La rezolvarea diferitelor tipuri de probleme, atât de natură pur matematică, cât și aplicată (în special în construcții), este adesea necesară determinarea valorii înălțimii unei anumite figuri geometrice. Cum se calculează această valoare (înălțime) într-un triunghi?

Dacă combinăm 3 puncte în perechi care nu sunt situate pe o singură linie dreaptă, atunci figura rezultată va fi un triunghi. Înălțimea este partea unei linii drepte de la orice vârf al unei figuri care, atunci când se intersectează cu latura opusă, formează un unghi de 90°.

Aflați înălțimea unui triunghi scalen

Să determinăm valoarea înălțimii unui triunghi în cazul în care figura are unghiuri și laturi arbitrare.

Formula lui Heron

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, unde

p – jumătate din perimetrul figurii, h(a) – un segment pe latura a, desenat în unghi drept față de acesta,

p=(a+b+c)/2 – calculul semiperimetrului.

Dacă există o zonă a figurii, puteți utiliza relația h(a)=2S/a pentru a determina înălțimea acesteia.

Funcții trigonometrice

Pentru a determina lungimea unui segment care formează un unghi drept atunci când se intersectează cu latura a, puteți utiliza următoarele relații: dacă sunt cunoscute latura b și unghiul γ sau latura c și unghiul β, atunci h(a)=b*sinγ sau h(a)=c *sinβ.
Unde:
γ – unghiul dintre latura b și a,
β este unghiul dintre latura c și a.

Relația cu raza

Dacă triunghiul original este înscris într-un cerc, puteți utiliza raza unui astfel de cerc pentru a determina înălțimea. Centrul său este situat în punctul în care toate cele 3 înălțimi se intersectează (de la fiecare vârf) - ortocentrul, iar distanța de la acesta până la vârf (oricare) este raza.

Atunci h(a)=bc/2R, unde:
b, c – alte 2 laturi ale triunghiului,
R este raza cercului care circumscrie triunghiul.

Găsiți înălțimea într-un triunghi dreptunghic

În acest tip de figură geometrică, 2 laturi, atunci când se intersectează, formează un unghi drept - 90°. Prin urmare, dacă doriți să determinați valoarea înălțimii în ea, atunci trebuie să calculați fie dimensiunea unuia dintre picioare, fie dimensiunea segmentului care formează 90° cu ipotenuza. La desemnarea:
a, b – picioare,
c – ipotenuza,
h(c) – perpendicular pe ipotenuză.
Puteți face calculele necesare folosind următoarele relații:

• Teorema lui Pitagora:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, deoarece S=ab/2, apoi h(c)=ab/c.

• Funcții trigonometrice:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Aflați înălțimea unui triunghi isoscel

Această figură geometrică se distinge prin prezența a două laturi de dimensiuni egale și a treia - baza. Pentru a determina înălțimea trasă pe a treia latură distinctă, teorema lui Pitagora vine în ajutor. Cu notație
a - partea,
c – baza,
h(c) este un segment la c la un unghi de 90°, atunci h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Teorema altitudinii triunghiului dreptunghic

Dacă altitudinea într-un triunghi dreptunghic ABC de lungime , trasă din vârful unghiului drept, împarte ipotenuza de lungime și în segmente și corespunzătoare catetelor și , atunci sunt adevărate următoarele egalități:

·

·

Proprietățile bazelor altitudinilor unui triunghi

· Motiveînălțimile formează un așa-numit ortotriunghi, care are propriile sale proprietăți.

· Cercul circumscris unui ortotriunghi este cercul Euler. Acest cerc conține, de asemenea, trei puncte medii ale laturilor triunghiului și trei puncte medii ale trei segmente care leagă ortocentrul cu vârfurile triunghiului.

O altă formulare a ultimei proprietăți:

· Teorema lui Euler pentru cercul în nouă puncte.

Motive Trei înălțimi triunghi arbitrar, punctele mijlocii ale celor trei laturi ale sale ( fundamentele sale interne mediane) și punctele medii ale trei segmente care leagă vârfurile sale de ortocentrul, toate se află pe același cerc (pe cerc de nouă puncte).

· Teorema. În orice triunghi, segmentul care se leagă temeiuri Două înălțimi triunghi, taie un triunghi similar cu cel dat.

· Teorema. Într-un triunghi, segmentul care se leagă temeiuri Două înălțimi triunghiuri situate pe două laturi antiparalel unui terț cu care nu are niciun punct comun. Un cerc poate fi întotdeauna trasat prin cele două capete ale sale, precum și prin cele două vârfuri ale celei de-a treia laturi menționate.

Alte proprietăți ale altitudinilor triunghiului

· Dacă triunghiul versatil (scalen), atunci acesta intern bisectoarea trasă din orice vârf se află între intern mediana și înălțimea trase din același vârf.

Înălțimea unui triunghi este conjugată izogonal cu diametrul (raza) circumcerc, desenat din același vârf.

