ในหน้านี้ คุณจะพบกับสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดที่จะช่วยให้คุณแก้แบบฝึกหัดต่างๆ ได้ ซึ่งจะทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นอย่างมาก

สูตรตรีโกณมิติคือความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ถูกต้องสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด

สูตรกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก - ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์

ไซน์ของมุมคือพิกัด y ของจุด (พิกัด) บนวงกลมหน่วย โคไซน์ของมุมคือพิกัด x ของจุด (abscissa)

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามลำดับคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์และในทางกลับกัน
`บาป\\อัลฟา,\cos\\อัลฟา`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z'
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z'

และสองตัวที่ใช้บ่อยน้อยกว่า - ซีแคนต์, โคซีแคนต์ พวกมันแสดงถึงอัตราส่วน 1 ต่อโคไซน์และไซน์

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

จากคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสามารถดูสัญญาณที่มีในแต่ละไตรมาสได้ เครื่องหมายของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับว่าอาร์กิวเมนต์อยู่ในจตุภาคใด

เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์จาก "+" เป็น "-" เฉพาะฟังก์ชันโคไซน์เท่านั้นที่จะไม่เปลี่ยนค่าของมัน เรียกว่าคู่กัน กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน y

ฟังก์ชันที่เหลือ (ไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์) เป็นเลขคี่ เมื่อเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก "+" เป็น "-" ค่าของอาร์กิวเมนต์จะเปลี่ยนเป็นค่าลบด้วย กราฟของพวกเขามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

`บาป(-\อัลฟา)=-บาป \ \อัลฟา`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานคือสูตรที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหนึ่ง (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) และช่วยให้คุณค้นหา ค่าของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ผ่านฟังก์ชันอื่นๆ ที่ทราบกันดีอยู่แล้ว
`บาป^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z'

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของมุมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรสำหรับการบวกและลบอาร์กิวเมนต์แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมสองมุมในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta'
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta'
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta'
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta'
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

สูตรมุมคู่

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \ alpha-tg \ \alpha)2`

สูตรสามมุม

`บาป \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \ alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha) (1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

สูตรครึ่งมุม

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (บาป \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

สูตรอาร์กิวเมนต์ครึ่ง สอง และสามแสดงฟังก์ชัน `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` ของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) ในแง่ ของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันเดียวกันเหล่านี้ `\alpha'

สามารถรับผลลัพธ์ได้จากกลุ่มก่อนหน้า (การบวกและการลบอาร์กิวเมนต์) ตัวอย่างเช่น ข้อมูลประจำตัวแบบมุมคู่สามารถหาได้ง่ายโดยการแทนที่ `\beta` ด้วย `\alpha`

สูตรลด

สูตรของกำลังสอง (ลูกบาศก์ ฯลฯ) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติช่วยให้คุณเปลี่ยนจาก 2,3, ... องศาเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติของดีกรีแรกได้ แต่มีหลายมุม (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... ` หรือ `2\alpha, \ 4\alpha, \...`)
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`บาป^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4'
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4'
`บาป^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8'
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8'

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรคือการแปลงผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ต่างๆ ลงในผลิตภัณฑ์

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2'
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ เบต้า)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

ที่นี่การเพิ่มและการลบฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์หนึ่งตัวจะถูกแปลงเป็นผลิตภัณฑ์

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha'

สูตรต่อไปนี้แปลงผลรวมและผลต่างของหน่วยและฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลิตภัณฑ์

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ เบต้า \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

สูตรการแปลงฟังก์ชัน

สูตรสำหรับแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยอาร์กิวเมนต์ `\alpha` และ `\beta` เป็นผลรวม (ผลต่าง) ของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ เบต้า)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ เบต้า))`

การแทนที่ตรีโกณมิติสากล

สูตรเหล่านี้แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

สูตรหล่อ

สูตรการลดสามารถหาได้โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น คาบ สมมาตร สมบัติการเลื่อนตามมุมที่กำหนด อนุญาตให้แปลงฟังก์ชันมุมใดก็ได้เป็นฟังก์ชันที่มีมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

