สมการของดีกรีที่หนึ่งเทียบกับพิกัด x, y, z

ขวาน + โดย + Cz +D = 0 (3.1)

กำหนดระนาบ และในทางกลับกัน: ระนาบใดๆ สามารถแทนด้วยสมการ (3.1) ซึ่งเรียกว่า สมการระนาบ.

เวกเตอร์ น(A, B, C) ตั้งฉากกับระนาบเรียกว่า เวกเตอร์ปกติเครื่องบิน ในสมการ (3.1) สัมประสิทธิ์ A, B, C ไม่เท่ากับ 0 ในเวลาเดียวกัน

กรณีพิเศษของสมการ (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - เครื่องบินผ่านจุดกำเนิด

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ระนาบขนานกับแกน Oz

3. C = D = 0, Axe + By = 0 - เครื่องบินผ่านแกน Oz

4. B = C = 0, Axe + D = 0 - ระนาบขนานกับระนาบ Oyz

สมการระนาบพิกัด: x = 0, y = 0, z = 0

สามารถกำหนดเส้นตรงในช่องว่างได้:

1) เป็นเส้นตัดของระนาบสองระนาบ คือ ระบบสมการ:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) สองจุดของมัน M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) จากนั้นเส้นตรงที่ผ่านพวกมันจะได้รับจากสมการ:

3) จุด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ที่เป็นของมันและเวกเตอร์ เอ(m, n, p), s collinear จากนั้นเส้นตรงจะถูกกำหนดโดยสมการ:

สมการ (3.4) เรียกว่า สมการบัญญัติของเส้น.

เวกเตอร์ เอเรียกว่า คู่มือเวกเตอร์ตรง.

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงเราได้รับโดยการเทียบความสัมพันธ์แต่ละความสัมพันธ์ (3.4) กับพารามิเตอร์ t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t (3.5)

การแก้ระบบ (3.2) เป็นระบบสมการเชิงเส้นในรูปนิรนาม xและ y, เรามาถึงสมการของเส้นตรงใน ประมาณการหรือถึง ลดสมการเส้นตรง :

x = mz + a, y = nz + b (3.6)

จากสมการ (3.6) สามารถส่งต่อไปยังสมการบัญญัติได้ หา zจากสมการแต่ละสมการและเท่ากับค่าผลลัพธ์:

เราสามารถส่งต่อจากสมการทั่วไป (3.2) ไปยังสมการบัญญัติในอีกทางหนึ่ง หากพบจุดใด ๆ ของเส้นนี้และเวกเตอร์ทิศทางของมัน น= [น 1 , น 2] โดยที่ น 1 (A 1 , B 1 , C 1) และ น 2 (A 2 , B 2 , C 2) - เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนด ถ้าตัวส่วนใดตัวหนึ่ง ม.นหรือ Rในสมการ (3.4) จะกลายเป็นศูนย์ จากนั้นตัวเศษของเศษส่วนที่เกี่ยวข้องจะต้องตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ระบบ

เทียบเท่ากับระบบ ; เส้นดังกล่าวตั้งฉากกับแกน x

ระบบเทียบเท่ากับระบบ x = x 1 , y = y 1 ; เส้นตรงขนานกับแกนออซ

ตัวอย่าง 1.15. เขียนสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด A (1, -1,3) ทำหน้าที่เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังระนาบนี้

การตัดสินใจ.โดยเงื่อนไขของปัญหาเวกเตอร์ OA(1,-1,3) เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ แล้วสมการของมันสามารถเขียนได้เป็น
x-y+3z+D=0. แทนที่พิกัดของจุด A(1,-1,3) ที่เป็นของระนาบ เราจะพบว่า D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11 ดังนั้น x-y+3z-11=0

ตัวอย่าง 1.16. เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านแกน Oz และสร้างมุม 60 องศาด้วยระนาบ 2x+y-z-7=0

การตัดสินใจ.ระนาบที่ผ่านแกน Oz ถูกกำหนดโดยสมการ Ax+By=0 โดยที่ A และ B ไม่หายไปพร้อมกัน ให้บีไม่
คือ 0, A/Bx+y=0 ตามสูตรโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

การแก้สมการกำลังสอง 3m 2 + 8m - 3 = 0 เราพบรากของมัน
m 1 = 1/3, m 2 = -3, จากนั้นเราจะได้ระนาบสองระนาบ 1/3x+y = 0 และ -3x+y = 0

ตัวอย่าง 1.17เขียนสมการบัญญัติของเส้นตรง:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0

การตัดสินใจ.สมการมาตรฐานของเส้นตรงมีรูปแบบดังนี้

ที่ไหน ม. น. พี- พิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง x1, y1, z1- พิกัดของจุดใด ๆ ที่เป็นของเส้น เส้นตรงถูกกำหนดให้เป็นเส้นตัดของระนาบสองระนาบ ในการหาจุดที่เป็นของเส้นตรง พิกัดตัวใดตัวหนึ่งได้รับการแก้ไข (วิธีที่ง่ายที่สุดคือใส่ x=0) และระบบผลลัพธ์จะแก้ไขเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีสองไม่ทราบค่า ดังนั้น ให้ x=0 แล้ว y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, โดยที่ y=-1, z=1 เราพบพิกัดของจุด M (x 1, y 1, z 1) ที่อยู่ในเส้นนี้: M (0,-1,1) เวกเตอร์การกำกับของเส้นตรงนั้นหาง่าย โดยรู้เวกเตอร์ปกติของระนาบเดิม น 1 (5,1,1) และ น 2(2,3,-2). แล้ว

