ปัญหาฟิสิกส์ - 3470

2017-05-21
จุดวัสดุเริ่มเคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมี $r = 10 cm$ โดยมีความเร่งในแนวสัมผัสคงที่ $a_( \tau) = 0.4 cm/s^(2)$ หลังจากช่วงเวลาใดที่เวกเตอร์ความเร่งสร้างมุม $\beta$ กับเวกเตอร์ความเร็ว $\vec(v)$ เท่ากับ: a) $60^( \circ)$; b) $80^( \circ)$ (fig.)? จุดเคลื่อนที่จะครอบคลุมระยะทางเท่าใดในช่วงเวลานี้ รัศมี-เวกเตอร์จะดึงจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังจุดเคลื่อนที่ในมุมใด หากทิศทางนั้นพุ่งขึ้นในแนวตั้งในช่วงเวลาเริ่มต้น การเคลื่อนไหวตามเข็มนาฬิกา

สารละลาย:

จุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามวงกลมของรัศมีที่กำหนด เนื่องจากการเคลื่อนที่ถูกเร่ง ความเร็ว $v$ ของจุดเคลื่อนที่ และด้วยเหตุนี้ความเร่งปกติ $a_(n) = v^(2)/r$ จึงเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตามเวลา ความเร่งในแนวสัมผัสตามเงื่อนไขของปัญหามีค่าคงที่ ดังนั้นเวกเตอร์ความเร่งรวมจึงเปลี่ยนแปลงตามเวลาทั้งในค่าสัมบูรณ์และในทิศทาง

มุม $\beta$ ระหว่างเวกเตอร์ $\vec(a)$ และ $\vec(v)$ ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนระหว่าง $a_(n)$ และแทนเจนต์ $a_( \tau)$ การเร่งความเร็ว:

$tg \beta = a_(n) / a_( \tau) = v^(2)/(ra_( \tau))$ (หนึ่ง)

ความคงตัวของความเร่งในแนวสัมผัสทำให้เราสามารถค้นหากฎแห่งการเปลี่ยนแปลงด้วยเวลาของเส้นทาง $s$ ที่ตัดผ่านโดยจุดนั้น หรือมุมของการหมุน $\phi$ ของเวกเตอร์รัศมี (ดูรูปที่)

การเร่งความเร็วสัมผัส

$a_( \tau) = dv/dt = const$

ดังนั้น ความเร็วชั่วขณะของจุดเคลื่อนที่ (สำหรับ $v_(0) = 0$)

$v = a_(\tau)t$.

แทนนิพจน์นี้เป็นสูตร (1) เราพบว่า

$tg \beta = (a_( \tau) t)^(2) / (a_( \tau) t) = a_( \tau)t^(2)/r$

จากนั้นเวลาและเส้นทางจะเท่ากัน:

$t = \sqrt( \frac(r tg \beta)( a_( \tau)))$, (2)
$s = \int_(0)^(t) vdt = \int_(0)^(t) a_( \tau) t dt = \frac(a_( \tau)t^(2))(2)$ (3)

มุมการหมุน $\phi = s/r$ ยังเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎกำลังสอง:

$\phi = a_( \tau) t^(2) /(2r)$. (4)

a) สำหรับ $\beta_(1) = 60^( \circ)$ ($tg \beta_(1) = 1.73$) ตามนิพจน์ (2) - (4), $t_(1) = 6, 6 s; s_(1) = 8.7 ซม.; \phi_(1) = 0.87 rad$
b) ที่ $\beta_(2) = 80^( \circ)$ ($tg \beta_(2) = 5.7$) ตามนิพจน์ (2) - (4), $t_(2) = 12 s ; s_(2) = 28 ซม. \phi_(2) = 2.8 rad$

ตำแหน่งของจุดเคลื่อนที่สำหรับมุมที่พบ $\phi_(1)$ และ $\phi_(2)$ และเวกเตอร์ $\vec(v)$ และ $\vec(a)$ จะแสดงในรูปที่ .

การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น ปลายเข็มนาฬิกาจะเคลื่อนไปตามหน้าปัดตามวงกลม ความเร็วของร่างกายในวงกลมเรียกว่า ความเร็วสาย.

ด้วยการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอของร่างกายตามวงกลม โมดูลของความเร็วของวัตถุไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา กล่าวคือ v = const และมีเพียงทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในกรณีนี้ (ar = 0) และการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ความเร็วในทิศทางนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยค่าที่เรียกว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง() n หรือ CA ในแต่ละจุด เวกเตอร์ความเร่งสู่ศูนย์กลางจะถูกส่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลมตามรัศมี

โมดูลของการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลางเท่ากับ

CS \u003d v 2 / R

โดยที่ v คือความเร็วเชิงเส้น R คือรัศมีของวงกลม

ข้าว. 1.22. การเคลื่อนไหวของร่างกายเป็นวงกลม

เมื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของร่างกายเป็นวงกลม ให้ใช้ รัศมีการหมุนมุมคือมุม φ โดยรัศมีที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังจุดที่วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่อยู่ในขณะนั้นหมุนตามเวลา t มุมการหมุนวัดเป็นเรเดียน เท่ากับมุมระหว่างรัศมีสองวงของวงกลม ความยาวของส่วนโค้งระหว่างซึ่งเท่ากับรัศมีของวงกลม (รูปที่ 1.23) นั่นคือถ้า l = R แล้ว