สำหรับมุม (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` บาป (\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha'
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
สำหรับมุม (`\pi \pm \alpha`) หรือ (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` บาป (\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
สำหรับมุม (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` บาป (\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha'
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha'
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha'
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha'
สำหรับมุม (`2\pi \pm \alpha`) หรือ (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` บาป (2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha'
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

นิพจน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติบางอย่างในรูปของฟังก์ชันอื่น

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

ตรีโกณมิติแปลตามตัวอักษรว่า "การวัดสามเหลี่ยม" เริ่มมีการศึกษาที่โรงเรียนและดำเนินต่อไปในรายละเอียดเพิ่มเติมที่มหาวิทยาลัย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีสูตรพื้นฐานสำหรับตรีโกณมิติตั้งแต่เกรด 10 เช่นเดียวกับการสอบผ่าน สิ่งเหล่านี้แสดงถึงการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชัน และเนื่องจากมีการเชื่อมต่อเหล่านี้จำนวนมาก จึงมีสูตรค่อนข้างน้อย การจดจำสิ่งเหล่านี้ทั้งหมดไม่ใช่เรื่องง่าย และไม่จำเป็น หากจำเป็น ก็สามารถอนุมานได้ทั้งหมด

สูตรตรีโกณมิติใช้ในแคลคูลัสอินทิกรัล เช่นเดียวกับในการลดความซับซ้อนของตรีโกณมิติ การคำนวณ และการแปลง

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จ 60-65 คะแนน งานทั้งหมด 1-13 ของ Profile USE ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่าน Basic USE ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย อยากสอบผ่าน 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่เป็นคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักมนุษยศาสตร์ไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีด่วนวิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบ งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อจะได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบนับร้อย ปัญหาข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่ง่ายและจำง่าย เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี กลเม็ดเคล็ดลับในการแก้, แผ่นโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ถึงภารกิจที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ยกกำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของข้อสอบส่วนที่ 2

สูตรมุมคู่ใช้เพื่อแสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมที่มีค่า 2 α โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม α บทความนี้จะแนะนำสูตรมุมคู่ทั้งหมดพร้อมหลักฐาน ตัวอย่างการใช้สูตรจะได้รับการพิจารณา ในส่วนสุดท้ายจะแสดงสูตรสำหรับมุมสามเท่าและสี่เท่า

รายการสูตรมุมคู่

ในการแปลงสูตรมุมคู่ โปรดจำไว้ว่ามุมในตรีโกณมิติมีรูปแบบ n α สัญกรณ์ โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ค่าของนิพจน์เขียนโดยไม่มีวงเล็บ ดังนั้น sin n α จึงถือว่ามีความหมายเดียวกับ sin (n α) ด้วยสัญกรณ์ sin n α เรามีสัญกรณ์ที่คล้ายกัน (sin α) n . การใช้สัญกรณ์ใช้ได้กับฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดที่ยกกำลัง n

ต่อไปนี้เป็นสูตรมุมคู่:

บาป 2 α = 2 บาป α cos α cos 2 α = cos 2 α - บาป 2 α , cos 2 α = 1 - 2 บาป 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

โปรดทราบว่าสูตรบาปและคอสเหล่านี้ใช้ได้กับค่าใดๆ ของมุม α สูตรสำหรับแทนเจนต์ของมุมคู่ใช้ได้กับค่าใดๆ ของ α โดยที่ t g 2 α สมเหตุสมผล นั่นคือ α ≠ π 4 + π 2 · z, z เป็นจำนวนเต็มใดๆ โคแทนเจนต์ของมุมคู่มีอยู่สำหรับ α ใดๆ โดยที่ c t g 2 α ถูกกำหนดบน α ≠ π 2 · z

โคไซน์ของมุมคู่มีสัญกรณ์สามเท่าของมุมคู่ ทั้งหมดนั้นมีผลบังคับใช้

พิสูจน์สูตรมุมคู่

การพิสูจน์สูตรมาจากการบวกสูตร เราใช้สูตรสำหรับไซน์ของผลรวม:

บาป (α + β) = บาป α cos β + cos α บาป β และโคไซน์ของผลรวม cos (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β สมมติว่า β = α แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