สมการบัญญัติของเส้นตรงคือ: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณาสมการของพื้นผิวในอวกาศที่มีแกนพิกัด X, Y, Z ในรูปแบบที่ชัดเจนหรือในรูปแบบโดยปริยาย

สามารถเขียนสมการพื้นผิวในรูปแบบพาราเมตริก โดยแสดงพิกัดของจุดเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ตัวแปรอิสระสองตัวและ

เราจะถือว่าฟังก์ชันเหล่านี้เป็นค่าเดียว ต่อเนื่อง และมีอนุพันธ์ต่อเนื่องถึงลำดับที่สองในช่วงของพารามิเตอร์บางช่วง

หากเราแทนที่นิพจน์พิกัดเหล่านี้ในรูปของ u และ v ลงในด้านซ้ายของสมการ (37) เราควรได้รับเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับ u และ V การแยกความแตกต่างของเอกลักษณ์นี้ด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ u และ v เรามี

เมื่อพิจารณาสมการเหล่านี้เป็นสมการเอกพันธ์สองสมการที่เกี่ยวกับและการใช้บทแทรกเกี่ยวกับพีชคณิตที่กล่าวถึงใน เราได้รับ

โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน

เราคิดว่าตัวประกอบ k และอย่างน้อยความแตกต่างทางขวามือของสูตรสุดท้ายอย่างน้อยหนึ่งอย่างไม่เป็นศูนย์

ให้เราแสดงความแตกต่างสามข้อที่เขียนไว้โดยย่อดังนี้:

ดังที่คุณทราบ สมการของระนาบสัมผัสผิวของเรา ณ จุดหนึ่ง (x, y, z) สามารถเขียนได้เป็น

หรือแทนที่ด้วยปริมาณตามสัดส่วน เราสามารถเขียนสมการระนาบแทนเจนต์ใหม่ได้ดังนี้

ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้ทราบกันว่าเป็นสัดส่วนกับทิศทางโคไซน์ของเส้นตั้งฉากกับพื้นผิว

ตำแหน่งของตัวแปรจุด M บนพื้นผิวนั้นถูกกำหนดโดยค่าของพารามิเตอร์ u และ v และพารามิเตอร์เหล่านี้มักจะเรียกว่าพิกัดของจุดพื้นผิวหรือพารามิเตอร์พิกัด

โดยให้พารามิเตอร์ u และ v ค่าคงที่ เราได้รับเส้นสองตระกูลบนพื้นผิว ซึ่งเราจะเรียกเส้นพิกัดของพื้นผิว: เส้นพิกัดซึ่งมีเพียง v เท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง และเส้นพิกัดซึ่งมีเพียงคุณเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง เส้นพิกัดทั้งสองนี้ให้เส้นพิกัดบนพื้นผิว

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาทรงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและรัศมี R สมการพาราเมตริกของทรงกลมดังกล่าวสามารถเขียนได้เป็น

แน่นอนว่าเส้นพิกัดในกรณีนี้คือเส้นขนานและเส้นเมอริเดียนของทรงกลมของเรา

นามธรรมจากแกนพิกัด เราสามารถกำหนดลักษณะพื้นผิวโดยตัวแปรรัศมี-เวกเตอร์ที่ไปจากจุดคงที่ O ไปยังจุดตัวแปร M ของพื้นผิวของเรา อนุพันธ์บางส่วนของรัศมี-เวกเตอร์นี้ที่เกี่ยวกับพารามิเตอร์จะให้เวกเตอร์ที่กำกับตามแทนเจนต์ไปยังเส้นพิกัดอย่างชัดเจน ส่วนประกอบของเวกเตอร์เหล่านี้ตามแกน

มันจะเป็นไปตามและด้วยเหตุนี้ว่าสัมประสิทธิ์ในสมการของระนาบสัมผัส (39) เป็นส่วนประกอบของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับแทนเจนต์ กล่าวคือ เวกเตอร์ชี้ไปตามเส้นปกติของ พื้นผิว. กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์นี้ชัดแจ้งโดยผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และตัวมันเอง นั่นคือโดยกำลังสองของเวกเตอร์นี้ 1) ต่อไปนี้จะมีบทบาทสำคัญโดยเวกเตอร์ปกติของหน่วยต่อพื้นผิวซึ่งเราสามารถเขียนในรูปแบบ .ได้ชัดเจน

โดยการเปลี่ยนลำดับของตัวประกอบในผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่เป็นลายลักษณ์อักษร เราได้ทิศทางตรงกันข้ามสำหรับเวกเตอร์ (40) ต่อไปนี้เราจะกำหนดลำดับของปัจจัยในลักษณะที่แน่นอน กล่าวคือ เราจะกำหนดทิศทางของเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

ลองหาจุด M บนพื้นผิวแล้วลากเส้นโค้ง (L) ที่วางอยู่บนพื้นผิวผ่านจุดนี้ โดยทั่วไปแล้วเส้นโค้งนี้ไม่ใช่เส้นพิกัด และทั้ง H และ v จะเปลี่ยนไปตามนั้น ทิศทางของแทนเจนต์กับเส้นโค้งนี้จะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ หากเราถือว่าตาม (L) ในบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้น พารามิเตอร์ v คือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ จากนี้ จะเห็นได้ว่าทิศทางของเส้นสัมผัสไปยังเส้นโค้งที่วาดบนพื้นผิว ณ จุดใดจุดหนึ่ง M ของเส้นโค้งนี้จะมีลักษณะเฉพาะโดยสมบูรณ์ด้วยค่าที่จุดนั้น เมื่อกำหนดระนาบแทนเจนต์และรับสมการ (39) เราถือว่าฟังก์ชัน (38) ที่จุดที่พิจารณาและบริเวณใกล้เคียงมีอนุพันธ์ย่อยบางส่วนอย่างต่อเนื่องและอย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์ของสมการ (39) แตกต่างจากศูนย์ที่ ถือเป็นจุด

