การจัดระนาบร่วมกันในอวกาศ

ด้วยการจัดเรียงระนาบสองระนาบร่วมกันในอวกาศ เป็นไปได้หนึ่งในสองกรณีพิเศษร่วมกัน

1. ระนาบสองระนาบมีจุดร่วมกัน จากนั้นตามสัจพจน์ของจุดตัดของระนาบสองระนาบ พวกมันมีเส้นร่วมกัน สัจพจน์ R5 กล่าวว่า: ถ้าระนาบสองระนาบมีจุดร่วม จุดตัดของระนาบเหล่านี้คือเส้นร่วม จากสัจพจน์นี้เป็นไปตามนั้นสำหรับระนาบ ระนาบดังกล่าวเรียกว่าการตัดกัน

ระนาบทั้งสองไม่มีจุดร่วมกัน

3. ระนาบสองระนาบตรงกัน

3. เวกเตอร์บนระนาบและในอวกาศ

เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรง ความยาวถือเป็นความยาวของส่วน ถ้ากำหนดสองจุด M1 (x1, y1, z1) และ M2 (x2, y2, z2) แล้วเวกเตอร์

ถ้าให้เวกเตอร์สองตัวแล้ว

1. ความยาวของเวกเตอร์

2. ผลรวมของเวกเตอร์:

3. ผลรวมของเวกเตอร์ a และ b สองตัวคือเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ ซึ่งมาจากจุดร่วมของการประยุกต์ (กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) หรือเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย - ตามกฎสามเหลี่ยม ผลรวมของเวกเตอร์สามตัว a, b, c คือเส้นทแยงมุมของเวกเตอร์ขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ (กฎของเวกเตอร์ขนาน)

พิจารณา:

• 1. จุดกำเนิดของพิกัดอยู่ที่จุด A
• 2. ด้านของลูกบาศก์เป็นปล้องเดียว
• 3. เรากำหนดทิศทางแกน OX ไปตามขอบ AB, OY ไปตามขอบ AD และแกน OZ ไปตามขอบ AA1

สำหรับระนาบด้านล่างของลูกบาศก์

เดฟ ระนาบสองระนาบในอวกาศเรียกว่าขนานกันหากไม่ตัดกัน มิฉะนั้นจะตัดกัน

ทฤษฎีบทที่ 1: ถ้าเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานกับเส้นสองเส้นของระนาบอื่นตามลำดับ ระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

การพิสูจน์:

ระนาบให้และรับ a1 และ a2 - เส้นในระนาบตัดกันที่จุด A, b1 และ b2 - เส้นขนานกับพวกมันตามลำดับ

เครื่องบิน สมมติว่าระนาบและไม่ขนานกันเช่น ตัดกันตามเส้นบางเส้น ตามทฤษฎีบท เส้น a1 และ a2 ซึ่งขนานกับเส้น b1 และ b2 ขนานกับระนาบ ดังนั้นจึงไม่

ตัดเส้น c ที่อยู่ในระนาบนี้ ดังนั้น เส้นตรงสองเส้น (a1 และ a2) ผ่านจุด A ในระนาบ ซึ่งขนานกับเส้นตรง c แต่นี่เป็นไปไม่ได้ตามสัจพจน์คู่ขนาน เราได้มาถึงความขัดแย้งของ CTD

ระนาบตั้งฉาก: ระนาบที่ตัดกันสองระนาบเรียกว่าตั้งฉาก ถ้าระนาบที่สามซึ่งตั้งฉากกับเส้นตัดกันของระนาบเหล่านี้ตัดกันตามเส้นตั้งฉาก

ทฤษฎีบทที่ 2: ถ้าระนาบผ่านเส้นที่ตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้ก็จะตั้งฉาก

การพิสูจน์:

ให้เป็นระนาบ, β เป็นเส้นตั้งฉากกับมัน, เป็นระนาบที่ผ่านเส้น β, c เป็นเส้นที่ระนาบตัดกัน ให้เราพิสูจน์ว่าระนาบและตั้งฉาก ให้เราวาดในระนาบผ่านจุดตัดของเส้นในระนาบเส้น a

ตั้งฉากกับเส้นตรง ลองลากเส้น a และเข้าไปในระนาบกัน มันตั้งฉากกับเส้นตรง c เพราะ เส้น c ตั้งฉากกับเส้น a และ b เนื่องจากเส้น a และ b ตั้งฉาก ระนาบ และ จึงตั้งฉาก h.t.d.

42. สมการปกติของระนาบและคุณสมบัติของมัน

สมการระนาบปกติ (ปกติ)

ในรูปแบบเวกเตอร์:

โดยที่เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือระยะทางของ P จากจุดกำเนิด สมการ (2) สามารถหาได้จากสมการ (1) โดยการคูณด้วยตัวประกอบนอร์มัลไลซิ่ง

(ป้ายและตรงข้าม).

43. สมการของเส้นตรงในอวกาศ: สมการทั่วไป สมการมาตรฐานและสมการพาราเมตริก

สมการบัญญัติ:

เราได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดและขนานกับเวกเตอร์ทิศทางที่กำหนด โปรดทราบว่าจุดอยู่บนเส้นนี้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์และอยู่ในแนวเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นสัดส่วน:

สมการเหล่านี้เรียกว่าบัญญัติ โปรดทราบว่าพิกัดเวกเตอร์ทิศทางหนึ่งหรือสองอาจเป็นศูนย์ แต่เรามองว่ามันเป็นสัดส่วน: เราเข้าใจว่ามันเป็นความเท่าเทียมกัน

สมการทั่วไป:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

โดยที่สัมประสิทธิ์ A1-C1 ไม่แปรผันกับ A2-C2 ซึ่งเท่ากับกำหนดให้เป็นเส้นตัดระนาบ

พารามิเตอร์:

เลื่อนจากเวกเตอร์จุดสำหรับค่าต่าง ๆ ใกล้เคียงกับเวกเตอร์ทิศทาง เราจะได้ในตอนท้ายของเวกเตอร์ที่เลื่อนออกไป จุดต่างๆสายของเรา จากความเท่าเทียมกัน ดังนี้

ตัวแปรเรียกว่าพารามิเตอร์ เนื่องจากสำหรับจุดใด ๆ ของบรรทัดมีค่าพารามิเตอร์ที่สอดคล้องกันและเนื่องจากจุดต่าง ๆ ของบรรทัดนั้นสอดคล้องกับค่าต่าง ๆ ของพารามิเตอร์จึงมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างค่าพารามิเตอร์และจุดของบรรทัด . เมื่อพารามิเตอร์วิ่งผ่านจำนวนจริงทั้งหมดจาก ถึง จุดที่เกี่ยวข้องจะวิ่งผ่านทั้งเส้น

44. แนวคิดของพื้นที่เชิงเส้น สัจพจน์ ตัวอย่างของปริภูมิเชิงเส้น

ตัวอย่างของปริภูมิเชิงเส้นคือเซตของเวกเตอร์ทางเรขาคณิตทั้งหมด

เชิงเส้น, หรือ เวกเตอร์ช่องว่างเหนือสนาม พี- นี่คือชุดที่ไม่ว่างเปล่า แอลซึ่งจะแนะนำการดำเนินการ

