Funcția y = x ^ 2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Vederea generală a parabolei este prezentată în figura de mai jos.

Funcția cuadratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum puteți vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe. Apoi va traversa parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte până la axa Oy va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul parabolei în două părți, parcă. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul parabolei care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct (0; 0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. Pentru x = 0, y = 0 și y> 0 pentru x0

2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x = 0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.

3. Funcția scade în intervalul (-∞; 0] și crește în interval, deoarece linia dreaptă y = kx va coincide cu graficul y = | x-3 | - | x + 3 | din această secțiune. Aceasta varianta nu ne convine.

Dacă k este mai mic decât -2, atunci linia y = kx cu graficul y = | x-3 | - | x + 3 | va avea o singură intersecție. Această opțiune ni se potrivește.

Dacă k = 0, atunci intersecțiile dreptei y = kx cu graficul y = | x-3 | - | x + 3 | va fi și una. Această opțiune ni se potrivește.

Răspuns: pentru k aparținând intervalului (-∞; -2) U Rezolvând ecuația \ (x "\ stânga (t \ dreapta) = 0, \) determinăm punctele staționare ale funcției \ (x \ stânga (t) \ dreapta): \) \ [(x "\ stânga (t \ dreapta) = 0,) \; \; (\ Săgeată la dreapta 3 (t ^ 2) + 2t - 1 = 0,) \; \; (\ Săgeată la dreapta (t_ (1,2)) = \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (16))) (6) = - 1; \; \ frac (1) (3).) \] Pentru \ (t = 1 \) funcția \ (x \ left (t \ right) \) atinge un maxim egal cu \ și în punctul \ (t = \ large \ frac (1) (3) \ normalsize \) are un minim egal cu \ [(x \ stânga ((\ frac (1) (3)) \ dreapta)) = ((\ stânga ((\ frac (1) (3)) \ dreapta) ^ 3) + (\ stânga ((\ frac (1) (3)) \ dreapta) ^ 2) - \ stânga ((\ frac (1) (3)) \ dreapta)) = (\ frac (1) ((27)) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (3) = - \ frac (5) ((27)).) \] Se consideră derivata \ (y "\ stânga (t \ dreapta): \) \ [(y" \ stânga (t \ dreapta) = (\ stânga (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ dreapta) ^ \ prim)) = (3 (t ^ 2) + 4t - 4.) \ ] Găsiți punctele staționare ale funcției \ (y \ stânga (t \ dreapta): \) \ [(y "\ stânga (t \ dreapta) = 0,) \; \; (\ Săgeata la dreapta 3 (t ^ 2) + 4t - 4 = 0,) \; \; (\ Săgeată la dreapta (t_ (1,2)) = \ frac ((- 4 \ pm \ sqrt (64))) (6) = - 2 ; \; \ frac (2) (3).) \] Aici, în mod similar, funcția \ (y \ stânga (t \ dreapta) \) atinge maximul în punctul \ (t = -2: \) \ și minim în punctul \ (t = \ mare \ frac (2) (3) \ normalsize: \) \ [(y \ stânga ((\ frac (2) (3)) \ dreapta)) = ((\ stânga ( (\ frac (2) (3)) \ dreapta t) ^ 3) + 2 (\ stânga ((\ frac (2) (3)) \ dreapta) ^ 2) - 4 \ cdot \ frac (2) (3)) = (\ frac (8) ((27) )) + \ frac (8) (9) - \ frac (8) (3)) = (- \ frac ((40)) ((27)).) \] Grafice de funcții \ (x \ left (t \) dreapta) \), \ (y \ stânga (t \ dreapta) \) sunt prezentate schematic în figura \ (15a. \)

Rețineți că, deoarece \ [(\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) x \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \; \; \; (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) y \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \] atunci curba \ (y \ left (x \ right) \) nu are verticală, fără asimptote orizontale. Mai mult, deoarece \ [(k = \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac ((y \ left (t \ right))) ((x \ left (t \ right)))) = ( \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t)) (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) ) ) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac ((1 + \ frac (2) (t) - \ frac (4) (((t ^ 2))))) (( 1) + \ frac (1) (t) - \ frac (1) (((t ^ 2))))) = 1,) \] \ [(b = \ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty ) \ stânga [(y \ stânga (t \ dreapta) - kx \ stânga (t \ dreapta)) \ dreapta]) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ stânga ((\ cancel (\ culoare (albastru) (t ^ 3)) + \ culoare (roșu) (2 (t ^ 2)) - \ culoare (verde) (4t) - \ anulare (\ culoare (albastru) (t ^ 3)) - \ culoare (roșu) (t ^ 2) + \ culoare (verde) (t)) \ dreapta)) = (\ lim \ limits_ (t \ to \ pm \ infty) \ stânga ((\ culoare (roșu) (t ^ 2) ) - \ color (verde) (3t)) \ right) = + \ infty,) \] atunci curba \ (y \ left (x \ right) \) nu are nici asimptote oblice.