สมการเวกเตอร์และพาราเมตริกของระนาบให้ r 0 และ r เป็นเวกเตอร์รัศมีของจุด M 0 และ M ตามลำดับ จากนั้น M 0 M = r - r 0 และเงื่อนไข (5.1) ว่าจุด M เป็นของระนาบที่ผ่านจุด M 0 ตั้งฉาก เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ n (รูปที่ 5.2, a) สามารถเขียนได้โดยใช้ สินค้าจุดเป็นอัตราส่วน

n(r - r 0) = 0, (5.4)

ซึ่งถูกเรียกว่า สมการเวกเตอร์ของระนาบ

ระนาบคงที่ในอวกาศสอดคล้องกับชุดของเวกเตอร์ขนานกับมัน นั่นคือ ช่องว่าง V2. มาเลือกพื้นที่นี้กันเถอะ พื้นฐาน e 1 , e 2 , เช่น เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์คู่หนึ่งขนานกับระนาบที่พิจารณา และจุด M 0 บนระนาบ หากจุด M เป็นของระนาบ แสดงว่าเวกเตอร์ M 0 M ขนานกับมัน (รูปที่ 5.2, b) เช่น มันเป็นของพื้นที่ที่ระบุ V 2 . ซึ่งหมายความว่ามี การสลายตัวของเวกเตอร์ M 0 M ในฐาน e 1 , e 2 , เช่น มีตัวเลข t 1 และ t 2 ซึ่ง M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . เขียนด้านซ้ายของสมการนี้ในรูปของเวกเตอร์รัศมี r 0 และ r ของจุด M 0 และ M ตามลำดับ เราจะได้ สมการพาราเมทริกเวกเตอร์ของระนาบ

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)

เพื่อส่งต่อจากความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ใน (5.5) ไปสู่ความเท่าเทียมกัน พิกัด, แสดงโดย (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) พิกัดจุด M 0 , M และผ่าน (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x ; e 2y ; e 2z ) พิกัดของเวกเตอร์ e 1 , e 2 . เท่ากับพิกัดชื่อเดียวกันของเวกเตอร์ r และ r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 เราได้รับ สมการระนาบพารามิเตอร์

เครื่องบินผ่านสามจุดสมมติว่าสามจุด M 1 , M 2 และ M 3 ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว จากนั้นมีระนาบที่ไม่ซ้ำกัน π ซึ่งจุดเหล่านี้อยู่ ให้เราหาสมการของระนาบนี้โดยกำหนดเกณฑ์สำหรับจุดใด ๆ M ที่อยู่ในระนาบที่กำหนด π จากนั้นเราเขียนเกณฑ์นี้ในแง่ของพิกัดของจุด เกณฑ์ที่ระบุคือคำอธิบายของระนาบ π เป็นเซตของจุด M ซึ่งเวกเตอร์ M 1 M 2 , M 1 M 3 และ M 1 M coplanar. เกณฑ์สำหรับการเปรียบเทียบของเวกเตอร์สามตัวคือความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของ สินค้าผสม(ดู 3.2) ผลิตภัณฑ์ผสมคำนวณโดยใช้ ตัวกำหนดลำดับที่สามซึ่งสตริงเป็นพิกัดของเวกเตอร์ใน พื้นฐานปกติ. ดังนั้น ถ้า (x i; yx i; Zx i) เป็นพิกัดของจุด Mx i, i = 1, 2, 3 และ (x; y; z) เป็นพิกัดของจุด M แล้ว M 1 M = (x-x 1; y-y 1 ; z-z 1 ), M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ; y 2 ​​​​-y 1 ; z 2 -z 1 ), M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) และสภาวะความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้มีรูปแบบ

การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เราจะได้ เชิงเส้นเทียบกับ x, y, z สมการ, ซึ่งเป็น สมการทั่วไปของระนาบที่ต้องการ. ตัวอย่างเช่น if ขยายดีเทอร์มีแนนต์ตามแถวที่ 1แล้วเราจะได้

ความเท่าเทียมกันนี้ หลังจากคำนวณดีเทอร์มีแนนต์และเปิดวงเล็บแล้ว จะถูกแปลงเป็นสมการทั่วไปของระนาบ

สังเกตว่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการสุดท้ายตรงกับพิกัด ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ม 1 ม 2 × ม 1 ม 3 . ผลคูณเวกเตอร์นี้ ซึ่งเป็นผลคูณของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัวขนานกับระนาบ π ให้เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ตั้งฉากกับ π กล่าวคือ ของเธอ เวกเตอร์ปกติ. ดังนั้นการปรากฏตัวของพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปของระนาบจึงค่อนข้างเป็นธรรมชาติ

พิจารณากรณีเฉพาะต่อไปนี้ของเครื่องบินที่ผ่านสามจุด คะแนน M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0 อย่านอนบนเส้นตรงเส้นเดียวและกำหนดระนาบที่ตัดส่วน บนแกนพิกัดความยาวที่ไม่ใช่ศูนย์ (รูปที่ 5.3) ในที่นี้ "ความยาวของส่วน" หมายถึงค่าของพิกัดที่ไม่เป็นศูนย์ของเวกเตอร์รัศมีของจุด M ผม , ผม = 1,2,3

เนื่องจาก M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z) สมการ (5.7) จึงอยู่ในรูปแบบ

เมื่อคำนวณดีเทอร์มีแนนต์แล้ว เราพบ bc(x - a) + acy + abz = 0 หารสมการผลลัพธ์ด้วย abc แล้วเลื่อนเทอมว่างไปทางด้านขวา

x/a + y/b + z/c = 1

สมการนี้เรียกว่า สมการระนาบในส่วนต่างๆ.