1 เรเดียน= ล. / R

เพราะ เส้นรอบวงเท่ากับ

ล. = 2πR

360 o \u003d 2πR / R \u003d 2π rad

เพราะฉะนั้น

1 ราด \u003d 57.2958 เกี่ยวกับ \u003d 57 ประมาณ 18 '

ความเร็วเชิงมุมการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของร่างกายในวงกลมคือค่า ω ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของมุมการหมุนของรัศมี φ ต่อช่วงเวลาที่ทำการหมุนนี้:

ω = φ / t

หน่วยวัดความเร็วเชิงมุมคือเรเดียนต่อวินาที [rad/s] โมดูลัสความเร็วเชิงเส้นถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทาง l ถึงช่วงเวลา t:

v= ล. / t

ความเร็วสายด้วยการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอตามวงกลม มันถูกกำกับเป็นวงสัมผัสที่จุดที่กำหนดบนวงกลม เมื่อจุดเคลื่อนที่ ความยาว l ของส่วนโค้งวงกลมที่เคลื่อนที่ผ่านจุดนั้นจะสัมพันธ์กับมุมของการหมุน φ โดยนิพจน์

ล. = Rφ

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลม

จากนั้น ในกรณีของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของจุด ความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุมสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์:

v = l / t = Rφ / t = Rω หรือ v = Rω

ข้าว. 1.23. เรเดียน.

ระยะเวลาหมุนเวียน- นี่คือช่วงเวลา T ในระหว่างที่ร่างกาย (จุด) ทำหนึ่งรอบรอบเส้นรอบวง ความถี่ของการไหลเวียน- นี่คือส่วนกลับของระยะเวลาหมุนเวียน - จำนวนรอบต่อหน่วยเวลา (ต่อวินาที) ความถี่ของการไหลเวียนแสดงด้วยตัวอักษร n

n=1/T

ในช่วงเวลาหนึ่ง มุมของการหมุน φ ของจุดคือ 2π rad ดังนั้น 2π = ωT ดังนั้น

T = 2π / ω

กล่าวคือ ความเร็วเชิงมุมเท่ากับ

ω = 2π / T = 2πn

ความเร่งสู่ศูนย์กลางสามารถแสดงในรูปของคาบ T และความถี่ของการปฏิวัติ n:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

ด้วยการเคลื่อนไหวดังกล่าว (รูปที่ 6.10) และ เนื่องจากมีการเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลม จากสูตร ความเร็วของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลม

ข้าว. 6.10. การเคลื่อนที่ของจุดสม่ำเสมอตามวงกลม

ถ้ายอมรับ เสื้อ = T- คาบ คือ เวลาหนึ่งรอบโดยจุดวงกลม แล้ว

เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ไหน

3. การเคลื่อนไหวที่เท่าเทียมกันถ้า จากนั้นการเคลื่อนที่ของจุดจะเรียกว่า ตัวแปรเท่าๆ กัน

สมการการเคลื่อนที่ของจุดตัวแปรเท่ากัน

.

คือความเร็ว ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง

และ .

ก. ด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่แปรผันสม่ำเสมอ ถ้าไม่ทราบเวลา t, เราได้รับสูตรเสริมแรก

หากไม่ทราบ:

,

โดยที่ความเร็วเฉลี่ยของจุดในระหว่างการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของจุดนั้นอยู่ที่ใด

ข. หากการเคลื่อนตัวที่เร่งอย่างสม่ำเสมอของจุดนั้นเริ่มจากจุดกำเนิดของวิถี ( ส 0 = 0) และไม่มีความเร็วเริ่มต้น () ดังนั้นสูตรก่อนหน้าจะใช้รูปแบบที่ง่ายกว่า:

ตัวอย่างของการเคลื่อนไหวดังกล่าว ได้แก่ การเคลื่อนที่ของรถเมื่อออกตัวหรือการเคลื่อนที่ของเครื่องบินบนรันเวย์ รวมถึงการตกอย่างอิสระของร่างกายที่ทราบจากฟิสิกส์

ข. ตกอย่างอิสระ . ในกรณีนี้ถ้าอยู่ในสูตรจากย่อหน้า (B) สแทนที่ความสูงของหยด ชมจากนั้นสูตรจะอยู่ในรูป

สุดท้ายของสูตรเหล่านี้ซึ่งแสดงเป็น , เรียกว่า สูตรของกาลิเลโอ.

บทที่ 7

7.1. การเคลื่อนไหวแปล

การเคลื่อนไหวของร่างกายที่แข็งกระด้างซึ่งส่วนของเส้นใด ๆ ที่เลือกในร่างกายเคลื่อนไหวซึ่งยังคงขนานกับตำแหน่งเดิมเรียกว่า ความก้าวหน้า.