บาป (α + α) = บาป α cos α + cos α บาป α = 2 บาป α cos α และ cos (α + α) = cos α cos α - บาป α บาป α = cos 2 α - sin2α

ดังนั้นสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของบาปสองมุม 2 α \u003d 2 บาป α cos α และ cos 2 α \u003d cos 2 α - บาป 2 α ได้รับการพิสูจน์แล้ว

สูตรที่เหลือ cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α และ cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 นำไปสู่รูปแบบ cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α เมื่อเปลี่ยน 1 ด้วยผลรวมของกำลังสองโดยบาปเอกลักษณ์พื้นฐาน 2 α + cos 2 α = 1 . เราได้บาปนั้น 2 α + cos 2 α = 1 ดังนั้น 1 - 2 บาป 2 α \u003d บาป 2 α + cos 2 α - 2 บาป 2 α \u003d cos 2 α - บาป 2 α และ 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (บาป 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - บาป 2 α

เพื่อพิสูจน์สูตรสำหรับมุมคู่ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เราใช้ความเท่าเทียมกัน t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α และ c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α หลังจากการแปลง เราได้ t ก. 2 α \u003d บาป 2 α cos 2 α \u003d 2 บาป α cos α cos 2 α - บาป 2 α และ c t ก. 2 α \u003d cos 2 α บาป 2 α \u003d cos 2 α - บาป 2 α 2 · บาป α · cos α . แบ่งนิพจน์ด้วย cos 2 α โดยที่ cos 2 α ≠ 0 ด้วยค่าใดๆ ของ α เมื่อ t g α ถูกกำหนด แบ่งนิพจน์อื่นด้วย sin 2 α โดยที่ sin 2 α ≠ 0 ด้วยค่าใดๆ ของ α เมื่อ c t g 2 α สมเหตุสมผล ในการพิสูจน์สูตรมุมสองเท่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เราแทนที่และรับ:

ตรีโกณมิติ สูตรตรีโกณมิติ

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก - ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ - ได้รับ สูตรตรีโกณมิติ. และเนื่องจากมีความสัมพันธ์กันค่อนข้างมากระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ นี่จึงอธิบายความอุดมสมบูรณ์ของสูตรตรีโกณมิติด้วย บางสูตรเชื่อมโยงฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียวกัน อื่นๆ - ฟังก์ชันของหลายมุม อื่นๆ - อนุญาตให้คุณลดระดับลง ส่วนที่สี่ - เพื่อแสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดตามลำดับ ซึ่งเพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามจุดประสงค์และป้อนลงในตาราง

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง พวกเขาติดตามจากนิยามของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เช่นเดียวกับแนวคิดของวงกลมหนึ่งหน่วย พวกมันช่วยให้คุณแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งผ่านฟังก์ชันอื่นได้

สำหรับคำอธิบายโดยละเอียดของสูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ ที่มาและตัวอย่างการใช้งาน โปรดดูบทความข้อมูลเฉพาะเกี่ยวกับตรีโกณมิติพื้นฐาน

ด้านบนของหน้า

สูตรหล่อ

สูตรหล่อตามมาจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ กล่าวคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสมบัติของสมมาตร และสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ทำให้คุณสามารถย้ายจากการทำงานกับมุมใดก็ได้เป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ศูนย์ถึง 90 องศา

เหตุผลสำหรับสูตรเหล่านี้ กฎช่วยในการจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับสูตรการลด

ด้านบนของหน้า

สูตรเสริม

สูตรบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมสองมุมแสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้อย่างไร สูตรเหล่านี้ใช้เป็นพื้นฐานในการหาสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้

มากกว่า รายละเอียดข้อมูลมีอยู่ในบทความของสูตรการบวก

ด้านบนของหน้า

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของสองเท่า สามเท่า ฯลฯ มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของพวกเขาขึ้นอยู่กับสูตรการบวก

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับสองเท่า สามเท่า ฯลฯ มุม.