ตัวอย่างที่ 5.2มาหากัน สมการทั่วไประนาบที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (1; 1; 2) และตัดส่วนที่มีความยาวเท่ากันออกจากแกนพิกัด

สมการของระนาบเป็นส่วน ๆ โดยที่มันตัดส่วนที่มีความยาวเท่ากันออกจากแกนพิกัด สมมติว่า a ≠ 0 มีรูปแบบ x/a + y/b + z/c = 1 สมการนี้ต้องเป็นไปตามพิกัด (1; 1; 2) จุดที่ทราบบนเครื่องบินคือ 4/a = 1 เท่ากัน ดังนั้น a = 4 และสมการที่ต้องการคือ x + y + z - 4 = 0

สมการปกติของระนาบพิจารณาระนาบ π ในอวกาศ เราซ่อมเพื่อเธอ หน่วยปกติ เวกเตอร์ n กำกับจาก ต้นทาง"ไปทางระนาบ" และแสดงโดย p ระยะทางจากจุดกำเนิด O ของระบบพิกัดถึงระนาบ π (รูปที่ 5.4) ถ้าระนาบผ่านจุดกำเนิดของระบบพิกัด ดังนั้น p = 0 และสามารถเลือกทิศทางที่เป็นไปได้สองทิศทางเป็นทิศทางสำหรับเวกเตอร์ปกติ n ได้

หากจุด M เป็นของระนาบ π ก็เท่ากับว่า การฉายภาพเวกเตอร์มุมฉากโอม ทิศทางเวกเตอร์ n เท่ากับ p นั่นคือ เงื่อนไข nOM = pr n OM = p เป็นไปตามเงื่อนไข เนื่องจาก ความยาวเวกเตอร์ n เท่ากับหนึ่ง

ระบุพิกัดของจุด M โดย (x; y; z) และให้ n = (cosα; cosβ; cosγ) (จำได้ว่าสำหรับเวกเตอร์หน่วย n นั้น โคไซน์ทิศทาง cosα, cosβ, cosγ ก็เป็นพิกัดเช่นกัน) การเขียนผลคูณสเกลาร์ในความเท่าเทียมกัน nOM = p ในรูปแบบพิกัดเราได้รับ สมการปกติของระนาบ

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

ในทำนองเดียวกันกับกรณีของเส้นตรงในระนาบ สมการทั่วไปของระนาบในอวกาศสามารถเปลี่ยนเป็นสมการปกติได้โดยการหารด้วยตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐาน

สำหรับสมการระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานคือจำนวน ±√(A 2 + B 2 + C 2) ซึ่งเครื่องหมายถูกเลือกตรงข้ามกับเครื่องหมายของ D ในค่าสัมบูรณ์ ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานคือความยาวของเวกเตอร์ปกติ (A; B ; C) ของระนาบ และเครื่องหมายจะสอดคล้องกับทิศทางที่ต้องการของเวกเตอร์ปกติของหน่วยของระนาบ หากเครื่องบินผ่านจุดกำเนิดของระบบพิกัด กล่าวคือ D = 0 จากนั้นเครื่องหมายของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานสามารถเลือกได้ด้วยเครื่องหมายใดก็ได้

คือสมการทั่วไปของระนาบในอวกาศ

เวกเตอร์ระนาบปกติ

เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวที่อยู่ในระนาบ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดด้วยเวกเตอร์ตั้งฉากที่กำหนด

คือสมการของระนาบที่ผ่านจุด M0 ด้วยเวกเตอร์ตั้งฉากที่กำหนด

เวกเตอร์ทิศทางเครื่องบิน

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่แนวร่วมสองตัวขนานกับระนาบเรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของระนาบ

สมการระนาบพารามิเตอร์

– สมการพาราเมทริกของระนาบในรูปเวกเตอร์

คือสมการพาราเมทริกของระนาบเป็นพิกัด

สมการระนาบผ่านจุดที่กำหนดและเวกเตอร์สองทิศทาง

-จุดคงที่

แค่จุด lol

เป็นระนาบระนาบ ดังนั้นผลคูณของพวกมันคือ 0

สมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

– สมการระนาบผ่านสามจุด

สมการของระนาบในส่วนต่างๆ

- สมการระนาบในส่วนต่างๆ

การพิสูจน์

เพื่อพิสูจน์ เราใช้ความจริงที่ว่าระนาบของเราผ่าน A, B, C และเวกเตอร์ปกติ

ให้เราแทนที่พิกัดของจุดและเวกเตอร์ n ลงในสมการระนาบด้วยเวกเตอร์ปกติ

หารทุกอย่างด้วยและรับ

ดังนั้นมันไป

สมการระนาบปกติ

คือมุมระหว่าง ox กับเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ ซึ่งออกมาจาก O

คือมุมระหว่าง oy กับเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ ออกจาก O

คือมุมระหว่าง oz กับเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ ออกจาก O

คือระยะทางจากจุดกำเนิดพิกัดถึงระนาบ

หลักฐานหรือเรื่องไร้สาระบางอย่าง

ป้ายอยู่ตรงข้าม D.

เช่นเดียวกับโคไซน์อื่นๆ จบ.