พิจารณาสองจุด อาและ วีเชื่อมต่อกันด้วยเซ็กเมนต์ AB(รูปที่ 7.1). เห็นได้ชัดว่าเมื่อย้ายเซ็กเมนต์ ABขนานกับตำแหน่งเดิม ( ) คะแนน อาและ วีเคลื่อนที่ไปตามวิถีเดียวกัน กล่าวคือ หากวิถีรวมกับวิถีก็จะตรงกัน ถ้าร่วมกับจุด อาพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุด คจากนั้นเมื่อร่างกายเคลื่อนไหวส่วนนั้น ACยังขนานกับตำแหน่งเดิม ( ) และวิถีของจุด ค(curve ) เหมือนกับ trajectories และ :

หรือ หรือ ;

หรือหรือ .

ข้าว. 7.1. เกี่ยวกับการวิเคราะห์การเคลื่อนไหวการแปลของร่างกายที่แข็งกระด้าง

อย่างที่คุณเห็น การเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุที่แข็งเกร็งนั้นมีลักษณะเฉพาะอย่างสมบูรณ์โดยการเคลื่อนที่ของจุดใดๆ ของมัน โดยปกติการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุจะได้รับจากการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์ถ่วงของมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการเคลื่อนที่เชิงแปล ร่างกายถือได้ว่าเป็นจุดวัตถุ

ตัวอย่างของการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุอาจเป็นตัวเลื่อนใดก็ได้ 1 , การเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง 2 (รูปที่ 7.2, เอ) หรือรถที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง (หรือไม่ใช่ทั้งคัน แต่เป็นตัวถังที่มีตัวถัง) บางครั้งการเคลื่อนตัวของเส้นโค้งที่มุมถนนของรถยนต์หรือรถไฟถือเป็นการแปลแบบมีเงื่อนไข ในกรณีเช่นนี้ กล่าวกันว่ารถยนต์หรือรถไฟกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเช่นนั้นหรือเช่นนั้นหรือด้วยความเร่งเช่นนั้นและเช่นนั้น

ตัวอย่างของการเคลื่อนที่เชิงแปลโค้งคือการเคลื่อนที่ของรถพ่วง (แท่น) ของกระเช้าลอยฟ้า (รูปที่ 7.2 ข) หรือการเคลื่อนไหวแฝด (รูปที่ 7.2, วี) เชื่อมต่อข้อเหวี่ยงคู่ขนานสองข้อ ในกรณีหลัง แต่ละจุดของคู่แฝดจะเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ข้าว. 7.2. ตัวอย่างของการแปลการเคลื่อนไหวของร่างกาย:

เอ- เส้นตรง; ข, วี- เส้นโค้ง

7.2. การเคลื่อนที่แบบหมุน

ความเร็วเชิงมุม ความเร่งเชิงมุม

การเคลื่อนที่ของวัตถุที่แข็งกระด้างซึ่งจุดทั้งหมดของมันเคลื่อนที่ไปตามวงกลมซึ่งจุดศูนย์กลางตั้งอยู่บนเส้นตายตัวตั้งฉากกับวงกลมเหล่านี้เรียกว่า การหมุน เส้นตายตัวซึ่งจุดศูนย์กลางของวิถีวงกลมของจุดของร่างกายอยู่เรียกว่า แกนหมุน ในการสร้างแกนหมุนก็เพียงพอที่จะแก้ไขจุดสองจุดของร่างกาย เป็นตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย เราสามารถอ้างถึงการเคลื่อนไหวของบานประตูหรือบานหน้าต่างเมื่อเปิดหรือปิด

ลองนึกภาพร่างกายในรูปทรงกระบอกแกน ABซึ่งอยู่ในตลับลูกปืน (รูปที่ 7.3)

ข้าว. 7.3. เพื่อวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายที่แข็งกระด้าง

โดยการเคลื่อนที่ของจุดใดจุดหนึ่ง การเคลื่อนที่แบบหมุนร่างกายไม่สามารถ

เพื่อสร้างกฎการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายซึ่งเป็นไปได้ที่จะกำหนดตำแหน่งของมันในช่วงเวลาที่กำหนดเราวาดผ่านแกนหมุนของร่างกาย NP ครึ่งระนาบคงที่ที่เกี่ยวข้องกับมันเท่านั้นและภายในร่างกาย เราสังเกตครึ่งระนาบที่เคลื่อนที่ได้ซึ่งหมุนรอบแกนพร้อมกับร่างกาย ตอนนี้มุม φ เกิดขึ้นจากช่วงเวลาที่กำหนดโดยครึ่งระนาบ NP และ PP กำหนดตำแหน่งของร่างกายในอวกาศได้อย่างแม่นยำ (ดูรูปที่ . 7.3). มุม φ เรียกว่า มุมเลี้ยวและแสดงเป็นเรเดียน เพื่อกำหนดตำแหน่งของร่างกายในอวกาศได้ตลอดเวลา จำเป็นต้องทราบความสัมพันธ์ระหว่างมุมของการหมุน φ และเวลา tคือการรู้กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุ

อัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมการหมุนของเวลานั้นมีลักษณะเป็นปริมาณที่เรียกว่า ความเร็วเชิงมุม

ลองนึกภาพว่า ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง tตำแหน่งของตัวหมุนจะถูกกำหนดโดยมุมของการหมุน φ และในขณะนี้ t + Δ t– มุมการหมุน φ + Δ φ ดังนั้นในช่วงเวลา Δ tร่างกายได้เลี้ยวผ่านมุม Δ φ และค่า

เรียกว่า ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย

หน่วยของความเร็วเชิงมุมคือ 1 rad/s ลักษณะของอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมคือ การเร่งความเร็วเชิงมุม, แสดงโดย . อัตราเร่งเฉลี่ย ;

.

