะไรในภาพวาด?

ให้ลักษณะกราฟิกของระนาบ: แนวนอน - ฉาย, ด้านหน้า - ฉาย, โปรไฟล์ - ฉาย

ระนาบใดเรียกว่าระนาบระนาบ

ระนาบแนวนอนคืออะไร? หน้าผาก? ข้อมูลส่วนตัว? แสดงบนภาพวาด

อะไรคือสัญญาณของการเป็นของระนาบตรงจุดของระนาบ

แสดงบนภาพวาดว่าสามารถใส่เส้นในระนาบได้อย่างไร

ตั้งชื่อสายหลักของเครื่องบิน

จะกำหนดมุมเอียงของระนาบกับระนาบการฉายภาพแนวนอนได้อย่างไร?