Să definim punctele de intersecție ale graficului \ (y \ stânga (x \ dreapta) \) cu axele de coordonate. Intersecția cu axa absciselor are loc în următoarele puncte: \ [(y \ stânga (t \ dreapta) = (t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t = 0,) \; \; (\ Săgeată la dreapta t \ stânga (((t ^ 2) + 2t - 4) \ dreapta) = 0;) \]

1. \ (((t ^ 2) + 2t - 4 = 0,) \; \; (\ Săgeată la dreapta D = 4 - 4 \ cdot \ stânga ((- 4) \ dreapta) = 20,) \; \; (\ Săgeată la dreapta (t_ (2,3)) = \ mare \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (20))) (2) \ normalsize = - 1 \ pm \ sqrt 5.) \)

1. \ (((t ^ 2) + t - 1 = 0,) \; \; (\ Săgeată la dreapta D = 1 - 4 \ cdot \ stânga ((- 1) \ dreapta) = 5,) \; \; (\ Săgeată la dreapta (t_ (2,3)) = \ mare \ frac ((- 1 \ pm \ sqrt (5))) (2) \ normalsize.) \)

Pe al doilea interval \ (\ stânga ((- 2, - 1) \ dreapta) \) variabila \ (x \) crește de la \ (x \ stânga ((- 2) \ dreapta) = - 2 \) la \ (x \ left ((- 1) \ right) = 1, \) iar variabila \ (y \) scade de la \ (y \ left ((- 2) \ right) = 8 \) la \ (y \ left ((- 1) \ dreapta) = 5. \) Aici avem un segment al unei curbe descrescătoare \ (y \ stânga (x \ dreapta). \) Intersectează ordonata în punctul \ (\ stânga ((0, 3 + 2 \ sqrt 5) \ dreapta). \)

În al treilea interval \ (\ stânga ((- 1, \ mare \ frac (1) (3) \ normalsize) \ dreapta) \), ambele variabile scad. Valoarea \ (x \) se modifică de la \ (x \ left ((- 1) \ right) = 1 \) la \ (x \ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ mare \ frac (5) ((27)) \ normalsize. \) În consecință, valoarea \ (y \) scade de la \ (y \ stânga ((- 1) \ dreapta) = 5 \) la \ ( y \ stânga ((\ mare \ frac (1) (3) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (29) ((27)) \ normalsize. \) Curba \ (y \ stânga (x \ dreapta) ) \ ) în acest caz intersectează originea.

Pe al patrulea interval \ (\ stânga ((\ mare \ frac (1) (3) \ normalsize, \ large \ frac (2) (3) \ normalsize) \ dreapta) \) variabila \ (x \) crește de la \ ( x \ stânga ((\ mare \ frac (1) (3) \ normalsize) \ dreapta) = - \ mare \ frac (5) ((27)) \ normalsize \) la \ (x \ stânga ((\ mare \ frac (2) (3) \ normalsize) \ right) = \ large \ frac (2) ((27)) \ normalsize, \) iar variabila \ (y \) scade de la \ (y \ left ((\) mare \ frac (1) (3) \ normalsize) \ dreapta) = - \ mare \ frac (29) ((27)) \ normalsize \) la \ (y \ stânga ((\ mare \ frac (2)) (3 ) \ normalsize) \ right) = - \ large \ frac (40) ((27)) \ normalsize. \) În acest segment, curba \ (y \ stânga (x \ dreapta) \) intersectează ordonata în punctul \ (\ stânga ( (0,3 - 2 \ sqrt 5) \ dreapta). \)

În cele din urmă, pe ultimul interval \ (\ stânga ((\ mare \ frac (2) (3) \ normalsize, + \ infty) \ dreapta) \) ambele funcții \ (x \ stânga (t \ dreapta) \), \ ( y \ stânga (t \ dreapta) \) sunt în creștere. Curba \ (y \ stânga (x \ dreapta) \) intersectează axa absciselor în punctul \ (x = - 9 + 5 \ sqrt 5 \ aproximativ 2,18. \)