หน่วยของความเร่งเชิงมุมคือ 1 rad/s 2

ให้เราเห็นตรงกันว่ามุมของการหมุนที่นับทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นค่าบวก และมุมที่นับตามเข็มนาฬิกาเป็นค่าลบ

ข้าว. 7.4. เพื่อกำหนดประเภทของการเคลื่อนที่แบบหมุน

และเวกเตอร์คือเวกเตอร์แบบเลื่อนซึ่งกำหนดทิศทางตามแกนของการหมุน ดังนั้นเมื่อมองจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (หรือ ) จะเห็นการหมุนที่เกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกา

หากเวกเตอร์และถูกชี้ไปในทิศทางเดียวกัน (รูปที่ 7.4 เอ) จากนั้นการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย เร่ง - ความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้น หากเวกเตอร์และชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามแสดงว่าการหมุนของร่างกาย ล่าช้า - ความเร็วเชิงมุมลดลง (รูปที่ 7.4, ข).

7.3. กรณีเฉพาะของการเคลื่อนที่แบบหมุน

1. การเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ. ถ้าความเร่งเชิงมุมและด้วยเหตุนี้ความเร็วเชิงมุม

, (7.1)

จากนั้นการเคลื่อนที่แบบหมุนจะเรียกว่าสม่ำเสมอ จากนิพจน์ (7.1) หลังจากแยกตัวแปร เราจะได้

ถ้าเมื่อเปลี่ยนเวลาจาก 0 เป็น tมุมของการหมุนเปลี่ยนจาก φ 0 (มุมเริ่มต้นของการหมุน) เป็น φ จากนั้นจึงรวมสมการภายในขีดจำกัดเหล่านี้:

เราได้สมการการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ

ซึ่งในรูปแบบสุดท้ายจะเขียนดังนี้:

ถ้า แล้ว

ดังนั้น ด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ ความเร็วเชิงมุม

หรือที่.

2. การเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ. ถ้าความเร่งเชิงมุม

(7.2)

จากนั้นการเคลื่อนที่แบบหมุนจะเรียกว่าสม่ำเสมอ โดยการแยกตัวแปรในนิพจน์ (7.2):

และสมมติว่าเมื่อเวลาเปลี่ยนจาก 0 เป็น tความเร็วเชิงมุมได้เปลี่ยนจาก (ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้น) เป็น ลองรวมสมการภายในขีดจำกัดเหล่านี้:

นั่นคือ เราได้สมการ

แสดงค่าของความเร็วเชิงมุม ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง

กฎการเคลื่อนที่ของการหมุนที่แปรผันเท่ากันหรือโดยพิจารณาจากสมการ (7.3):

สมมติว่าในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง tมุมการหมุนแปรผันจาก ถึง ให้เรารวมสมการภายในขอบเขตเหล่านี้:

หรือ

สมการการเคลื่อนที่แบบหมุนตัวแปรเท่ากันในรูปแบบสุดท้าย

(7.4)

เราได้รับสูตรเสริมแรกโดยไม่รวมเวลาจากสูตร (7.3) และ (7.4):

(7.5)

ขจัดความเร่งเชิงมุมจากสูตรเดียวกัน เราได้สูตรเสริมที่สอง:

(7.6)

โดยที่ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยในการเคลื่อนที่แบบหมุนสลับกันสม่ำเสมออยู่ที่ไหน

เมื่อ และ สูตร (7.3)–(7.6) ง่ายขึ้น:

ในกระบวนการออกแบบ การกระจัดเชิงมุมไม่ได้แสดงเป็นเรเดียน แต่แสดงเป็นรอบ

ความเร็วเชิงมุมแสดงเป็นรอบต่อนาทีเรียกว่า ความเร็ว และเขียนว่า น. ให้เราสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง (s –1) และ น(ต่ำสุด –1) ตั้งแต่ จากนั้น ที่ น(ต่ำสุด –1) สำหรับ t= 1 นาที = มุมการหมุน 60 วินาที เพราะฉะนั้น:

ในการเปลี่ยนจากความเร็วเชิงมุม (s –1) เป็นความถี่การหมุน น(นาที –1) เรามี

7.4. ความเร็วและความเร่งของจุดต่างๆ

ร่างกายหมุน

กำหนดความเร็วและความเร่งของจุดใด ๆ ได้ตลอดเวลา เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้เราสร้างความสัมพันธ์ระหว่างค่าเชิงมุม และ การกำหนดลักษณะการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย และค่าเชิงเส้น และ การกำหนดลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ ของร่างกาย

สมมติว่าร่างกายแสดงในรูปที่ 7.5 หมุนตามกฎที่อธิบายไว้ในสมการ จะต้องกำหนดความเร็วและความเร่งของจุด อาวัตถุนี้อยู่ห่างจากแกนหมุน ρ เป็นระยะทาง อู๋. ให้ร่างกายสักครู่ tหมุนผ่านมุม φ และจุด อาเคลื่อนที่เป็นวงกลมจากตำแหน่งเริ่มต้นบางตำแหน่งได้เคลื่อนตัวไปไกลแล้ว เนื่องจากมุม φ แสดงเป็นเรเดียน ดังนั้น