ด้านบนของหน้า

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงในรูปของโคไซน์ของมุมจำนวนเต็มอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่

ที่มาและตัวอย่างการใช้งานสามารถพบได้ในบทความสูตรครึ่งมุม

ด้านบนของหน้า

สูตรลด

สูตรตรีโกณมิติลดองศาได้รับการออกแบบมาเพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจากพลังธรรมชาติของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นไซน์และโคไซน์ในระดับแรก แต่มีหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกเขายอมลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก

ด้านบนของหน้า

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จุดหมายหลัก สูตรผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วยการเปลี่ยนไปใช้ผลคูณของฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เนื่องจากช่วยให้แยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

สำหรับที่มาของสูตร เช่นเดียวกับตัวอย่างการใช้งาน ให้ดูบทความสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ด้านบนของหน้า

สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นผลรวมหรือผลต่างจะดำเนินการโดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

ด้านบนของหน้า

การแทนที่ตรีโกณมิติสากล

เราทบทวนสูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติด้วยสูตรที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของแทนเจนต์ของครึ่งมุม การแทนที่นี้เรียกว่า การแทนที่ตรีโกณมิติสากล. ความสะดวกของมันอยู่ที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดแสดงในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุมอย่างมีเหตุมีผลโดยไม่มีราก

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูบทความการแทนที่ตรีโกณมิติสากล

ด้านบนของหน้า

• พีชคณิต: Proc. สำหรับ 9 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน / ยู. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด. S. A. Telyakovsky.- M.: การตรัสรู้, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน - ครั้งที่ 3 — M.: Enlightenment, 1993. — 351 p.: ill. — ไอเอสบีเอ็น 5-09-004617-4
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และอื่น ๆ ; เอ็ด. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: การตรัสรู้, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า ร.ร. 2527-351 น.

สูตรตรีโกณมิติ- เป็นสูตรที่จำเป็นที่สุดในตรีโกณมิติ ซึ่งจำเป็นสำหรับการแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ดำเนินการสำหรับค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์

สูตรเสริม.

บาป (α + β) = บาป α cos β + บาป β cos α

บาป (α - β) \u003d บาป α cos β - บาป β cos α

cos (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β

cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)

ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

สูตรมุมคู่

cos 2α = cos²α — บาป²α

cos 2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2sin²α

บาป2α = 2sinα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg2α = (ctg²α - 1) ÷ (2ctgα )

สูตรสามมุม

sin3α = 3sinα - 4sin³α

cos 3α = 4cos³α — 3cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

สูตรครึ่งมุม

สูตรหล่อ.

คำอธิบายโดยละเอียดของสูตรการลด

สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

บาป 2 α+cos 2 α=1

เอกลักษณ์นี้เป็นผลมาจากการนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้กับสามเหลี่ยมในวงกลมตรีโกณมิติหนึ่งหน่วย

ความสัมพันธ์ระหว่างโคไซน์และแทนเจนต์:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 หรือวินาทีที่ 2 α−tan 2 α=1

สูตรนี้เป็นผลมาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและได้มาจากการหารส่วนซ้ายและขวาด้วยcos2α สันนิษฐานว่า α≠π/2+πn,n∈Z.

ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคแทนเจนต์:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 หรือ csc 2 α−cot 2 α=1

สูตรนี้ยังติดตามจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน (ได้จากการหารด้านซ้ายและขวาด้วย บาป2α. ในที่นี้สันนิษฐานว่า α≠πn,n∈Z.

ความหมายของแทนเจนต์:

tanα=sinα/cosα,

ที่ไหน α≠π/2+πn,n∈Z.

คำจำกัดความของโคแทนเจนต์:

cotα=cosα/ซินα,

ที่ไหน α≠πn,n∈Z.

ผลที่ตามมาจากคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

tanα⋅ cotα=1,

ที่ไหน α≠πn/2,n∈Z.

คำจำกัดความของซีแคนต์:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

คำจำกัดความของโคซีแคนต์:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

อสมการตรีโกณมิติ

อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

กำลังสองของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรลูกบาศก์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติคณิตศาสตร์. ตรีโกณมิติ. สูตร. เรขาคณิต. ทฤษฎี

เราได้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานที่สุดแล้ว (อย่าหลงกล นอกเหนือไปจากไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ยังมีฟังก์ชันอื่นๆ อีกมาก แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง) แต่ตอนนี้ เราจะพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่าง ของหน้าที่ศึกษาไปแล้ว

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข

ไม่ว่าจำนวนจริง t จะถูกใช้อะไร ก็สามารถกำหนดได้ไม่ซ้ำกัน ตัวเลขที่แน่นอนบาป(t).

จริงอยู่ กฎการติดต่อสื่อสารค่อนข้างซับซ้อนและประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้

ในการหาค่าของบาป (t) ด้วยจำนวน t คุณต้อง:

1. วางตำแหน่งวงกลมตัวเลขบนระนาบพิกัดเพื่อให้จุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิด และจุดเริ่มต้น A ของวงกลมกระทบจุด (1; 0);
2. หาจุดบนวงกลมที่ตรงกับตัวเลข t;
3. หาพิกัดของจุดนี้
4. ลำดับนี้เป็นบาปที่ต้องการ (t)

เรากำลังพูดถึงฟังก์ชัน s = sin(t) โดยที่ t คือจำนวนจริงใดๆ เรารู้วิธีคำนวณค่าบางค่าของฟังก์ชันนี้ (เช่น sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) เป็นต้น) เราทราบคุณสมบัติบางอย่างของมันแล้ว

การเชื่อมต่อของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

อย่างที่คุณคาดหวัง เดาว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเชื่อมต่อถึงกัน และถึงแม้จะไม่รู้ค่าของฟังก์ชันหนึ่ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถหาได้จากอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น สูตรที่สำคัญที่สุดของตรีโกณมิติทั้งหมดคือ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

\[ บาป^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

อย่างที่คุณเห็น การรู้ค่าของไซน์ คุณสามารถหาค่าของโคไซน์ได้ และในทางกลับกัน

สูตรตรีโกณมิติ

สูตรทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับไซน์และโคไซน์กับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

จากสูตรสองสูตรสุดท้าย สามารถอนุมานเอกลักษณ์ตรีโกณมิติได้อีกหนึ่งสูตร โดยเชื่อมโยงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในเวลานี้:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสูตรเหล่านี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ

ตัวอย่าง 1. ลดความซับซ้อนของนิพจน์: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

ก) ก่อนอื่น เราเขียนแทนเจนต์ โดยคงกำลังสอง:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

ตอนนี้เราแนะนำทุกอย่างภายใต้ตัวส่วนร่วม และเราจะได้รับ:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

และสุดท้าย อย่างที่เราเห็น ตัวเศษสามารถลดลงเหลือหนึ่งตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน ดังนั้นเราจึงได้รับ: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) ด้วยโคแทนเจนต์ เราดำเนินการแบบเดียวกันทั้งหมด เฉพาะในตัวส่วนเท่านั้น จะไม่มีโคไซน์อีกต่อไป แต่เป็นไซน์ และคำตอบจะเป็นดังนี้:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

เมื่อเสร็จสิ้นภารกิจนี้ เราได้รับสูตรสำคัญอีกสองสูตรที่เชื่อมโยงฟังก์ชันของเรา ซึ่งคุณจำเป็นต้องรู้เช่นเดียวกับหลังมือของคุณ:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

คุณต้องรู้ทุกอย่างที่นำเสนอในสูตรด้วยใจ มิฉะนั้น การศึกษาตรีโกณมิติต่อไปหากไม่มีพวกมันจะเป็นไปไม่ได้เลย ในอนาคตจะมีสูตรมากขึ้นและจะมีอีกมาก และขอรับรองว่าคุณจะจำมันทั้งหมดได้นานอย่างแน่นอนหรืออาจจะจำไม่ได้ แต่ทุกคนควรรู้ทั้ง 6 ข้อนี้ !