ระยะทางจากจุดไปยังเครื่องบิน

จุด S เครื่องบิน

คือระยะเชิงจากจุด S ถึงระนาบ

ถ้า , แล้ว S และ O จะอยู่ด้านตรงข้ามของระนาบ

ถ้า , แล้ว S และ O นอนตะแคงเดียวกัน

คูณด้วย n

การจัดเรียงร่วมกันของสองบรรทัดในช่องว่าง

มุมระหว่างระนาบ

ที่ทางแยกจะมีการสร้างมุมไดฮีดรัลแนวตั้งสองคู่ซึ่งเล็กที่สุดเรียกว่ามุมระหว่างระนาบ

เส้นตรงในช่องว่าง

เส้นในช่องว่างสามารถกำหนดได้เป็น

จุดตัดของสองระนาบ:

สมการพาราเมตริกของเส้นตรง

- สมการพาราเมทริกของเส้นตรงในรูปเวกเตอร์

คือสมการพาราเมทริกของเส้นตรงในพิกัด

สมการ Canonical

คือสมการบัญญัติของเส้นตรง

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

– สมการมาตรฐานของเส้นตรงในรูปเวกเตอร์

การจัดเรียงร่วมกันของสองบรรทัดในช่องว่าง

การจัดเรียงกันของเส้นตรงและระนาบในอวกาศ

มุมระหว่างเส้นกับระนาบ

ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นในอวกาศ

a คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงของเรา

เป็นจุดใดก็ได้ที่เป็นของเส้นที่กำหนด

- จุดที่เรามองหาระยะทาง

ระยะห่างระหว่างสองเส้นตัดกัน

ระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

M1 - จุดที่เป็นของบรรทัดแรก

M2 เป็นจุดที่อยู่ในบรรทัดที่สอง

เส้นโค้งและพื้นผิวของลำดับที่สอง

วงรีคือชุดของจุดในระนาบ ผลรวมของระยะทางจากจุดที่กำหนดสองจุด (จุดโฟกัส) เป็นค่าคงที่

สมการ Canonical ของวงรี

มาแทนที่ด้วย

หารด้วย

คุณสมบัติของวงรี

ทางแยกที่มีแกนพิกัด

สมมาตรเกี่ยวกับ

1. ต้นกำเนิด

วงรีเป็นเส้นโค้งที่อยู่ในส่วนที่ จำกัด ของระนาบ

วงรีสามารถรับได้จากวงกลมโดยการยืดหรือบีบมัน

สมการพาราเมตริกของวงรี:

- กรรมการ

ไฮเพอร์โบลา

ไฮเปอร์โบลาคือเซตของจุดในระนาบที่โมดูลัสของความแตกต่างในระยะทางถึง 2 จุดที่กำหนด (จุดโฟกัส) เป็นค่าคงที่ (2a)

เราทำทุกอย่างเหมือนกับวงรี เราได้

แทนที่ด้วย

หารด้วย

คุณสมบัติของไฮเพอร์โบลา

;

- กรรมการ

เส้นกำกับ

เส้นกำกับเป็นเส้นตรงที่เส้นโค้งเข้าใกล้อย่างไม่มีกำหนด ถอยกลับไปสู่อนันต์

พาราโบลา

คุณสมบัติของพาราบอท

ความสัมพันธ์ระหว่างวงรี ไฮเพอร์โบลา และพาราโบลา

ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งเหล่านี้มีคำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิต: ทั้งหมดนี้มาจากสมการของดีกรีที่สอง ในระบบพิกัดใดๆ สมการของเส้นโค้งเหล่านี้จะมีรูปแบบดังนี้ ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, โดยที่ a, b, c, d, e, f เป็นตัวเลข

การแปลงระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

การแปลขนานของระบบพิกัด

–O’ ในระบบพิกัดเก่า

– พิกัดของจุดในระบบพิกัดเก่า

– พิกัดของจุดในระบบพิกัดใหม่

พิกัดจุดในระบบพิกัดใหม่

หมุนในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

– ระบบพิกัดใหม่

เมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านจากฐานเดิมเป็นฐานใหม่

- (ใต้คอลัมน์แรก ฉัน’ , ภายใต้วินาที เจ’ ) เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน ฉัน,เจเป็นพื้นฐาน ฉัน’ ,เจ’

กรณีทั่วไป

1 ตัวเลือก

1. การหมุนระบบพิกัด

ตัวเลือก 2

1. การหมุนระบบพิกัด

   คำแปลขนานกันของแหล่งกำเนิด

สมการทั่วไปของรายการลำดับที่สองและการลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ

เป็นรูปแบบทั่วไปของสมการเส้นโค้งอันดับสอง

การจำแนกเส้นโค้งของลำดับที่สอง

ทรงรี

ภาพตัดขวางของทรงรี

- วงรี

- วงรี

วงรีแห่งการปฏิวัติ

วงรีแห่งการปฏิวัติอาจเป็นทรงกลมหรือทรงกลมขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังหมุนไปรอบ ๆ

ไฮเปอร์โบลอยด์วงเดียว

ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียว

– ไฮเปอร์โบลาที่มีแกนจริง oy

เป็นไฮเปอร์โบลาที่มีแกน x จริง

มันกลายเป็นวงรีสำหรับ h ใดๆ ดังนั้นมันไป

ไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียวของการปฏิวัติ

ไฮเปอร์โบลาของการปฏิวัติแบบแผ่นเดียวสามารถหาได้โดยการหมุนไฮเปอร์โบลารอบแกนจินตภาพของมัน

ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น

ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น

- อติพจน์ด้วยการกระทำ axisoz

เป็นไฮเปอร์โบลาที่มีแกนจริง oz

กรวย

- เส้นตัดกันคู่หนึ่ง

- เส้นตัดกันคู่หนึ่ง

พาราโบลาวงรี

- พาราโบลา

- พาราโบลา

การหมุน

ถ้า แล้วพาราโบลาวงรีเป็นพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกิดจากการหมุนของพาราโบลารอบแกนสมมาตรของมัน

ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา

พาราโบลา

- พาราโบลา

h>0 ไฮเปอร์โบลาที่มีแกนจริงขนานกับ x

ชม.<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

ภายใต้ทรงกระบอกเราหมายถึงพื้นผิวที่จะได้รับเมื่อเส้นตรงเคลื่อนที่ในอวกาศซึ่งไม่เปลี่ยนทิศทางหากเส้นตรงเคลื่อนที่สัมพันธ์กับออนซ์สมการของทรงกระบอกจะเป็นสมการของส่วนโดยระนาบ ไชโย

ทรงกระบอกรูปไข่

กระบอกไฮเปอร์โบลิก

ทรงกระบอกพาราโบลา

เครื่องกำเนิดเส้นตรงของพื้นผิวของลำดับที่สอง

เส้นที่วางอยู่บนพื้นผิวทั้งหมดเรียกว่าเครื่องกำเนิดเป็นเส้นตรงของพื้นผิว

พื้นผิวของการปฏิวัติ

เขินนน

แสดง

โดยแสดงลองเรียกกฎตามที่แต่ละองค์ประกอบของชุด A เชื่อมโยงกับองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งชุดของชุด B หากแต่ละองค์ประกอบถูกกำหนดเป็นองค์ประกอบเดียวของชุด B การแมปจะเรียกว่า ชัดเจน, มิฉะนั้น คลุมเครือ.

การแปลงร่าง set เรียกว่าการ mapping แบบหนึ่งต่อหนึ่งของ set ลงบนตัวมันเอง

ฉีด

การฉีดหรือการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งของชุด A ไปยังชุด B

(องค์ประกอบต่าง ๆ ของ a สอดคล้องกับองค์ประกอบต่าง ๆ ของ B) เช่น y=x^2

การพุ่งเข้าใส่

การเซอร์เจกหรือการทำแผนที่ของเซต A ลงบนเซต B

สำหรับทุก B มีอย่างน้อยหนึ่ง A (เช่น ไซน์)

องค์ประกอบของชุด B แต่ละตัวสอดคล้องกับองค์ประกอบของชุด A เพียงตัวเดียว (เช่น y=x)

หนึ่งในหัวข้อย่อยของหัวข้อ “สมการของเส้นตรงบนระนาบ” คือประเด็นของการรวบรวมสมการพาราเมทริกของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม บทความด้านล่างกล่าวถึงหลักการของการรวบรวมสมการดังกล่าวสำหรับข้อมูลที่ทราบบางอย่าง ให้เราแสดงวิธีการส่งผ่านจากสมการพาราเมตริกไปเป็นสมการในรูปแบบอื่น มาวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาทั่วไปกัน

เส้นใดเส้นหนึ่งสามารถกำหนดได้โดยการระบุจุดที่เป็นของเส้นนั้นและเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นนั้น

สมมติว่าเราได้รับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y . และยังให้เส้นตรง a ซึ่งระบุจุด M 1 ที่วางอยู่บนนั้น (x 1, y 1) และเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่กำหนด a → = (a x , a y) . เราให้คำอธิบายของบรรทัดที่กำหนด a โดยใช้สมการ

เราใช้จุดใดก็ได้ M (x, y) และรับ vector ม 1 ม →; คำนวณพิกัดจากพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . มาอธิบายผลลัพธ์กัน: เส้นถูกกำหนดโดยชุดของจุด M (x, y) ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) . ชุดที่ระบุกำหนดเส้นตรงเฉพาะเมื่อเวกเตอร์ M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) และ a → = (a x , a y) เป็นเส้นตรง

มีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความสอดคล้องของเวกเตอร์ ซึ่งในกรณีนี้สำหรับเวกเตอร์ M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) และ a → = (a x , a y) สามารถเขียนเป็น สมการ:

M 1 M → = λ · a → โดยที่ λ คือจำนวนจริงบางจำนวน

คำจำกัดความ 1

สมการ M 1 M → = λ · a → เรียกว่าสมการเวกเตอร์-พารามิเตอร์ของเส้นตรง

ในรูปแบบพิกัดดูเหมือนว่า:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

สมการของระบบผลลัพธ์ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ เรียกว่าสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สาระสำคัญของชื่อมีดังนี้: พิกัดของจุดทั้งหมดของเส้นสามารถกำหนดได้โดยสมการพาราเมทริกบนระนาบของรูปแบบ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ เมื่อวนซ้ำค่าจริงทั้งหมด ​​ของพารามิเตอร์ λ

จากที่กล่าวมาข้างต้น สมการพาราเมทริกของเส้นตรงบนระนาบ x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ กำหนดเส้นตรงที่ให้ไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และมีเวกเตอร์ไกด์ a → = (a x , a y) . ดังนั้น หากกำหนดพิกัดของจุดหนึ่งของเส้นตรงและพิกัดของเวกเตอร์การกำกับ ก็จะสามารถเขียนสมการพาราเมทริกของเส้นตรงที่ให้มาได้ทันที

ตัวอย่างที่ 1

จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมทริกของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถ้าจุด M 1 (2, 3) ที่เป็นของมันและเวกเตอร์ทิศทางได้รับ a → = (3 , 1) .