กล่าวคือ ระยะทางที่เดินทางโดยจุดของวัตถุหมุนเป็นสัดส่วนกับมุมการหมุนของวัตถุ ระยะทาง สและมุมของการหมุน φ เป็นฟังก์ชันของเวลา และ ρ เป็นค่าคงที่สำหรับจุดที่กำหนด ขอให้เราแยกแยะความเท่าเทียมกันทั้งสองด้าน (7.7) เกี่ยวกับเวลาและได้รับ

แต่เป็นความเร็วของจุด a คือความเร็วเชิงมุมของร่างกายดังนั้น

กล่าวคือ ความเร็วของจุดของวัตถุหมุนเป็นสัดส่วนกับความเร็วเชิงมุมของมัน

ข้าว. 7.5. เพื่อกำหนดความเร็วและความเร่งของจุด

จากสูตร (7.8) จะเห็นว่าสำหรับจุดที่อยู่บนแกนหมุน ความเร็วของจุดเหล่านี้จะเท่ากับศูนย์ด้วย เช่น ที่จุดที่ไกลจากแกนหมุน ยิ่งเร็ว ยิ่งมาก มีค่ามากขึ้น. การพึ่งพาตามสัดส่วนของความเร็วของจุดต่าง ๆ ของวัตถุหมุนตามระยะทางที่สัมพันธ์กับแกนของการหมุนดังแสดงในรูปที่ 7.6.

ข้าว. 7.6. การกระจายความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็ง

ความแตกต่างของความเท่าเทียมกันทั้งสองด้าน (7.8) เรามี

แต่เป็นความเร่งในแนวสัมผัสของจุด a คือความเร่งเชิงมุมของร่างกาย ดังนั้น

กล่าวคือ ความเร่งในแนวสัมผัสของจุดของวัตถุหมุนเป็นสัดส่วนกับความเร่งเชิงมุมของมัน

แทนค่าความเร็วจากสูตร (7.8) ลงในสูตร จะได้

กล่าวคือ ความเร่งปกติของจุดของวัตถุหมุนเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของความเร็วเชิงมุม

จากสูตร หลังจากแทนที่แทนและค่าจากสูตร (7.9) และ (7.10) เราได้รับ

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่ง เช่น มุม ถูกกำหนดโดยสูตรใดสูตรหนึ่ง และสุดท้ายสามารถแสดงได้ดังนี้:

(7.12)

จากสูตร (7.11) และ (7.12) ตามมาด้วยว่าจุดของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนตามกฎที่กำหนด เราจะหาความเร่งได้ก่อน เอแล้วย่อยสลายเป็นความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งปกติ ซึ่งมีโมดูลัสเป็น

7.5. วิธีการส่งการเคลื่อนที่แบบหมุน

ในเทคโนโลยี มักจะจำเป็นต้องถ่ายโอนการเคลื่อนที่แบบหมุนจากเครื่องหนึ่งไปยังอีกเครื่องหนึ่ง (เช่น จากมอเตอร์ไฟฟ้าไปยังเครื่องมือกล) หรือภายในเครื่องจักรจากชิ้นส่วนที่หมุนหนึ่งไปยังอีกเครื่องหนึ่ง อุปกรณ์กลไกที่ออกแบบมาเพื่อส่งและแปลงการเคลื่อนที่แบบหมุนเรียกว่า การส่งสัญญาณ

บทที่ 8

8.1. การเคลื่อนไหวของจุดที่ซับซ้อน

ตัวอย่างของการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของจุดสามารถ:

ก) เรือ (ถ้าเป็นจุดสำคัญ) ลอยจากฝั่งแม่น้ำหนึ่งไปอีกฝั่งหนึ่ง

b) คนที่เดินบนบันไดเลื่อนของรถไฟใต้ดินที่กำลังเคลื่อนที่ซึ่งทำการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนซึ่งสัมพันธ์กับส่วนโค้งคงที่ของอุโมงค์

ดังนั้น ในการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อน จุดหนึ่ง เคลื่อนที่สัมพันธ์กับตัวกลางวัสดุเคลื่อนที่ ซึ่งเราตกลงจะเรียกว่า ระบบอ้างอิงเคลื่อนที่พร้อมกันไปพร้อมกับกรอบอ้างอิงนี้สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงที่สอง โดยยึดตามเงื่อนไขเป็นแบบคงที่

การเคลื่อนที่ของบางจุด เอ็มเกี่ยวกับกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่เรียกว่า ญาติ. การเคลื่อนที่ของกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ร่วมกับจุดทั้งหมดของสื่อวัสดุที่เกี่ยวข้องกับกรอบอ้างอิงคงที่สำหรับจุดหนึ่ง เอ็มเรียกว่า แบบพกพา การเคลื่อนที่ของจุด เอ็มเกี่ยวกับกรอบอ้างอิงตายตัวเรียกว่า ที่ซับซ้อน หรือ แน่นอน

เพื่อที่จะเห็นการเคลื่อนที่ของจุดที่ซับซ้อน (สัมบูรณ์) ผู้สังเกตเองจะต้องเชื่อมโยงกับกรอบอ้างอิงตายตัว หากผู้สังเกตอยู่ในกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ เขาจะเห็นเพียงส่วนที่สัมพันธ์กันของการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนเท่านั้น

ลองนึกดูว่าประเด็น เอ็มเคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดเคลื่อนที่เป็นระยะเวลาหนึ่ง อู๋ 1 X 1 Y 1 จากตำแหน่งเริ่มต้น เอ็ม 0 ถึงตำแหน่ง เอ็ม 1 ตามวิถี เอ็ม 0 เอ็ม 1 (วิถีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุด) (รูปที่ 8.1) ในช่วงเวลาเดียวกัน . tระบบพิกัดเคลื่อนที่ อู๋ 1 X 1 Y 1 ร่วมกับทุกจุดที่เกี่ยวข้องอย่างสม่ำเสมอ และด้วยเหตุนี้ ร่วมกับวิถีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุด เอ็มย้ายในระบบพิกัดคงที่ OXYสู่ตำแหน่งใหม่:

ข้าว. 8.1. การวิเคราะห์การเคลื่อนที่เชิงซ้อนของจุด

เราแบ่งทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันนี้ตามเวลาของการเคลื่อนที่ Δ t:

และรับผลรวมทางเรขาคณิตของความเร็วเฉลี่ย:

,

ซึ่งกำกับไปตามเวกเตอร์การกระจัดที่สอดคล้องกัน หากตอนนี้เราผ่านไปยังขีด จำกัด ของ แล้วเราจะได้สมการ

แสดงออก ทฤษฎีบทการบวกความเร็ว: ด้วยการเคลื่อนที่ของจุดที่ซับซ้อน ความเร็วสัมบูรณ์ในแต่ละช่วงเวลาจะเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของความเร็วแบบพกพาและความเร็วสัมพัทธ์

หากให้มุมแล้วโมดูลัสของความเร็วสัมบูรณ์

มุมที่เกิดจากเวกเตอร์ความเร็วสัมบูรณ์กับเวกเตอร์และถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทไซน์

ในบางกรณี เมื่อเพิ่มความเร็วเหล่านี้ จะเกิดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (รูปที่ 8.2 เอ) หรือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (รูปที่ 8.2, ข) และดังนั้นจึง,

ข้าว. 8.2. กรณีพิเศษ

8.2. ระนาบ-การเคลื่อนไหวขนานของร่างกาย

การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งซึ่งจุดทั้งหมดของมันเคลื่อนที่ในระนาบขนานกับระนาบคงที่บางอันเรียกว่า เครื่องบินขนาน (รูปที่ 8.3).

ข้าว. 8.3. การเคลื่อนที่ขนานกับระนาบของร่างกายที่แข็งเกร็ง

ศึกษาการเคลื่อนที่ขนานระนาบของร่างกาย เอ็มก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณาการเคลื่อนที่ของส่วนระนาบของมัน qเครื่องบิน XOY(รูปที่ 8.4)

ข้าว. 8.4. การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ขนานระนาบของวัตถุแข็งเกร็ง

มาเลือกกันในหมวด qจุดโดยพลการ อาซึ่งเราจะเรียกเสา มีเสา อาเชื่อมต่อสายบางสาย KLและในส่วนตามแนวเส้นตรง KLมาวาดเซ็กเมนต์กันเถอะ AB, ย้ายส่วนระนาบจากตำแหน่ง qเข้าสู่ตำแหน่ง qหนึ่ง . ก่อนอื่นคุณสามารถย้ายมันพร้อมกับเสา อาแปลแล้วหมุนผ่านมุม φ .

การเคลื่อนที่ขนานกับระนาบของร่างกายเป็นการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนและประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบแปลนพร้อมกับเสาและการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบเสา

กฎของการเคลื่อนที่ขนานระนาบระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการสามสมการ:

ด้วยการแยกสมการการเคลื่อนที่ขนานระนาบที่ให้มา ทำให้สามารถกำหนดความเร็วและความเร่งของขั้วในแต่ละช่วงเวลาได้ เช่นเดียวกับความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของร่างกาย

ตัวอย่าง 8.1ให้การเคลื่อนที่ของล้อกลิ้งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง d(รูปที่ 8.5) ได้จากสมการ

โดยที่คุณคือ m, φ คือ rad t- กับ.

เมื่อแยกสมการเหล่านี้ เราพบว่าความเร็วของขั้ว อู๋ ความเร็วล้อ ความเร่งของขั้วและความเร่งเชิงมุมของล้อในกรณีนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เมื่อทราบความเร็วของเสาและความเร็วเชิงมุมของวัตถุแล้ว คุณจะสามารถกำหนดความเร็วของจุดใดๆ ของเสาได้

ข้าว. 8.5. ตัวอย่างเช่น8.1

8.3. การกำหนดความเร็วของจุดใด ๆ ของร่างกาย

ในการเคลื่อนที่แบบขนานระนาบ

ให้ส่วนเครื่องบินได้รับ qความเร็วเชิงมุมและความเร็วของเสาซึ่ง ณ จุดใดเวลาหนึ่งตามลำดับ และ . จะต้องกำหนดความเร็วของจุดใด ๆ อา(รูปที่ 8.6).