นอกจากนี้ นั่นคือ องค์ประกอบแต่ละคู่ของชุดจะเชื่อมโยงกับองค์ประกอบของชุดเดียวกัน ซึ่งแสดงโดย

การคูณด้วยสเกลาร์ (นั่นคือ องค์ประกอบของฟิลด์ พี) นั่นคือองค์ประกอบใด ๆ และองค์ประกอบใด ๆ จะจับคู่กับองค์ประกอบจาก, แสดงแทน

ในกรณีนี้ มีการกำหนดเงื่อนไขต่อไปนี้ในการดำเนินการ:

สำหรับใด ๆ ( การสลับที่ของการบวก);

สำหรับใด ๆ ( การเชื่อมโยงเพิ่มเติม);

มีองค์ประกอบเช่นนั้นสำหรับใด ๆ ( การมีอยู่ขององค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการบวก), โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แอลไม่ว่างเปล่า

สำหรับสิ่งใดก็ตามที่มีองค์ประกอบเช่นนั้น (การมีอยู่ขององค์ประกอบที่ตรงกันข้าม).

(ความสัมพันธ์ของการคูณด้วยสเกลาร์);

(การคูณด้วยองค์ประกอบฟิลด์ที่เป็นกลาง (โดยการคูณ)พีบันทึกเวกเตอร์).

(การกระจายของการคูณด้วยเวกเตอร์ที่เกี่ยวกับการเพิ่มของสเกลาร์);

(การกระจายของการคูณด้วยสเกลาร์เกี่ยวกับการบวกเวกเตอร์).

ตั้งค่าองค์ประกอบ แอลเรียกว่า เวกเตอร์และองค์ประกอบเขตข้อมูล พี-สเกลาร์. คุณสมบัติ 1-4 ตรงกับสัจพจน์ของกลุ่ม abelian

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

ปริภูมิเวกเตอร์เป็นกลุ่มอาเบลเลียนโดยการบวก

องค์ประกอบที่เป็นกลางเป็นเพียงองค์ประกอบเดียวที่เกิดจากคุณสมบัติของกลุ่ม

สำหรับใครก็ตาม

สำหรับองค์ประกอบตรงข้ามเป็นเพียงองค์ประกอบเดียวที่ตามมาจากคุณสมบัติของกลุ่ม

สำหรับใครก็ตาม

สำหรับใด ๆ และ

สำหรับใครก็ตาม

องค์ประกอบของปริภูมิเชิงเส้นเรียกว่าเวกเตอร์ ช่องว่างเรียกว่า จริง หากการดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนในนั้นถูกกำหนดสำหรับจำนวนจริงเท่านั้น และเรียกว่า เชิงซ้อน หากการดำเนินการนี้ถูกกำหนดเฉพาะสำหรับจำนวนเชิงซ้อน

45. พื้นฐานและมิติของปริภูมิเชิงเส้น การเชื่อมต่อระหว่างกัน

สิ้นสุดการดู

เรียกว่าการรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบที่มีค่าสัมประสิทธิ์

ชุดค่าผสมเชิงเส้นเรียกว่าไม่สำคัญหากค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าไม่เป็นศูนย์

องค์ประกอบต่างๆ เรียกว่า ขึ้นต่อกันเชิงเส้น หากมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของพวกมันเท่ากับ θ มิฉะนั้น องค์ประกอบเหล่านี้จะเรียกว่าความเป็นอิสระเชิงเส้น

เซตย่อยที่ไม่สิ้นสุดของเวกเตอร์จาก L เรียกว่าขึ้นต่อกันเชิงเส้นหากเซตย่อยจำกัดบางตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และเป็นอิสระเชิงเส้นหากเซตย่อยจำกัดชุดใด ๆ เป็นอิสระเชิงเส้น

จำนวนองค์ประกอบ (กำลัง) ของเซตย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดของปริภูมิไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของเซตย่อยนี้ และเรียกว่าอันดับหรือมิติของปริภูมิ และเซตย่อยนี้เองเรียกว่า ฐาน (ฐานฮาเมล หรือพื้นฐานเชิงเส้น). องค์ประกอบของพื้นฐานเรียกอีกอย่างว่าเวกเตอร์พื้นฐาน คุณสมบัติพื้นฐาน:

องค์ประกอบอิสระเชิงเส้น n ใดๆ ของปริภูมิ n มิติก่อตัวเป็นฐานของปริภูมินี้

เวกเตอร์ใดๆ สามารถแสดง (เฉพาะ) เป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นจำกัดขององค์ประกอบพื้นฐาน:

46. ​​พิกัดเวกเตอร์ตามที่กำหนด การดำเนินการเชิงเส้นกับเวกเตอร์ในรูปแบบพิกัด

ข้อ 4. การดำเนินการเชิงเส้นกับเวกเตอร์ในประสานงานรูปร่างบันทึก

อนุญาต เป็นสเปซพื้นฐานและเป็นเวกเตอร์ตามอำเภอใจสองตัวของมัน ให้ และ เป็นตัวแทนของเวกเตอร์เหล่านี้ในรูปแบบพิกัด ต่อไปเป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ ในสัญกรณ์เหล่านี้ ทฤษฎีบทต่อไปนี้ถือเป็น

ทฤษฎีบท. (เกี่ยวกับการดำเนินการเชิงเส้นกับเวกเตอร์ในรูปแบบพิกัด)

ให้ Ln เป็นพื้นที่ n มิติโดยพลการ B = (e1,….,en) เป็นพื้นฐานคงที่ในนั้น จากนั้นเวกเตอร์ x ใดๆ ที่เป็นของ Ln จะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับคอลัมน์ของพิกัดของมันในพื้นฐานนี้

คำถามที่ 7

ระนาบสองระนาบในอวกาศสามารถขนานกัน และในบางกรณีอาจตรงกันหรือตัดกันก็ได้ ระนาบที่ตั้งฉากกันเป็นกรณีพิเศษของระนาบตัดกัน และจะกล่าวถึงด้านล่าง

ระนาบขนานระนาบจะขนานกันถ้าเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานกันตามลำดับกับเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบอื่น เมื่อแก้ปัญหาต่าง ๆ มักจำเป็นต้องวาดระนาบ β ผ่านจุด A ที่กำหนด ขนานกับระนาบ α ที่กำหนด

บนมะเดื่อ 81 ระนาบ α กำหนดโดยเส้นตรง a และ b สองเส้นตัดกัน ระนาบที่ต้องการ β ถูกกำหนดโดยเส้น a1 และ b1 ขนานกับ a และ b ตามลำดับ และผ่านจุด A1 ที่กำหนด

ระนาบตัดกันเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบเป็นเส้นตรงสำหรับการก่อสร้างซึ่งเพียงพอที่จะกำหนดจุดสองจุดที่เหมือนกันกับระนาบทั้งสองหรือจุดเดียวและทิศทางของเส้นตัดกันของระนาบ