· Într-un triunghi ascuțit sunt două înălțimi tăiați din el triunghiuri similare.

· Într-un triunghi dreptunghic înălţime, desenat din vârful unui unghi drept, îl împarte în două triunghiuri asemănătoare celui original.

Proprietăți ale altitudinii minime a unui triunghi

Altitudinea minimă a unui triunghi are multe proprietăți extreme. De exemplu:

· Proiecția ortogonală minimă a unui triunghi pe linii situate în planul triunghiului are o lungime egală cu cea mai mică dintre altitudinile sale.

· Tăierea dreaptă minimă în planul prin care poate fi trasă o placă triunghiulară rigidă trebuie să aibă o lungime egală cu cea mai mică dintre înălțimile acestei plăci.

· Când două puncte se deplasează continuu de-a lungul perimetrului unui triunghi unul spre celălalt, distanța maximă dintre ele în timpul deplasării de la prima întâlnire la a doua nu poate fi mai mică decât lungimea celei mai mici înălțimi a triunghiului.

· Înălțimea minimă într-un triunghi se află întotdeauna în interiorul acelui triunghi.

Relații de bază

· unde este aria triunghiului, este lungimea laturii triunghiului cu care este coborâtă înălțimea.

· unde este produsul laturilor, raza cercului circumscris

· ,

unde este raza cercului înscris.

Unde este aria triunghiului.

unde este latura triunghiului la care coboară înălțimea.

· Înălțimea unui triunghi isoscel coborât până la bază:

unde este baza.

· - înălțimea într-un triunghi echilateral.

Mediane și altitudini într-un triunghi echilateral

Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate triunghi. Și în triunghiurile echilaterale, medianele și altitudinile sunt același lucru.

Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. Să notăm cu litera O punctul de intersecție al medianelor sale AA1 și BB1 și să trasăm linia mediană A1B1 a acestui triunghi. Medianele triunghiului se intersectează într-un punct. Segmentul A1B1 este paralel cu latura AB , precum și unghiurile 3 și 4 sunt egale ca unghiuri transversale la intersecția dreptelor paralele AB și A1B1 prin secantele AA1 și BB1. Prin urmare, triunghiurile AOB și A1OB1 sunt similare în două unghiuri și, prin urmare, laturile lor sunt proporționale: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. Dar AB=2⋅A1B1, deci AO=2⋅A1O și BO=2⋅B1O. Astfel, punctul de intersecție O al medianelor AA1 și BB1 împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Se dovedește în mod similar că punctul de intersecție al medianelor BB1 și CC1 împarte fiecare dintre ele în raport 2:1 numărând de la vârf și, prin urmare, coincide cu punctul O. Astfel, toate cele trei mediane ale triunghiului ABC se intersectează în punctul O. și sunt împărțite la acesta în raportul 2: 1, numărând de sus.

Teorema a fost demonstrată.

Să ne imaginăm că la vârfurile unghiului m₁=1, atunci în punctele A₁,B₁,C₁, m₂=2, deoarece acestea sunt punctele mijlocii ale laturilor. Și aici puteți observa că segmentele AA₁,BB₁,CC₁, care se intersectează într-un punct, sunt similare cu pârghiile cu punct de sprijin O, unde AO-l₁ și OA₁-l₂ (umeri). Și conform formulei fizice F₁/F₂=l₁/l₂, unde F=m*g, unde g-const, și se reduce în consecință, rezultă m₁/m₂=l₁/l₂ adică. ½=1/2.

Teorema a fost demonstrată.

Ortotriunghi

Proprietăți:

· Trei altitudini ale unui triunghi se intersectează într-un punct, acest punct se numește ortocentru

· Două laturi adiacente ale unui ortotriunghi formează unghiuri egale cu latura corespunzătoare a triunghiului original

Altitudinile unui triunghi sunt bisectoarele unui ortotriunghi

· Un ortotriunghi este triunghiul cu cel mai mic perimetru care poate fi înscris într-un triunghi dat (problema Fagnano)

· Perimetrul unui ortotriunghi este egal cu dublul produsului dintre înălțimea triunghiului și sinusul unghiului din care provine.

· Dacă punctele A 1 , B 1 și C 1 de pe laturile BC, AC și respectiv AB ale triunghiului ascuțit ABC sunt astfel încât

atunci este un ortotriunghi al triunghiului ABC.

Ortotriunghiul taie triunghiuri similare cu acesta

Teoremă asupra proprietății bisectoarelor unui ortotriunghi

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-bisectoare ∟B₁C₁A

AA₁-bisectoare ∟B₁A₁C₁

BB₁-bisectoare ∟A₁B₁C₁

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Proprietăți

• Altitudinile unui triunghi se intersectează într-un punct, numit ortocentru. - Această afirmație este ușor de demonstrat folosind o identitate vectorială care este valabilă pentru orice puncte A, B, C, E, nu neapărat chiar și pentru cele aflate în același plan:

(Pentru a dovedi identitatea, ar trebui să utilizați formulele

Punctul E ar trebui luat ca intersecția a două altitudini ale triunghiului.)