เราแบ่งการเคลื่อนที่แบบขนานระนาบออกเป็นส่วนประกอบ - การแปลและการหมุน ระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลนร่วมกับเสา (การเคลื่อนที่แบบแปลน) ทุกจุดของส่วนและจุด อารวมทั้งมีความเร็วเคลื่อนที่เท่ากับความเร็วของเสา พร้อมกับแปลข้ามมาตรา qทำการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม (การเคลื่อนที่สัมพัทธ์):

ความเร็วสัมพัทธ์ของจุดอยู่ที่ไหน อา ().

ข้าว. 8.6. การกำหนดความเร็วของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบขนานระนาบ

ดังนั้น ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง

กล่าวคือ ความเร็วสัมบูรณ์ของจุดของร่างกายในระหว่างการเคลื่อนที่แบบขนานระนาบเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของความเร็วของเสาและความเร็วสัมพัทธ์ของจุดนี้รอบเสา

โมดูลัสความเร็วสัมบูรณ์สามารถกำหนดได้โดยสูตร

และทิศทาง - โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์ หากทราบทิศทางของความเร็วสัมบูรณ์ โมดูลัสของมันจะง่ายต่อการกำหนดบนพื้นฐานของทฤษฎีบทต่อไปนี้: การคาดคะเนความเร็วของจุดสองจุดของวัตถุแข็งเกร็งบนเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้มีค่าเท่ากัน

สมมติว่ารู้จักความเร็วและคะแนน อาและ วีร่างกายใด ๆ (รูปที่ 8.7) มีจุดเป็นเสา อา, เราได้รับ

ข้าว. 8.7. เวกเตอร์จุดความเร็วรูปเครื่องบิน

ความเร็วสัมพัทธ์ตั้งฉาก AB. ดังนั้น หรือ . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

บทที่ 9

จุดวัสดุ

9.1. แนวคิดพื้นฐานและสัจพจน์ของพลวัต

พลวัตศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้การกระทำของกองกำลัง พลวัตขึ้นอยู่กับสัจพจน์ต่อไปนี้

สัจพจน์ 1 (หลักการของความเฉื่อย). จุดวัสดุที่แยกออกมาจะอยู่ในสภาพนิ่งหรือเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจนกว่าแรงที่กระทำจะดึงออกจากสถานะนี้

สัจพจน์ 2 (กฎพื้นฐานของพลวัต). ความเร่งของจุดวัสดุเป็นสัดส่วนกับแรงกระทำ Fและถูกชี้ไปตามเส้นตรงที่แรงนี้กระทำ (รูปที่ 9.1)

ข้าว. 9.1. สู่กฎพื้นฐานของพลวัต

ในทางคณิตศาสตร์ สัจพจน์ที่สองเขียนโดยเวกเตอร์ความเท่าเทียมกัน

ที่ไหน ม- สัมประสิทธิ์สัดส่วนแสดงการวัดความเฉื่อยของจุดวัสดุและเรียกมันว่า มวล.

วี ระบบสากลหน่วย (SI) มวลแสดงเป็นกิโลกรัม

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าตัวเลข (โมดูล) ของแรงและความเร่งจะแสดงด้วยความเท่าเทียมกัน

วัตถุทั้งหมดที่อยู่ใกล้โลกได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วง จี. ในการตกลงสู่พื้นโลกอย่างอิสระ วัตถุทุกมวลจะมีอัตราเร่งเท่ากัน g, ซึ่งเรียกว่า การเร่งความเร็วการตกอย่างอิสระ สำหรับร่างกายที่ตกลงมาอย่างอิสระ การพึ่งพาอาศัยกันตามสมการก่อนหน้านี้:

ดังนั้น ค่าแรงโน้มถ่วงของวัตถุในหน่วยนิวตันจึงเท่ากับผลคูณของมวลและความเร่งของการตกอย่างอิสระ

สัจพจน์ 3 (กฎความเป็นอิสระของการกระทำของกองกำลัง). หากระบบของแรงถูกนำไปใช้กับจุดวัสดุ แรงแต่ละแรงของระบบจะส่งไปยังจุดที่มีอัตราเร่งเดียวกันกับที่แรงจะมอบให้หากกระทำโดยลำพัง

จุดวัตถุซึ่งการเคลื่อนที่ในอวกาศไม่ได้ถูก จำกัด ด้วยข้อ จำกัด ใด ๆ เรียกว่า ฟรี. ตัวอย่างของจุดวัสดุอิสระคือดาวเทียม Earth เทียมในอวกาศใกล้โลกหรือเครื่องบินที่บินได้ การเคลื่อนไหวของพวกเขาในอวกาศไม่ได้ถูก จำกัด ด้วยสิ่งใด ดังนั้นนักบินบนเครื่องบินกีฬาจึงสามารถเล่นไม้ลอยที่ซับซ้อนต่างๆได้

งานของไดนามิกลดลงเหลือสองงานหลัก:

1) กฎการเคลื่อนที่ของจุดถูกกำหนดขึ้นเพื่อกำหนดแรงหรือระบบของแรงที่กระทำต่อมัน (ภารกิจแรกของพลวัต)

2) ระบบของแรงที่กระทำต่อจุดนั้นจำเป็นต้องกำหนดกฎการเคลื่อนที่ (ปัญหาที่สองของพลวัต)

ปัญหาของไดนามิกทั้งสองได้รับการแก้ไขโดยใช้กฎพื้นฐานของไดนามิก เขียนในรูปแบบ หรือ .