Pentru a rafina forma curbei \ (y \ stânga (x \ dreapta) \), calculați punctele maxime și minime. Derivata \ (y "\ left (x \ right) \) este exprimată ca \ [(y" \ left (x \ right) = (y "_x)) = (\ frac (((y" _t))) (((x "_t)))) = (\ frac ((((\ stânga (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ dreapta)) ^ \ prim))) ((( ( \ stânga (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ dreapta)) ^ \ prim))))) = (\ frac ((3 (t ^ 2) + 4t - 4)) (( 3 (t ^ 2) + 2t - 1))) = (\ frac ((\ cancel (3) \ stânga ((t + 2) \ dreapta) \ stânga ((t - \ frac (2) (3)) \ dreapta))) ((\ cancel (3) \ stânga ((t + 1) \ dreapta) \ stânga ((t - \ frac (1) (3)) \ dreapta)))) = (\ frac (( \ stânga ((t + 2) \ dreapta) \ stânga ((t - \ frac (2) (3)) \ dreapta))) ((\ stânga ((t + 1) \ dreapta) \ stânga ((t - \ frac (1) (3)) \ dreapta))).) \] Schimbarea de semn a derivatei \ (y "\ stânga (x \ dreapta) \) este prezentată în figura \ (15c. \) Se poate se vede că în punctul \ (t = - 2, \) adică. la granița intervalelor \ (I \) - al lea și \ (II \) - al-lea, curba are un maxim, iar pentru \ (t = \ mare \ frac (2) (3) \ normalsize \) (pe marginea \ (IV \) -lea și \ (V \) -lea intervale) există un minim. Când trece prin punctul \ (t = \ mare \ frac (1) (3) \ normalsize \), derivata își schimbă și semnul din plus în minus, dar în această zonă curba \ (y \ stânga (x \ dreapta) \) nu este o funcție clară. Prin urmare, punctul specificat nu este un extremum.

De asemenea, investighăm convexitatea acestei curbe. Derivată a doua\ (y "" \ stânga (x \ dreapta) \) arată astfel: \ [y "" \ stânga (x \ dreapta) = (y "" _ (xx)) = \ frac ((((\ stânga (( (y "_x)) \ dreapta))" _ t))) (((x "_t))) = \ frac ((((\ stânga ((\ frac ((3 (t ^ 2) + 4t - 4) ) ) ((3 (t ^ 2) + 2t - 1))) \ dreapta)) ^ \ prim))) ((((\ stânga (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ dreapta )) ^ \ prim))) = \ frac ((\ stânga ((6t + 4) \ dreapta) \ stânga ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ dreapta) - \ stânga ((3 ( t ^ 2) + 4t - 4) \ dreapta) \ stânga ((6t + 2) \ dreapta))) ((((\ stânga ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ dreapta)) ^ 3 ) )) = \ frac ((18 (t ^ 3) + 12 (t ^ 2) + 12 (t ^ 2) + 8t - 6t - 4 - \ stânga ((18 (t ^ 3) + 24 (t ^ 2 ) - 24t + 6 (t ^ 2) + 8t - 8) \ dreapta))) ((((\ stânga ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ dreapta)) ^ 3))) = \ frac ((\ cancel (\ culoare (albastru) (18 (t ^ 3))) + \ culoare (roșu) (24 (t ^ 2)) + \ culoare (verde) (2t) - \ culoare (maro) ( 4) - \ anulare (\ culoare (albastru) (18 (t ^ 3))) - \ culoare (roșu) (30 (t ^ 2)) + \ culoare (verde) (16t) + \ culoare (maro) ( 8))) ((((\ stânga ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ dreapta)) ^ 3))) = \ frac ((- \ culoare (roșu) (6 (t ^ 2) ) ) + \ culoare (verde) (18t) + \ culoare (maro) (4))) ((((\ stânga ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ dreapta)) ^ 3))) = \ frac ((- 6 \ stânga ((t - \ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ dreapta) \ stânga ((t - \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ dreapta))) ((((\ stânga ((t + 1) \ dreapta)) ^ 3) ((\ stânga ((3t - 1) \ dreapta)) ^ 3))). \] Prin urmare, derivata a doua își schimbă semnul în sens opus când trece prin următoarele puncte (Fig. \ (15с \)): \ [((t_1) = - 1: \; \; x \ left ((- 1) ) \ dreapta ) = 1,) \; \; (y \ stânga ((- 1) \ dreapta) = 5;) \] \ [((t_2) = \ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6):) \; \; (x \ stânga ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ dreapta) \ aproximativ 0,24;) \; \; (y \ stânga ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ dreapta) \ aproximativ 0,91;) \] \ [((t_3) = \ frac (1) (3) :) \; \; (x \ stânga ((\ frac (1) (3)) \ dreapta) = - \ frac (5) ((27)),) \; \; (y \ stânga ((\ frac (1) (3)) \ dreapta) = - \ frac ((29)) ((27));) \] \ [((t_4) = \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6):) \; \; (x \ stânga ((\ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ dreapta) \ aproximativ 40,1;) \; \; (y \ stânga ((\ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ dreapta) \ aproximativ 40,8.) \] Prin urmare, punctele specificate sunt punctele de inflexiune ale curbei \ (y \ stânga ( x \ dreapta). \)

Un grafic schematic al curbei \ (y \ stânga (x \ dreapta) \) este prezentat mai sus în figura \ (15b. \)