ก่อนที่จะพิจารณาการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบเราจะวิเคราะห์ปัญหาที่สำคัญและเสริม: ค้นหาจุด K ของจุดตัดของเส้น ตำแหน่งทั่วไปด้วยระนาบการฉายภาพ

ตัวอย่างเช่น ให้กำหนดเส้นตรง a และระนาบที่ฉายในแนวนอน α (รูปที่ 82) จากนั้นเส้นโครงแนวนอน K1 ของจุดที่ต้องการจะต้องวางพร้อมกันบนเส้นโครงแนวนอน α1 ของระนาบ α และเส้นโครงแนวนอน a1 ของเส้นตรง a เช่น ที่จุดตัด a1 กับ α1 (รูปที่ 83) การฉายภาพด้านหน้า K2 ของจุด K ตั้งอยู่บนเส้นของการเชื่อมต่อการฉายภาพและบนการฉายภาพด้านหน้า a2 ของเส้นตรง a

ทีนี้มาวิเคราะห์กรณีพิเศษของระนาบตัดกัน เมื่อหนึ่งในนั้นฉายออกมา

บนมะเดื่อ 84 แสดงระนาบในตำแหน่งทั่วไปที่กำหนดโดยสามเหลี่ยม ABC และระนาบที่ยื่นออกมาในแนวนอน α ลองหาจุดร่วมสองจุดสำหรับเครื่องบินสองลำนี้กัน เห็นได้ชัดว่า จุดร่วมเหล่านี้สำหรับระนาบ ∆ABC และ α จะเป็นจุดตัดของด้าน AB และ BC ของสามเหลี่ยม ABC กับระนาบยื่น α การสร้างจุด D และ E ดังกล่าวทั้งบนภาพวาดเชิงพื้นที่ (รูปที่ 84) และบนไดอะแกรม (รูปที่ 85) ไม่ทำให้เกิดปัญหาหลังจากตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น

การเชื่อมต่อเส้นโครงที่มีชื่อเดียวกันของจุด D และ E เราได้เส้นโครงของจุดตัดของระนาบ ∆ ABC และระนาบ α

ดังนั้นการฉายภาพแนวนอน D1E1 ของเส้นตัดกันของระนาบที่กำหนดจึงเกิดขึ้นพร้อมกับการฉายภาพแนวนอนของระนาบการฉาย α - กับการติดตามแนวนอน α1

ตอนนี้พิจารณากรณีทั่วไป ให้ระนาบสองระนาบของตำแหน่งทั่วไป α และ β ในอวกาศ (รูปที่ 86) ในการสร้างเส้นของจุดตัดนั้น จำเป็นต้องหาจุดสองจุดที่เหมือนกันกับระนาบทั้งสอง ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น

ในการกำหนดจุดเหล่านี้ ระนาบที่กำหนดจะถูกตัดขวางด้วยระนาบเสริมสองระนาบ เนื่องจากระนาบดังกล่าวควรใช้ระนาบที่ยื่นออกมาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งระนาบระดับ บนมะเดื่อ 86 ระนาบเสริมระดับแรก γ ตัดระนาบเหล่านี้แต่ละระนาบตามแนวนอน h และ h1 ซึ่งกำหนดจุดที่ 1 ร่วมกับระนาบ α และ β จุดนี้กำหนดโดยจุดตัดของแนวนอน h2 และ h3 โดยที่ระนาบเสริม δ ตัดระนาบแต่ละระนาบเหล่านี้

ไม่น้อยกว่า 1 ดังนั้นอย่างน้อย 1 องค์ประกอบจึงแตกต่างจากศูนย์ ให้ 1 กับ 2 ตัดกัน มันมีเส้นร่วม พวกมันมีระบบร่วมกัน พวกมันไม่ขนานกัน พวกมันจึงเป็นเส้นร่วม ซึ่งหมายความว่า ให้ 1 และ 2 ขนานกัน: , . ถ้าระบบพิกัดเป็นคาร์ทีเซียน แสดงว่าเป็นเวกเตอร์ปกติ โคไซน์ของมุมระหว่างสองเวกเตอร์:

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับระนาบสองระนาบที่จะตั้งฉากกัน:

20. วิธีต่างๆ ในการกำหนดเส้นตรงในอวกาศ เส้นตรงและระนาบ. 2 บรรทัดในอวกาศ มุมระหว่างสองบรรทัด ความคิดเห็น เส้นตรงในอวกาศไม่สามารถกำหนดได้ด้วยสมการเดียว สิ่งนี้ต้องการระบบสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไป ความเป็นไปได้ประการแรกในการเขียนสมการของเส้นตรงในอวกาศคือการแสดงเส้นตรงนี้เป็นจุดตัดของระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบที่กำหนดโดยสมการ ก 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 และ ก 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0 โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ ก 1 ,ข 1 ,ค 1และ ก 2 ,ข 2 ,ค 2เกินสัดส่วน: ก 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1=0; ก 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0 อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้ปัญหาหลายๆ ปัญหา จะสะดวกกว่าถ้าใช้สมการอื่นๆ ของเส้นตรงที่ประกอบด้วยลักษณะทางเรขาคณิตบางอย่างอย่างชัดเจน ให้เราเขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดหนึ่ง M 0 (x 0, y 0, z 0) ขนานกับเวกเตอร์ ก =(l,m,n).นิยาม.เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใด ๆ ที่ขนานกับเส้นที่กำหนดเรียกว่าเวกเตอร์นั้น เวกเตอร์นำทาง.สำหรับจุดใด ๆ ม(x,y,z) อยู่บนเส้นที่กำหนดคือเวกเตอร์ เอ็ม 0 เอ็ม = {x - x 0 ,y - y 0 ,z - z 0) เป็นแนวตรงกับเวกเตอร์ทิศทาง ก . ดังนั้นความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

เรียกว่า สมการตามบัญญัติเส้นตรงในอวกาศ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าจำเป็นต้องได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด: ม 1 (x 1, y 1, z 1) และ ม 2 (x 2 , y 2 , z 2) เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงดังกล่าวถือเป็นเวกเตอร์ ม.1 ม 2 = {x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) และสมการ (8.11) จะอยู่ในรูปแบบ:

- สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด. ถ้าเรานำเศษส่วนแต่ละส่วนที่เท่ากันในสมการเป็นพารามิเตอร์บางตัว ทีคุณจะได้รับสิ่งที่เรียกว่า สมการพาราเมตริกของเส้นตรง:

เพื่อที่จะเปลี่ยนจากสมการเป็นบัญญัติหรือ สมการพาราเมตริกเส้นตรง คุณต้องหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้และพิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของมัน เวกเตอร์กำกับของเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นปกติของระนาบทั้งสอง ดังนั้น มันจึงอยู่ในแนวเดียวกันกับผลคูณของเวกเตอร์ ดังนั้น คุณสามารถเลือก [ n 1 n 2 ] หรือเวกเตอร์ใดๆ ที่มีพิกัดเป็นสัดส่วน ในการหาจุดที่อยู่บนเส้นที่กำหนด คุณสามารถตั้งค่าพิกัดใดพิกัดหนึ่งโดยพลการ และค้นหาอีกสองสมการจากสมการ โดยเลือกจากสมการเพื่อให้ดีเทอร์มีแนนต์จากค่าสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