จุดที่เป็นวัตถุ เสรีภาพในการเคลื่อนไหวซึ่งถูกจำกัดด้วยข้อจำกัดที่ซ้อนทับเรียกว่า ไม่ฟรี. ตัวอย่างของจุดที่ไม่มีวัสดุคือรถรางที่เคลื่อนที่ไปตามราง หากเราละเลยรูปร่างและขนาดของราง สำหรับจุดวัสดุที่ไม่มีจุดว่าง แรงภายนอกทั้งหมดจะต้องแบ่งออกเป็นสองประเภท: แรงแอคทีฟ (ขับเคลื่อน) และปฏิกิริยาคัปปลิ้ง (แรงเฉื่อย)ในเรื่องนี้ งานแรกของไดนามิกของจุดที่ไม่ว่างจะลดลงเพื่อกำหนดปฏิกิริยาของข้อจำกัด หากกำหนดกฎการเคลื่อนที่ของจุดและแรงกระทำที่กระทำต่อจุดนั้น งานที่สองของพลศาสตร์คือการกำหนด โดยรู้ว่าแรงกระทำที่กระทำต่อจุดนั้น ประการแรก กฎการเคลื่อนที่ของจุด และประการที่สอง ปฏิกิริยาของพันธะ

หากจุดวัสดุที่ไม่เกิดภาวะอิสระเป็นอิสระจากพันธะและพันธะถูกแทนที่ด้วยปฏิกิริยา การเคลื่อนที่ของจุดนั้นถือได้ว่าเป็นอิสระ และกฎพื้นฐานของไดนามิกสามารถกำหนดได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

,

กองกำลังปฏิบัติการอยู่ที่ไหน

– ปฏิกิริยาพันธะ;

มคือมวลของจุด

- ความเร่งของจุดที่ได้รับจากการกระทำของแรงภายนอก (แอคทีฟและพาสซีฟ)

9.3. แรงเฉื่อย

แรงที่เป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของมวลของจุดวัสดุและความเร่งที่ได้มาและมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับความเร่งเรียกว่า แรงเฉื่อย (รูปที่ 9.3):

ข้าว. 9.3. แรงเฉื่อย

แรงเฉื่อยไม่ได้ถูกนำไปใช้กับจุดวัสดุเร่ง แต่กระทำกับจุดหรือวัตถุที่ให้ความเร่งมาถึงจุดนี้

มาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างบางส่วน

ภาระหนักมวลซึ่ง มห้อยอยู่บนที่เปราะบางแต่ทนต่อความตึงเครียดได้ R=Gเธรด (รูปที่ 9.4, เอ). หากคุณดึงด้ายในแนวตั้งขึ้นอย่างรวดเร็ว ด้ายอาจขาดได้ (รูปที่ 9.4 ข). แรงเฉื่อยเพิ่มเติมเริ่มทำปฏิกิริยากับเกลียว เท่ากับตัวเลข ตรงข้ามกับการออกจากโหลดจากสถานะของความเฉื่อย (รูปที่ 9.4, วี). เกลียวยังสามารถหักได้หากโหลดที่ถูกระงับถูกผลักไปในแนวนอน ทำให้เกิดการแกว่งบนเกลียว (รูปที่ 9.4 จี).

ด้วยการเคลื่อนที่แบบโค้งของจุดวัสดุ (รูปที่ 9.5) จุดดังกล่าวมีความเร่ง ซึ่งมักจะแทนที่ด้วยความเร่งสององค์ประกอบ: (ความเร่งปกติ) และ (ความเร่งในแนวดิ่ง) ดังนั้น ระหว่างการเคลื่อนที่แบบโค้งของจุดวัสดุ แรงเฉื่อยจึงเกิดขึ้นสององค์ประกอบ: แรงปกติ (มิฉะนั้น แรงเหวี่ยง) ของความเฉื่อย

และ แรงสัมผัส (มิฉะนั้นสัมผัส) แรงเฉื่อย

เอบีซีดี

ข้าว. 9.4. เพื่อวิเคราะห์การกระทำของแรงเฉื่อย

ข้าว. 9.5. เวกเตอร์ความเร่งและแรงเฉื่อย

9.4. หลักการ d'Alembert

แรงเฉื่อยถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณและการแก้ปัญหาทางเทคนิค และการใช้แรงเฉื่อยช่วยให้สามารถแก้ปัญหาต่างๆ ได้ ซึ่งพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุที่ไม่มีจุดว่าง ให้ลดลงเป็นสมการของสถิตย์ที่คุ้นเคย เรา:

การใช้แรงเฉื่อยแบบมีเงื่อนไขกับจุดวัสดุเคลื่อนที่ เราสามารถสรุปได้ว่าแรงกระทำ ปฏิกิริยาของพันธะ และแรงเฉื่อยสร้างระบบที่สมดุล ( หลักการของ d'Alembert).

การแก้ปัญหาไดนามิกโดยใช้หลักการ d'Alembert บางครั้งเรียกว่า วิธีการทางจลนศาสตร์

บทที่ 10