การตัดสินใจ

จากข้อมูลเริ่มต้นเราได้รับ: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1 สมการพาราเมตริกจะมีลักษณะดังนี้:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

มาอธิบายกันอย่างชัดเจน:

คำตอบ: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

ควรสังเกต: ถ้าเวกเตอร์ a → = (a x , a y) ทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a และจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) อยู่ในเส้นนี้ จึงสามารถกำหนดได้โดยการตั้งค่าสมการพาราเมตริกของแบบฟอร์ม : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ เช่นเดียวกับตัวเลือกนี้: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

ตัวอย่างเช่น เราได้รับเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a → \u003d (2, - 1) เช่นเดียวกับจุด M 1 (1, - 2) และ M 2 (3, - 3) ที่เป็นของบรรทัดนี้ จากนั้นเส้นตรงจะถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ หรือ x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

ควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงต่อไปนี้ด้วย: if a → = (a x , a y) เป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a แล้วเวกเตอร์ใดๆ จะเป็นเวกเตอร์กำกับของมันด้วย μ a → = (μ a x , μ a y) โดยที่ μ ϵ R , μ ≠ 0 .

ดังนั้น เส้นตรง a บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถกำหนดได้โดยสมการพาราเมตริก: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ สำหรับค่าใดๆ ของ μ ที่แตกต่างจากศูนย์

สมมติว่าเส้น a ถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . แล้ว a → = (2 , - 5) - เวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ และเวกเตอร์ใดๆ μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 จะกลายเป็นเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรงที่กำหนด เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณาเวกเตอร์เฉพาะ - 2 · a → = (- 4 , 10) ซึ่งสอดคล้องกับค่า μ = - 2 . ในกรณีนี้ เส้นตรงที่กำหนดสามารถกำหนดได้ด้วยสมการพาราเมตริก x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

การเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบเป็นสมการอื่นของเส้นตรงที่กำหนดและในทางกลับกัน

ในการแก้ปัญหาบางอย่าง การใช้สมการพาราเมตริกไม่ใช่ตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด จากนั้นจึงจำเป็นต้องแปลสมการพาราเมตริกของเส้นตรงเป็นสมการของเส้นตรงประเภทอื่น เรามาดูวิธีการทำ

สมการพาราเมตริกของเส้นตรง x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ จะสอดคล้องกับสมการบัญญัติของเส้นตรงบนระนาบ x - x 1 a x = y - y 1 a y

เราแก้สมการพาราเมทริกแต่ละสมการเทียบกับพารามิเตอร์ λ ให้เท่ากันส่วนที่ถูกต้องของความเท่าเทียมกันที่ได้รับ และรับสมการบัญญัติของเส้นตรงที่กำหนด:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

ในกรณีนี้ ไม่ควรอายหาก x หรือ y มีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง 2

จำเป็นต้องเปลี่ยนจากสมการพาราเมทริกของเส้นตรง x = 3 y = - 2 - 4 · λ เป็นสมการบัญญัติ

การตัดสินใจ

เราเขียนสมการพาราเมตริกที่กำหนดในรูปแบบต่อไปนี้: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

เราแสดงพารามิเตอร์ λ ในแต่ละสมการ: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

เราจัดส่วนที่ถูกต้องของระบบสมการและรับสมการมาตรฐานที่ต้องการของเส้นตรงในระนาบ:

x - 3 0 = y + 2 - 4

ตอบ: x - 3 0 = y + 2 - 4

ในกรณีที่จำเป็นต้องเขียนสมการเส้นตรงของรูปแบบ A x + B y + C = 0 ในขณะที่ให้สมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบ จำเป็นต้องสร้าง เปลี่ยนเป็นสมการมาตรฐาน แล้วเปลี่ยนเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรง ลองเขียนลำดับการกระทำทั้งหมด:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงหากให้สมการพาราเมตริกที่กำหนด: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

การตัดสินใจ

ขั้นแรก มาทำการเปลี่ยนไปใช้สมการมาตรฐานกัน:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

สัดส่วนที่ได้จะเท่ากันกับความเท่าเทียมกัน - 3 · (x + 1) = 2 · y เปิดวงเล็บแล้วหาสมการทั่วไปของเส้นตรง: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

คำตอบ: 3x + 2y + 3 = 0

ตามตรรกะของการกระทำข้างต้น เพื่อให้ได้สมการของเส้นตรงที่มีความชัน สมการของเส้นตรงในส่วนหรือสมการปกติของเส้นตรง จำเป็นต้องได้สมการทั่วไปของเส้นตรง และจากนั้นเพื่อดำเนินการเปลี่ยนแปลงต่อไป

ตอนนี้ให้พิจารณาการกระทำย้อนกลับ: การเขียนสมการพาราเมทริกของเส้นตรงสำหรับสมการเส้นตรงนี้ในรูปแบบอื่นที่กำหนด

การเปลี่ยนแปลงที่ง่ายที่สุด: จากสมการบัญญัติเป็นสมการพาราเมตริก ให้สมการบัญญัติของแบบฟอร์ม: x - x 1 a x = y - y 1 a y เราใช้ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับพารามิเตอร์ λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

ให้เราแก้สมการผลลัพธ์ของตัวแปร x และ y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

ตัวอย่างที่ 4

จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมทริกของเส้นตรงหากทราบสมการมาตรฐานของเส้นตรงบนระนาบ: x - 2 5 = y - 2 2

การตัดสินใจ

มาเทียบส่วนของสมการที่รู้จักกับพารามิเตอร์ λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . จากความเท่าเทียมกันที่ได้รับ เราจะได้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

คำตอบ: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

เมื่อจำเป็นต้องเปลี่ยนมาใช้สมการพาราเมทริกจากสมการทั่วไปของเส้นตรง สมการเส้นตรงที่มีความชัน หรือสมการของเส้นตรงเป็นเซ็กเมนต์ จำเป็นต้องนำสมการเดิมมาที่ แบบบัญญัติ แล้วเปลี่ยนเป็นสมการพาราเมทริก