มุมระหว่างเส้น. มุมระหว่างเส้นกับระนาบมุมระหว่างเส้นในอวกาศเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นหากกำหนดสองบรรทัดโดยสมการมาตรฐานของแบบฟอร์ม

และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันสามารถหาได้จากสูตร:

เงื่อนไขของความขนานและความตั้งฉากของเส้นยังลดเงื่อนไขที่สอดคล้องกันสำหรับเวกเตอร์ทิศทาง:

- สภาพของเส้นขนาน,

- สภาพตั้งฉาก. มุม φ ระหว่างเส้นที่กำหนดโดยสมการมาตรฐาน

และระนาบที่กำหนด สมการทั่วไป Ax+By+Cz+D= 0 ถือได้ว่าเป็นส่วนเสริมของมุม ψ ระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงกับมุมปกติของระนาบ แล้ว

สภาพความขนานของเส้นตรงและระนาบคือเงื่อนไขการตั้งฉากของเวกเตอร์ น และ ก : อัล + Bm + Cn= 0 และ สภาพการตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ– เงื่อนไขของการขนานของเวกเตอร์เหล่านี้: A/l = B/m = C/n

21. สมการบัญญัติของวงรี คุณสมบัติ.เส้นหนึ่งเรียกว่า ซึ่งในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบางระบบถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐาน x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 โดยมี a≥b>0 จากสมการที่ว่าสำหรับจุดทั้งหมดของวงรี │x│≤ a และ │у│≤ b วงรีจึงอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน 2a และ 2b จุดตัดของวงรีกับแกนของระบบพิกัดบัญญัติซึ่งมีพิกัด (a, 0), (-a, 0), (0, b) และ (0, -b) เรียกว่าจุดยอดของวงรี . ตัวเลข a และ b เรียกว่า แกนหลักและแกนรอง ตามลำดับ C1. แกนของระบบพิกัดแบบบัญญัติคือแกนสมมาตรของวงรีและจุดเริ่มต้นของระบบพิกัดแบบบัญญัติคือศูนย์กลางของสมมาตร ลักษณะของวงรีอธิบายได้ง่ายที่สุดโดยเปรียบเทียบกับวงกลมรัศมี a ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์กลาง ของวงรี: x 2 + y 2 \u003d a 2 สำหรับทุกๆ x ที่ I x I< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. สมการบัญญัติของไฮเปอร์โบลา คุณสมบัติ.เราเรียกไฮเพอร์โบลาว่าเส้น ซึ่งในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเชียนบางระบบถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 สมการนี้แสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจุดของไฮเพอร์โบลา │x│≥a เช่น. จุดทั้งหมดของไฮเปอร์โบลาอยู่นอกแถบแนวตั้งที่มีความกว้าง 2a แกน abscissa ของระบบพิกัดบัญญัติตัดไฮเปอร์โบลาที่จุดที่มีพิกัด (a, 0) และ (-a, 0) ซึ่งเรียกว่าจุดยอดของไฮเปอร์โบลา แกน y ไม่ตัดกับไฮเปอร์โบลา ดังนั้น ไฮเปอร์โบลาจึงประกอบด้วยสองส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกัน พวกเขาเรียกว่าสาขาของมัน ตัวเลข a และ b ถูกเรียกว่า กึ่งแกนจริงและแกนจินตภาพของไฮเปอร์โบลา C1 ตามลำดับ สำหรับไฮเพอร์โบลา แกนของระบบพิกัดบัญญัติคือแกนสมมาตร และจุดกำเนิดของระบบพิกัดบัญญัติคือศูนย์กลางของสมมาตร เพื่อศึกษารูปร่างของไฮเพอร์โบลา เราจะพบจุดตัดที่มีเส้นผ่านจุดกำเนิดโดยอำเภอใจ . เราใช้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ y \u003d kx เนื่องจากเรารู้แล้วว่าเส้นตรง x \u003d 0 ไม่ตัดไฮเปอร์โบลา พบ abscissas ของจุดตัดจากสมการ x 2 / a 2 - k 2 x 2 / b 2 \u003d 1 ดังนั้นถ้า b 2 - a 2 k 2 > 0 แล้ว x \u003d ± ab / √b 2 - ก 2 ก 2. สิ่งนี้ช่วยให้คุณระบุพิกัดของจุดตัด (ab / u, abk / u) และ (-ab / u, -abk / u) โดยที่ u \u003d (b 2 - a 2 ถึง 2) 1/2 คือ ระบุไว้

เส้นตรงที่มีสมการ y = bx/a และ y = -bx/a ในระบบพิกัดบัญญัติเรียกว่าเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา C2 ผลคูณของระยะทางจากจุดไฮเพอร์โบลาถึงเส้นกำกับมีค่าคงที่และเท่ากับ a 2 b 2 /(a 2 + b 2) C3. หากจุดหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามไฮเปอร์โบลาในลักษณะที่ abscissa ของมันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดในค่าสัมบูรณ์ ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังเส้นกำกับหนึ่งเส้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เราแนะนำตัวเลข c โดยการตั้งค่า c 2 \u003d a 2 + b 2 และ c\u003e 0 จุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลาคือจุด F 1 u F 2 พร้อมพิกัด (c, 0) และ (-c, 0) ใน ระบบพิกัดมาตรฐาน อัตราส่วน e \u003d c / a สำหรับวงรีเรียกว่าความเยื้องศูนย์ ไฮเปอร์โบลามี e > 1 C4 ระยะห่างจากจุดที่กำหนดโดยพลการ M (x, y) บนไฮเพอร์โบลาไปยังแต่ละจุดโฟกัสขึ้นอยู่กับจุดโฟกัส x ดังนี้: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M │=│a +อดีต│ C5. เพื่อให้จุด M อยู่บนไฮเพอร์โบลา มีความจำเป็นและเพียงพอที่ความแตกต่างของระยะทางถึงจุดโฟกัสจะเท่ากันในค่าสัมบูรณ์กับแกนจริงของไฮเปอร์โบลา 2a ไดเรกตริกซ์ของไฮเปอร์โบลาคือเส้นตรงที่กำหนดในระบบพิกัดบัญญัติโดยสมการ x=a/ , x=-a/ C6. สำหรับจุดที่จะอยู่บนไฮเปอร์โบลานั้นมีความจำเป็นและเพียงพอที่อัตราส่วนของระยะทางต่อโฟกัสต่อระยะทางไปยังไดเรกตริกซ์ที่สอดคล้องกันจะเท่ากับความเยื้องศูนย์ สมการของเส้นสัมผัสกับไฮเพอร์โบลาที่จุด M 0 (x 0, y 0) ที่วางอยู่บนนั้นมีรูปแบบ: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1 C7 เส้นสัมผัสกับไฮเพอร์โบลาที่จุด M 0 (x 0, y 0) คือเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างส่วนที่เชื่อมต่อจุดนี้กับจุดโฟกัส

23. สมการบัญญัติของพาราโบลา คุณสมบัติ.เราเรียกว่าเส้น ซึ่งในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบางระบบถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐาน y 2 =2px ซึ่งกำหนดให้ p > 0 ตามมาจากสมการที่ว่าสำหรับทุกจุดของพาราโบลา x≥0 พาราโบลาผ่านจุดกำเนิดของระบบพิกัดบัญญัติ จุดนี้เรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา โฟกัสของพาราโบลาคือจุด F พร้อมพิกัด (p/ 2, 0) ในระบบพิกัดมาตรฐาน ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลาเป็นเส้นตรงที่มีสมการ x=-p/2 ในระบบพิกัดบัญญัติ C1. ระยะทางจากจุด M (x, y) ที่วางอยู่บนพาราโบลาไปยังจุดโฟกัสคือ r=x+p/2 C2 เพื่อให้จุด M อยู่บนพาราโบลา จำเป็นและเพียงพอที่จะต้องอยู่ห่างจากจุดโฟกัสและไดเรกตริกซ์เท่าๆ กัน พาราโบลานี้ พาราโบลาถูกกำหนดให้มีความเยื้องศูนย์กลาง e = 1 ตามอนุสัญญานี้ สูตร r / d \u003d e เป็นจริงสำหรับวงรี และไฮเปอร์โบลา และสำหรับพาราโบลา ให้เราหาสมการแทนเจนต์ของพาราโบลาที่จุด M 0 (x 0, y 0) ซึ่งอยู่ในรูปแบบ yy 0 = p(x + x 0) C3 เส้นสัมผัสกับพาราโบลาที่จุด M o คือเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกับมุมระหว่างส่วนที่เชื่อมต่อ M o กับโฟกัส และลำแสงที่โผล่ออกมาจากจุดนี้ในทิศทางแกนของพาราโบลา

24. เส้นเกี่ยวกับพีชคณิตกำหนดเส้นเกี่ยวกับพีชคณิตให้กับระนาบ ซึ่งหมายถึงสมการเชิงพีชคณิตบางรูปแบบ F(x,y)=0 และระบบพิกัดใกล้เคียงของวงกลมบนระนาบ จากนั้นให้สมการ M(x,y) เท่านั้นที่มีพิกัดตรงตาม สมการจะถือว่าอยู่บนสมการที่กำหนด ในทำนองเดียวกัน สมการถูกกำหนดสำหรับพื้นผิวในอวกาศ ตั้งสมการพีชคณิตในรูปแบบ F (x, y, z) \u003d 0 (z) ด้วย 3 ตัวแปรและระบบพิกัด OXYZ เฉพาะจุดเหล่านั้นและจุด F (x, y, z )=0(z) เท่านั้นที่เป็นสมการของระนาบ ยิ่งไปกว่านั้น เราพิจารณาว่าสมการสองสมการกำหนดเส้นหรือพื้นผิวเดียวกันของ t และ t.t. เมื่อหนึ่งในสมการเหล่านี้ได้มาจากอีกสมการหนึ่งโดยการคูณด้วยตัวประกอบตัวเลขแลมบ์ดา 0

25. แนวคิดของพื้นผิวเกี่ยวกับพีชคณิตการศึกษาชุดของจุดโดยพลการเป็นงานที่ยิ่งใหญ่อย่างสมบูรณ์ คำนิยาม พื้นผิวเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นชุดของจุดซึ่งในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนบางระบบสามารถกำหนดโดยสมการของรูปแบบ + ... + = 0 โดยที่เลขชี้กำลังทั้งหมด เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ผลรวมที่ใหญ่ที่สุด (แน่นอน ในที่นี้หมายถึงผลรวมที่ใหญ่ที่สุดที่รวมอยู่ในสมการจริงๆ เช่น สันนิษฐานว่าหลังจากลดพจน์ที่คล้ายคลึงกันแล้ว จะมีพจน์อย่างน้อยหนึ่งพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ ที่มีผลรวมของเลขยกกำลังดังกล่าว) + + ,…., + + เรียกว่าดีกรีของสมการ เช่นเดียวกับ ลำดับของพื้นผิวพีชคณิต ความหมายนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายถึง ทรงกลมที่มีสมการอยู่ในคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมมีรูปแบบ ( +( +( = ) เป็นพื้นผิวพีชคณิตอันดับสอง ทฤษฎีบท พื้นผิวเชิงพีชคณิตของอันดับ p ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถกำหนดได้ด้วยสมการรูปแบบ +…+ =0 ของลำดับ หน้า

26. พื้นผิวทรงกระบอกของลำดับที่ 2ให้ระนาบ P เป็นเส้นตรงบางเส้นของลำดับที่ 2 และเส้นขนาน d จำนวนหนึ่ง ซึ่งสำหรับ d ใดๆ ที่ไม่ขนานกับ P แล้วเซต φ ของจุดทั้งหมดในที่ว่างที่เป็นของเส้นเหล่านั้นที่ตัดกันของบันเดิล เส้น γ เรียกว่า การกำกับ และเส้นที่ตัดกัน φ เรียกว่า เครื่องกำเนิด ให้เราหาสมการของพื้นผิวทรงกระบอกตามระบบพิกัดใกล้เคียงกัน ให้ K บางตัวอยู่ในระนาบ P สมการที่ F(x, y) = 0, in มีทิศทาง a(a 1 a 2 a 3) d ขนานกับ a จุด M(x,y,z) อยู่บน generatrix และ N(x'y'o) เป็นจุดตัดของ generatrix นี้กับระนาบ P เวกเตอร์ MN จะใกล้เคียงกับ ta ดังนั้น MN=ta , x'=x+ a 1 t ; y'=y+a 2 t ; 0=z+a 3 t ดังนั้น t= -z/a 3 แล้ว x’=x- (a 1 z)/a 3 ; y'=y- (a 2 z)/a 3 F(x'y')=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y- (a 2 z)/a 3 . ตอนนี้มันชัดเจน ว่าสมการ F(x,y)=0 คือสมการของทรงกระบอกที่มีไดนาโมขนานกับแกน Oy และ F(y,z)=0 โดยที่ไดนาโมขนานกับแกน Ox กรณีพิเศษ: ให้เส้นของ เชื่อมโยง a ขนานกับ (o,z) ดังนั้น a 1 = 0 a 2 \u003d 0 a 3 ≠0 F (x, y) \u003d 0 ดังนั้น ลำดับที่สองมีกี่บรรทัด พื้นผิวทรงกระบอกจำนวนมาก: 1. ทรงกระบอกวงรี x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 2. ทรงกระบอกไฮเพอร์โบลิก x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. ทรงกระบอกพาราโบลา y 2 =2πx 4. คู่ระนาบตัดกัน x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0 5. ระนาบคู่ขนาน x 2 /a 2 =1

27. พื้นผิวที่เป็นที่ยอมรับของลำดับที่สองพื้นผิวที่มีจุด M o ซึ่งมีคุณสมบัติที่เมื่อรวมกับแต่ละจุด M o ≠M มีเส้นตรง (M o M) พื้นผิวดังกล่าวเรียกว่า Canonical หรือ Cone M o คือจุดยอดของกรวย และเส้นตรงเป็นตัวกำเนิด ฟังก์ชัน F(x,y,z)=0 เรียกว่าเอกพันธ์ ถ้า F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z) โดยที่ φ(t) เป็นฟังก์ชันของ t ทฤษฎีบท. ถ้า F(x,y,z) เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ ดังนั้นพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการนี้คือพื้นผิวตามรูปแบบบัญญัติที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด หมอ ให้ระบบพิกัดใกล้เคียงได้รับและให้สมการมาตรฐานที่มีศูนย์กลาง F(x,y,z)=0 จากนั้น พิจารณาสมการที่มีจุดยอดที่จุด O M(x,y,z)=0 จากนั้นจุดใดๆ OM จาก F จะมีรูปแบบ M 1 (tx,ty,tz) บนพื้นผิวตามรูปแบบบัญญัติ M o M(x,y,z) เนื่องจากเป็นไปตามพื้นผิว ดังนั้น F(tx,ty,tz)=0 จึงเป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ φ(t) F(x,y,z)=0 ดังนั้น พื้นผิว เป็นที่ยอมรับ ส่วนโค้งของลำดับที่ 2 เป็นส่วนในพื้นผิวที่ จำกัด ของระนาบ x 2 + y 2 -z 2 \u003d 0 / เมื่อตัดระนาบพื้นผิวตามรูปแบบบัญญัติเราจะได้เส้นต่อไปนี้ในส่วน: ก) ระนาบที่ผ่านจุดหรือ คู่ของเส้นที่ผสานและคู่ของเส้นที่ตัดกัน B) ระนาบไม่ผ่านจุดยอดของกรวย ดังนั้นเราจึงได้รับในส่วนที่เป็นวงรีหรือไฮเปอร์โบลาหรือพาราโบลา

28. พื้นผิวของการปฏิวัติให้กำหนดกรอบคาร์ทีเซียนในพื้นที่ 3 มิติ ระนาบ П ผ่าน Oz, γ ถูกกำหนดไว้ในระนาบ Ozy และมุม xOy=φ γ มีรูปแบบ u=f(z) หาจุด M จาก γ เทียบกับเฟรม Oxyz γ คือวงกลมที่มีเส้นรอบวง γM เหนือจุดทั้งหมด M จาก γ เรียกว่าการแมป ส่วนของพื้นผิวการหมุนของระนาบที่ผ่านแกนการหมุนเรียกว่าเส้นเมริเดียน ส่วนของพื้นผิวของการปฏิวัติของระนาบที่ตั้งฉากกับแกนของการปฏิวัติเรียกว่าขนาน สมการของพื้นผิวของการปฏิวัติ x 2 +y 2 \u003d f 2 (z) คือสมการของพื้นผิวของการปฏิวัติ 1) ถ้ามุม φ=0 แล้ว γ อยู่ในระนาบ xOz, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ อยู่ในระนาบ xOy และสมการของมันคือ y=g(x) แล้ว y 2 +z 2 = g 2 (x) 3) γ อยู่ในระนาบ yOz และสมการของมันคือ z=h(y) แล้ว z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. ทรงรีพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนวงรีรอบแกนสมมาตร โดยการนำเวกเตอร์ e 3 ไปตามแกนรองของวงรีก่อน จากนั้นตามแกนหลัก เราจะได้สมการของวงรีในรูปแบบต่อไปนี้: . ตามสูตร ur-th ของพื้นผิวของการปฏิวัติจะเท่ากับ 1 (a>c) พื้นผิวที่มีระดับดังกล่าวเรียกว่าการบีบอัด (a) และหดกลับ (b) ทรงรีของการปฏิวัติ

ให้เราเลื่อนแต่ละจุด M (x, y, z) บนวงรีที่ถูกบีบอัดของการปฏิวัติไปที่ระนาบ y=0 เพื่อให้ระยะทางจากจุดถึงระนาบนี้ลดลงในอัตราส่วน λ ซึ่งเป็นค่าคงที่สำหรับทุกจุด<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.

30. ไฮเปอร์โบลาลอยด์ไฮเพอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติแผ่นเดียวคือผิวของไฮเปอร์โบลาที่หมุนรอบแกนที่ไม่ตัดกัน ตามสูตรเราได้สมการของพื้นผิวนี้ (รูปที่ 48) อันเป็นผลมาจากการหดตัวของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติไปยังระนาบ y=0 เราได้รับไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวที่มี ur-th คุณสมบัติที่น่าสนใจของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวคือการมีเครื่องกำเนิดเส้นตรงอยู่ในนั้น เรียกว่าเส้นตรง จุดทั้งหมดอยู่บนพื้นผิว เครื่องกำเนิดเส้นตรงสองเครื่องผ่านแต่ละจุดของหนึ่งฟิลด์ของไฮเปอร์โบลอยด์ สมการที่สามารถรับได้ดังนี้ สมการ (8) สามารถเขียนใหม่เป็น . พิจารณาเส้นตรงที่มีสมการ μ =λ , λ =μ (9) โดยที่ λ และ μ คือจำนวนจำนวนหนึ่ง (λ 2 +μ 2 ≠0) พิกัดของแต่ละจุดของเส้นตรงเป็นไปตาม ur-wells และด้วยเหตุนี้จึงรวมถึง ur-th (8) ซึ่งได้มาจากการคูณแบบเทอมต่อเทอม ดังนั้น ไม่ว่า λ และ μ จะเป็นอะไรก็ตาม เส้นที่มี eqs (9) อยู่บนไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว ดังนั้น ระบบ (9) จึงกำหนดตระกูลของเครื่องกำเนิดเส้นตรง ถ้าเราหมุนเส้นกำกับร่วมกับไฮเปอร์โบลา ก็จะอธิบายกรวยวงกลมด้านขวาที่เรียกว่ากรวยเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลาของการปฏิวัติ เมื่อไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติถูกบีบอัด กรวยซีมโทติคของมันจะหดตัวลงในกรวยซีมโททิกของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวทั่วไป

ไฮเพอร์โบลอยด์สองแผ่นไฮเปอร์โบลาสองแผ่นของการปฏิวัติคือพื้นผิวที่ได้จากการหมุนไฮเปอร์โบลารอบแกนที่ตัดกัน ตามสูตร เราได้รับ ur-e ของการปฏิวัติไฮเปอร์โบลอยด์ 2 แผ่น อันเป็นผลมาจากการบีบอัดพื้นผิวนี้เข้ากับระนาบ y=0 จะได้พื้นผิวที่มี ur-th (12) พื้นผิวซึ่งในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบางระบบมี ur-e ของรูปแบบ (12) เรียกว่าไฮเพอร์โบลอยด์สองแผ่น (รูปที่ 49) ไฮเปอร์โบลาสองกิ่งตรงนี้ตรงกับส่วนที่ไม่เชื่อมต่อกันสองส่วน (“โพรง”) ของพื้นผิว กรวยซีมโทติคของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับไฮเปอร์โบลอยด์หนึ่งแผ่น

31. พาราโบลาลอยด์.พาราโบลาวงรีการหมุนพาราโบลา x 2 =2pz รอบแกนสมมาตร เราจะได้พื้นผิวตามสมการ x 2 +y 2 =2pz เรียกว่าเป็นพาราโบลาลอยด์ของการปฏิวัติ การหดตัวสู่ระนาบ y=0 แปลงพาราโบลาลอยด์ของการหมุนเป็นพื้นผิว ซึ่งสมการจะลดขนาดลงเป็นรูปแบบ 2z (14) พื้นผิวที่มีสมการดังกล่าวในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบางระบบเรียกว่า พาราโบลาทรงรี ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลาโดยการเปรียบเทียบกับ eq. (14) เราสามารถเขียน eq ได้ พื้นผิวที่มี eq. นี้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบางระบบเรียกว่าพาราโบลาไฮเปอร์โบลิก จากสมการบัญญัติ z \u003d x 2 /a 2 - y 2 /b 2 ของพาราโบลาไฮเพอร์โบลิก ตามมาว่าระนาบ Oxz และ Oyz เป็นระนาบสมมาตร แกน Oz เรียกว่าแกนของไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา เส้น z=h ของจุดตัดของไฮเปอร์โบลาพาราโบลาที่มีระนาบ z=h แทน สำหรับ h > 0 ไฮเปอร์โบลา x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 กับเซมิแกน a * = a√h , b * =b√h , และสำหรับ h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. จำนวนเชิงซ้อน รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนเชิงซ้อนเป็นนิพจน์ในรูปแบบ z = x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง i เป็นหน่วยจินตภาพ จำนวน x เรียกว่าส่วนจริงของจำนวน z และเขียนแทนด้วย Re(z) และจำนวน y เรียกว่าส่วนจินตภาพของจำนวน z และเขียนแทนด้วย Im(z) ตัวเลข z \u003d x + iy และ z \u003d x - iy เรียกว่าคอนจูเกต จำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 = x 1 + iy 1 และ z 2 = x 2 + iy 2 เรียกว่าเท่ากัน ถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฉัน 2 =-1 การดำเนินการเลขคณิตของเซตของจำนวนเชิงซ้อนกำหนดไว้ดังนี้ 1. การเพิ่ม: z 1+ z 2 \u003d x 1 + x 2 + i (y 1 + y 2); 2. การลบ: z 1 -z 2 \u003d x 1 -x 2 +i (y 1 -y 2); 3. การคูณ: z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1); แผนก: z 1 / z 2 \u003d ((x 1 x 2 + y 1 y 2) + i (x 2 y 1 - x 1 y 2)) / x 2 2 + y 2 2 เพื่อเป็นตัวแทนของก.ช. เป็นจุดของระนาบพิกัด Oxy ระนาบเรียกว่าคอมเพล็กซ์ถ้าแต่ละค. z \u003d x + iy ใส่จุดของระนาบ z (x, y) ในการติดต่อกันและการโต้ตอบนี้เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง แกน Ox และ Oy ซึ่งเป็นที่ตั้งของจำนวนจริง z=x+0i=x และจำนวนจินตภาพล้วน z=0+iy=iy เรียกว่าแกนจริงและแกนจินตภาพตามลำดับ

33. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน สูตร Moivreถ้าจริง xและจินตนาการ ยแสดงส่วนของจำนวนเชิงซ้อนในรูปของโมดูลัส ร = | ซี| และอาร์กิวเมนต์ j(x=r cosj,y=r sinj) จากนั้นเป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ซีสามารถเขียนนอกเหนือจากศูนย์ได้ รูปแบบตรีโกณมิติ z=r(cosj+isinj). คุณสมบัติของรูปแบบตรีโกณมิติ: 1) ปัจจัยแรกคือจำนวนที่ไม่เป็นลบ r³0; 2) เขียนโคไซน์และไซน์ของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน 3) หน่วยจินตภาพคูณด้วย sinj นอกจากนี้ยังอาจเป็นประโยชน์ สาธิตรูปแบบของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับตรีโกณมิติผ่านสูตรออยเลอร์: z=re i j โดยที่ e i j คือการขยายตัวของเลขยกกำลังสำหรับกรณีของเลขชี้กำลังเชิงซ้อน สูตรที่ให้คุณเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติเป็นเลขยกกำลัง สูตรเดอมัวร์มีรูปแบบ: z= n =r n (cosnj+isin nj) โดยที่ รคือโมดูลัสและ j คืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

34. การดำเนินการกับพหุนาม อัลกอริทึมของยูคลิดมุมมองทั่วไปของสมการระดับที่ n: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1) มีการกำหนดชุดของค่าสัมประสิทธิ์ (а 0 ,а 1 ,...,a n -1, a n)-จำนวนเชิงซ้อนโดยพลการ พิจารณาด้านซ้ายของ (1): a 0 x n +a 1 xn -1 +…+a n -1 x+a n -พหุนามดีกรีที่ n พหุนามสองตัว f(x) และ g(x) จะถือว่าเท่ากันหรือเท่ากัน ถ้าสัมประสิทธิ์เท่ากันที่กำลังเท่ากัน พหุนามใดๆ ถูกกำหนดโดยชุดของสัมประสิทธิ์

มากำหนดการดำเนินการของการบวกและการคูณพหุนามกัน: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+…+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+…+c n x n -1 +c n ; c i =a ฉัน +b ฉัน ถ้า i=0.1…n; ฉัน>s b ฉัน =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s xn + s ; ; ง 0 = ก 0 ข 0 ; ง 1 \u003d ก 0 ข 1 + ก 0 ข 1; ง 2 \u003d ก 0 ข 2 + ก 1 ข 1 + ก 2 ข 0 ระดับของผลคูณของพหุนามเท่ากับผลรวมและการดำเนินการมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: 1)a k +b k =b k +a k ; 2)(a k + b k) + c k = a k + (b k + c k); 3). พหุนาม f(x) เรียกว่า ผกผัน (x) ถ้า f(x)* (x)=1 ในชุดของพหุนามไม่สามารถดำเนินการหารได้ ในปริภูมิแบบยุคลิด สำหรับพหุนาม มีอัลกอริธึมการหารด้วยเศษเหลือ f(x) และ g(x)มีอยู่ อาร์(x)และ คิว(x)กำหนดไว้อย่างชัดเจน ; ; ฉ(x)=ก(x);; . องศาของด้านขวาองศา ก(x)และองศาของด้านซ้ายจากที่นี่จากที่นี่ - เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว เราพิสูจน์ทฤษฎีบทส่วนแรก: . คูณ ก.(x) ด้วยพหุนามเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์นำคูณ

หลังจาก เคขั้นตอน

; ; มีระดับที่ต่ำกว่า คิว(x). พหุนาม คิว(x) คือผลหารของ ฉ(x),ก r(x) - ส่วนที่เหลือของส่วน ถ้า ฉ(x)และ ก(x)มีค่าสัมประสิทธิ์จริงแล้ว คิว(x)และ อาร์(x)- ยังมีผลบังคับใช้

35. ตัวหารของพหุนาม จีซีดีให้พหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว f(x) และ j(x) มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน ถ้าเศษเหลือเป็นศูนย์ แสดงว่า f(x) หารด้วย j(x) ลงตัว ถ้า j(x) เป็นตัวหารของ f(x) คุณสมบัติของพหุนาม j(x): 1) พหุนาม j(x) จะเป็นตัวหารของ f(x) ถ้า Y(x) มีอยู่ และ f(x)= j(x)* Y(x) (1) j(x)-ตัวหาร, Y(x)-ผลหาร ให้ Y(x) เป็นไปตาม (1) จากนั้นจากทฤษฎีบทก่อนหน้า Y(x) เป็นผลหาร และเศษที่เหลือคือ 0 ถ้า (1) เป็นไปตาม (1) แล้ว j(x) เป็นตัวหาร ดังนั้น j(x)<= степени f(x). คุณสมบัติหลักของการหารพหุนาม: 1) ; 2 f(x) และ g(x) หารด้วย j(x) ลงตัว จากนั้นหารด้วย j(x) ลงตัว 3) ถ้า; 4)ถ้า f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) พหุนามใดๆ หารด้วยพหุนามดีกรีศูนย์ f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c ; 6) ถ้า f(x):j(x) แล้ว f(x):cj(x); 7) พหุนาม cf(x) และมีเพียงพวกมันเท่านั้นที่จะเป็นตัวหารของพหุนาม j(x) ที่มีดีกรีเท่ากับ f(x); 8)f(x):g(x) และ g(x):f(x) แล้ว g(x)=cf(x); 9) ตัวหารใดๆ ของ f(x) และ cf(x), c¹0 จะเป็นตัวหารสำหรับอีกตัว คำนิยาม:ตัวหารร่วมมาก (GCD) พหุนาม j(x) จะเรียกว่า gcd f(x) และ g(x) ถ้าหารแต่ละพหุนาม พหุนามดีกรีศูนย์จะเป็น gcd และเป็นโคไพรม์เสมอ gcd ของพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ f(x) และ g(x) เรียกว่า d(x) ซึ่งก็คือ yavl ตัวหารร่วมและหารด้วยตัวหารอื่นและตัวหารร่วมของพหุนามเหล่านี้ gcd f(x) และ g(x)= (f(x):g(x)). อัลกอริทึมสำหรับการค้นหา GCD:ให้องศา g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x)=r k-1 (x)q k (x)+r k (x)

r k-1 (x)=r 2 (x)+q k (x) r k (x)-gcd มาพิสูจน์กันเลย r k (x) คือตัวหารของ r k -1 (x)® เขาคือตัวหารของ r k -2 (x)…® เขาคือตัวหารของ g(x)® ตัวหารของ f(x) g(x)g 1 (x) หารด้วย r k (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) หารด้วย r k (x)® r 1 (x) หารด้วย r k (x )® r 2 (x) หารด้วย r k (x)®… q k (x): r k (x) หารด้วย r k (x) ลงตัว

№_____ วันที่ 02.10.14

เรื่องเรขาคณิต

ระดับ 10

หัวข้อบทเรียน:การจัดระนาบสองระนาบร่วมกัน สัญลักษณ์ของระนาบขนาน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: แนะนำแนวคิดของการขนานของระนาบ ศึกษาสัญลักษณ์ของการขนานของระนาบ และคุณสมบัติของระนาบที่ขนานกัน

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

ทักทายนักเรียน, ตรวจสอบความพร้อมของชั้นเรียนสำหรับบทเรียน, จัดระเบียบความสนใจของนักเรียน, เปิดเผยวัตถุประสงค์ทั่วไปของบทเรียนและแผน

2. การก่อตัวของแนวคิดและวิธีการดำเนินการใหม่

ระนาบทั้งสองเรียกว่าขนาน, หากพวกเขาไม่มีจุดร่วมเช่น ถ้า α = α (รูปที่ 20)

ทฤษฎีบท 1. ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบ ระนาบเดียวเท่านั้นที่สามารถลากขนานกับระนาบที่กำหนด

การพิสูจน์. ให้เครื่องบินได้รับก และจุด A ก ก . ในเครื่องบิน ก ใช้สองเส้นตัดกันและ ข : ก , ข , ก = บี (รูปที่ 21.) จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 (§2, ข้อ 2.1.) ผ่านจุดก เป็นไปได้ที่จะวาดโดยตรงก 1 และ ข 1 ดังนั้น ก 1 || ก และ ข 1 || ข ดังนั้นตามสัจพจน์สามมีเครื่องบินลำเดียว ผ่านเส้นที่ตัดกันก 1 และ ข 1 . ตอนนี้ยังคงแสดงให้เห็นว่า α, เช่น. α = .

อย่าให้เป็นเช่นนั้นเช่น ระนาบตัดกันเป็นเส้นตรงจากนั้นอย่างน้อยหนึ่งบรรทัดก หรือข ไม่ขนานกับเส้นกับ. เพื่อความชัดเจน ให้เราสันนิษฐานว่าก กับ และก กับ = ค.

เพราะฉะนั้น,ก 1 ด้วยและเช่นเดียวกับในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 2 ในส่วนที่ 2 เรามีก 1 ค= กับ, เหล่านั้น.ก 1 เอ = ซี

สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า a, ||ก . ดังนั้น α = α . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2 หากระนาบที่ขนานกันสองระนาบตัดกันโดยระนาบที่สาม จุดตัดตรงของระนาบนั้นจะขนานกัน เช่น α, เอ = α, ข = => ก|| ข(ข้าว.22 ).

ดังนั้น เครื่องบินสองลำในอวกาศสามารถอยู่ร่วมกันได้ในสองเวอร์ชัน:

ระนาบตัดกันเป็นเส้นตรง

ระนาบขนานกัน

สัญลักษณ์ของระนาบขนาน

ทฤษฎีบท 3 ถ้าเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานกับเส้นสองเส้นของระนาบอื่นตามลำดับ ระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

ทฤษฎีบท 4 ส่วนของเส้นขนานที่ล้อมรอบด้วยระนาบขนานมีค่าเท่ากันระหว่างกัน

3. แอปพลิเคชัน. การก่อตัวของทักษะและความสามารถ

วัตถุประสงค์: เพื่อให้แน่ใจว่านักเรียนใช้ความรู้และวิธีการดำเนินการที่จำเป็นสำหรับ SW เพื่อสร้างเงื่อนไขสำหรับนักเรียนในการระบุวิธีการใช้สิ่งที่พวกเขาได้เรียนรู้ หน้า 24 เลขที่ 87,88,89,90(1)

4. ข้อมูลขั้นตอนเกี่ยวกับการบ้าน

ภารกิจ: เพื่อให้มั่นใจว่านักเรียนเข้าใจจุดประสงค์ เนื้อหา และวิธีการทำการบ้าน น. 22 น.3 หมายเลข 90 (2)

5. สรุปบทเรียน

วัตถุประสงค์: เพื่อให้การประเมินคุณภาพของงานของชั้นเรียนและนักเรียนแต่ละคน

6. ขั้นตอนของการสะท้อน