ตารางที่สมบูรณ์ของสูตรการลดตรีโกณมิติพื้นฐานและหายากทั้งหมด

คุณสามารถหาสูตรตรีโกณมิติในรูปแบบที่สะดวกได้ที่นี่ และสามารถดูสูตรการลดตรีโกณมิติได้ในหน้าอื่น

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

- นิพจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดำเนินการสำหรับแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์

• บาป² α + cos² α = 1
• tgα ctgα = 1
• tan α = บาป α ÷ cos α
• ctg α = cos α ÷ บาป α
• 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

สูตรเสริม

• บาป (α + β) = บาป α cos β + บาป β cos α
• บาป (α - β) \u003d บาป α cos β - บาป β cos α
• cos (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β
• cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β
• tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
• tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
• ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
• ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org

สูตรมุมคู่

• cos 2α = cos² α - บาป² α
• cos2α = 2cos²α - 1
• cos 2α = 1 - 2sin² α
• sin2α = 2sinα cosα
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

สูตรสามมุม

• sin3α = 3sinα - 4sin³α
• cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
• tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
• ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

สูตรลด

• บาป² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
• sin³ α = (3sin α - บาป 3α) ÷ 4
• cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
• cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
• บาป² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
• sin³ α cos³ α = (3sin 2α - บาป 6α) ÷ 32

การเปลี่ยนจากผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม

• บาป α cos β = ½ (บาป (α + β) + บาป (α - β))
• บาป α บาป β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
• cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

เราได้ระบุสูตรตรีโกณมิติไว้บ้างแล้ว แต่ถ้าขาดหายไป ให้เขียน

ทั้งหมดเพื่อการศึกษา » คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน » สูตรตรีโกณมิติ - สูตรโกง

หากต้องการบุ๊กมาร์กหน้า ให้กด Ctrl+D

เป็นกลุ่ม ข้อมูลที่เป็นประโยชน์(ลงชื่อว่าต้องสอบหรือสอบ):

ฐานข้อมูลทั้งบทคัดย่อ เอกสารภาคการศึกษา วิทยานิพนธ์และอุปกรณ์การเรียนอื่นๆ ให้บริการฟรี การใช้สื่อของเว็บไซต์แสดงว่าคุณยืนยันว่าคุณได้อ่านข้อตกลงผู้ใช้และยอมรับข้อกำหนดทั้งหมดของเว็บไซต์แล้ว

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของกลุ่มอย่างละเอียด วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการตรีโกณมิติ ส่วนที่สามเกี่ยวข้องกับสมการตรีโกณมิติที่ไม่ได้มาตรฐาน ซึ่งคำตอบจะขึ้นอยู่กับแนวทางเชิงฟังก์ชัน

สูตรตรีโกณมิติทั้งหมด (สมการ): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

ส่วนที่สี่เกี่ยวข้องกับอสมการตรีโกณมิติ วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติเบื้องต้นได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดทั้งในวงกลมหนึ่งหน่วยและ ...

… มุม 1800-α= ตามด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> ดังนั้น ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน แนวคิดของฟังก์ชันตรีโกณมิติจึงถูกนำมาใช้โดยวิธีทางเรขาคณิตเนื่องจากมีความพร้อมใช้งานมากขึ้น รูปแบบวิธีการดั้งเดิมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติมีดังนี้: 1) ขั้นแรกให้กำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมแหลมของสี่เหลี่ยม ...

… การบ้าน 19(3,6), 20(2,4) การตั้งเป้าหมาย การอัปเดตความรู้อ้างอิง คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรลด วัสดุใหม่ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย การรวม การแก้ปัญหา วัตถุประสงค์ของบทเรียน: วันนี้เราจะ คำนวณค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติและแก้ ...

... สมมติฐานที่กำหนดต้องแก้งานต่อไปนี้: 1. เพื่อระบุบทบาทของสมการตรีโกณมิติและอสมการในการสอนคณิตศาสตร์; 2. เพื่อพัฒนาวิธีการสำหรับการก่อตัวของทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการโดยมุ่งเป้าไปที่การพัฒนาการแสดงแทนตรีโกณมิติ 3. ทดลองตรวจสอบประสิทธิภาพของวิธีการที่พัฒนาขึ้น สำหรับโซลูชั่น …

สูตรตรีโกณมิติ

สูตรตรีโกณมิติ

เรานำเสนอสูตรต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติให้คุณสนใจ

สูตรทั่วไป

- ฉบับพิมพ์

© เด็กนักเรียน. คณิตศาสตร์ (สนับสนุนโดย Branch Tree) 2009—2016