• Într-un triunghi dreptunghic, altitudinea trasată de la vârful unghiului drept îl împarte în două triunghiuri asemănătoare cu cel original.
• Într-un triunghi ascuțit, cele două altitudini ale sale decupează triunghiuri similare de el.
• Bazele înălțimilor formează un așa-numit ortotriunghi, care are proprietăți proprii.

Altitudinea minimă a unui triunghi are multe proprietăți extreme. De exemplu:

• Proiecția ortogonală minimă a unui triunghi pe linii situate în planul triunghiului are o lungime egală cu cea mai mică dintre altitudinile sale.

• Tăierea dreaptă minimă într-un plan prin care poate fi trasă o placă triunghiulară rigidă trebuie să aibă o lungime egală cu cea mai mică dintre înălțimile acestei plăci.

• Cu mișcarea continuă a două puncte de-a lungul perimetrului triunghiului unul spre celălalt, distanța maximă dintre ele în timpul deplasării de la prima întâlnire la a doua nu poate fi mai mică decât lungimea celei mai mici înălțimi a triunghiului.

Înălțimea minimă dintr-un triunghi se află întotdeauna în acel triunghi.

Relații de bază

unde este aria triunghiului, este lungimea laturii triunghiului cu care este coborâtă înălțimea.

unde este baza.

Teorema altitudinii triunghiului dreptunghic

Dacă o înălțime de lungime h desenată din vârful unui unghi drept împarte ipotenuza de lungime c în segmente m și n corespunzătoare lui b și a, atunci următoarele egalități sunt adevărate:

Poezie mnemonică

Vezi si

Legături

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce înseamnă „Înălțimea unui triunghi” în alte dicționare:

HEIGHT, înălțimi, plural. înălțimi, înălțimi, femei 1. numai unități Extensie de jos în sus, înălțime. Înălțimea casei. Turn de mare înălțime. || (pl. numai special științific). Distanța de la suprafața pământului, măsurată de-a lungul unei linii verticale de jos în sus. Avionul zbura... Dicționarul explicativ al lui Ușakov

Acest termen are alte semnificații, vezi Înălțime (sensuri). Înălțimea în geometria elementară este un segment perpendicular coborât de la vârful unei figuri geometrice (de exemplu, un triunghi, o piramidă, un con) până la bază sau până la ... ... Wikipedia

înălţime- ы/; pl. înălţime; și. Vezi si high-rise, high-rise 1) Mărime, lungime a ceva. de jos în sus, de jos în sus. Înălțimea/ a unei case, copac, munte. Înălțime/ valuri. Barajul are o sută cinci picioare înălțime... Dicționar cu multe expresii

Y; pl. înălțimi; și. 1. Dimensiunea, lungimea a ceva. de jos în sus, de jos în sus. V. case, copaci, munți. V. valuri. Barajul are o sută cincizeci de metri înălțime. Măsurați, determinați înălțimea a ceva. 2. Distanța de la care l. suprafata spre...... Dicţionar enciclopedic

înălțimea triunghiului original al firului- (H) Distanța dintre vârful și baza triunghiului original al filetului într-o direcție perpendiculară pe axa filetului. [GOST 11708 82 (ST SEV 2631 80)] Subiecte ale standardului de interschimbabilitate Termeni generali elemente de bază și parametri filet EN ... ... Ghidul tehnic al traducătorului

Înălțimea este dimensiunea sau distanța în direcția verticală. Alte semnificații: În astronomie: Înălțimea luminii este unghiul dintre planul orizontului matematic și direcția către luminare. În afacerile militare: Înălțimea este cota reliefului. În... ... Wikipedia

ÎNĂLȚIE, în geometrie, un segment perpendicular coborât din vârful unei figuri geometrice (de exemplu, triunghi, piramidă, con) până la baza sa (sau continuarea bazei), precum și lungimea acestui segment. Înălțimea unei prisme, a unui cilindru, a stratului sferic și... ... Dicţionar enciclopedic

În geometrie, un segment perpendicular desenat de la vârful unei figuri geometrice (de exemplu, triunghi, piramidă, con) la baza sa (sau continuarea bazei), precum și lungimea acestui segment. Înălțimea prismei, cilindrului, stratului sferic, precum și... ... Dicţionar enciclopedic mare

Înălțime, s, plural. de la, de la, de la, neveste. 1. Dimensiunea, lungimea a ceva. de jos în sus. B. zidărie. V. surf. V. ciclon. 2. Spațiu, distanță de la sol în sus. Priveşte în sus. Avionul câștigă altitudine. Zboara catre... ... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

Înălțimea în geometrie, un segment perpendicular coborât din vârful unei figuri geometrice (de exemplu, un triunghi, piramidă, con) până la baza sau continuarea bazei, precum și lungimea acestui segment. B. prismă, cilindru, strat sferic,... ... Marea Enciclopedie Sovietică