ตัวอย่างที่ 5

จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงด้วยสมการทั่วไปที่ทราบของเส้นตรงนี้: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

การตัดสินใจ

เราแปลงสมการทั่วไปที่กำหนดให้เป็นสมการของรูปแบบบัญญัติ:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

เราให้ทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันเท่ากับพารามิเตอร์ λ และรับสมการพาราเมทริกที่ต้องการของเส้นตรง:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

ตอบ: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

ตัวอย่างและปัญหาสมการพาราเมทริกของเส้นตรงบนระนาบ

ให้เราพิจารณาประเภทปัญหาที่พบบ่อยที่สุดโดยใช้สมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

1. ในปัญหาประเภทแรก พิกัดของจุดจะถูกกำหนด ไม่ว่าจะอยู่ในเส้นตรงที่อธิบายโดยสมการพาราเมทริกหรือไม่ก็ตาม

การแก้ปัญหาดังกล่าวขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงต่อไปนี้: ตัวเลข (x, y) ที่กำหนดจากสมการพาราเมทริก x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ สำหรับค่าจริงบางค่า λ คือพิกัดของ จุดที่เป็นของเส้นตรงซึ่งอธิบายสมการพาราเมทริกเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุดที่อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ สำหรับ λ = 3 .

การตัดสินใจ

เราแทนที่ค่าที่ทราบ λ = 3 ลงในสมการพาราเมตริกที่กำหนดและคำนวณพิกัดที่ต้องการ: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

ตอบ: 1 1 2 , 5

ปัญหาต่อไปนี้ยังเป็นไปได้: ให้จุด M 0 (x 0, y 0) บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม และจำเป็นต้องพิจารณาว่าจุดนี้เป็นของเส้นที่อธิบายโดยสมการพาราเมตริก x = x 1 + a x λ y = y 1 + y λ .

ในการแก้ปัญหาดังกล่าว จำเป็นต้องแทนที่พิกัดของจุดที่กำหนดเป็นสมการพาราเมทริกที่ทราบของเส้นตรง หากพบว่าค่าของพารามิเตอร์ λ = λ 0 เป็นไปได้ ซึ่งสมการพาราเมทริกทั้งสองเป็นจริง จุดที่กำหนดจะเป็นของเส้นตรงที่กำหนด

ตัวอย่าง 7

ให้คะแนน M 0 (4, - 2) และ N 0 (- 2, 1) จำเป็นต้องพิจารณาว่าอยู่ในเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริกหรือไม่ x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

การตัดสินใจ

เราแทนที่พิกัดของจุด M 0 (4, - 2) ลงในสมการพาราเมตริกที่กำหนด:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

เราสรุปได้ว่าจุด M 0 เป็นของเส้นที่กำหนดเพราะ สอดคล้องกับค่า λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

เห็นได้ชัดว่าไม่มีพารามิเตอร์ดังกล่าว λ ที่จุด N 0 จะสอดคล้องกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นที่กำหนดไม่ผ่านจุด N 0 (- 2 , 1) .

ตอบ:จุด M 0 เป็นของเส้นที่กำหนด จุด N 0 ไม่ได้อยู่ในบรรทัดที่กำหนด

1. ในปัญหาประเภทที่สอง จำเป็นต้องสร้างสมการพาราเมทริกของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปัญหาดังกล่าว (ด้วยพิกัดที่ทราบของจุดของเส้นและเวกเตอร์ทิศทาง) ได้รับการพิจารณาข้างต้น ทีนี้มาดูตัวอย่างที่คุณต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางก่อน แล้วจึงจดสมการพาราเมทริก

ให้คะแนน M 1 1 2 , 2 3 จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้และเส้นตรงคู่ขนาน x 2 \u003d y - 3 - 1

การตัดสินใจ

ตามเงื่อนไขของปัญหา เส้นตรง สมการที่เราต้องไปข้างหน้า ขนานกับเส้นตรง x 2 \u003d y - 3 - 1 จากนั้น ในฐานะเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนด คุณสามารถใช้เวกเตอร์กำกับของเส้นตรง x 2 = y - 3 - 1 ซึ่งเราเขียนในรูปแบบ: a → = (2, - 1) . ตอนนี้ทราบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว เพื่อสร้างสมการพารามิเตอร์ที่ต้องการ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

ตอบ: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

ตัวอย่างที่ 9

ให้จุด M 1 (0, - 7) จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้ในแนวตั้งฉากกับเส้นตรง 3 x – 2 y – 5 = 0 .

การตัดสินใจ

เป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง สมการที่ต้องประกอบขึ้น เป็นไปได้ที่จะนำเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง 3 x - 2 y - 5 = 0 . พิกัดของมันคือ (3 , - 2) . เราเขียนสมการพาราเมทริกที่ต้องการของเส้นตรง:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

ตอบ: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. ในปัญหาประเภทที่สาม จำเป็นต้องเปลี่ยนจากสมการพาราเมทริกของเส้นตรงที่กำหนดเป็นสมการประเภทอื่นที่กำหนด เราได้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างข้างต้นแล้ว เราจะให้อีกข้อหนึ่ง

กำหนดเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม กำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . จำเป็นต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้

การตัดสินใจ

ในการกำหนดพิกัดที่ต้องการของเวกเตอร์ตั้งฉาก เราจะเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกไปเป็นสมการทั่วไป:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x และ y ให้พิกัดที่ต้องการของเวกเตอร์ปกติ ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ มีพิกัด 1 , 3 4 .

ตอบ: 1 , 3 4 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter