記事の内容

微分方程式。特定の現象を支配する多くの物理法則は、特定の数量間の特定の関係を表す数式の形で記述されます。 時間の経過とともに変化する量の関係についてよく話題になります。たとえば、車が 1 リットルの燃料で走行できる距離で測定されるエンジン効率は、車の速度に依存します。 対応する方程式には 1 つ以上の関数とその導関数が含まれており、微分方程式と呼ばれます。 (時間の経過に伴う距離の変化率は速度によって決まります。したがって、速度は距離の微分値です。同様に、加速度は時間の経過に伴う速度の変化率を決定するため、加速度は速度の微分値です。) 微分の重要性数学、特にその応用のための方程式は、多くの物理的および技術的問題の研究は結局、そのような方程式を解くことに帰結するという事実によって説明されます。 微分方程式は、生物学、経済学、電気工学などの他の科学でも重要な役割を果たします。 実際、それらは現象の定量的 (数値的) 説明が必要なところならどこでも (周囲の世界が時間の経過とともに変化し、ある場所から別の場所へ状況が変化する限り) 発生します。

例。

次の例は、さまざまな問題が微分方程式の言語でどのように定式化されるかをよりよく理解するのに役立ちます。

1) 一部の放射性物質の崩壊の法則は、崩壊速度がその物質の利用可能な量に比例するというものです。 もし バツ– 特定の時点での物質の量 tとすると、この法則は次のように書くことができます。

どこ DX/dtは減衰率、そして k– 特定の物質を特徴付ける正の定数。 (右側のマイナス記号は、 バツ時間の経過とともに減少します。 プラス記号は、記号が明示的に指定されていない場合に常に暗黙的に示され、次のことを意味します。 バツ時間の経過とともに増加します。）

2) 容器には最初、100 m 3 の水に溶解した 10 kg の塩が入っています。 純水を毎分 1 m 3 の速度で容器に注ぎ、溶液と均一に混合し、得られた溶液が同じ速度で容器から流出した場合、その後の一定時間で容器内に含まれる塩の量はどれくらいになりますか?時間？ もし バツ– 一度に容器に入れる塩の量（kg） t、その後はいつでも t容器内の溶液 1 m 3 には次のものが含まれます。 バツ/塩100kg; したがって、塩分の量は一定の割合で減少します バツ/100kg/分、または

3) 体にしこりがあるようにする メートルばねの端から吊り下げられると、ばねの張力量に比例して復元力が働きます。 させて バツ– 平衡位置からの身体のずれの量。 次に、ニュートンの第 2 法則によれば、加速度 (の 2 階導関数) バツ時間指定、指定された d 2 バツ/dt 2) 力に比例:

右側は復元力によりバネの伸びが減少するため、マイナス記号が付きます。

4) 身体冷却の法則は、身体と環境の温度差に比例して体内の熱量が減少するというものです。 温度が20℃の部屋に、90℃に加熱されたコーヒーが入っているとすると、

どこ T– その時のコーヒー温度 t.

5) ブレフスク州外務大臣は、リリパットが採用した兵器計画により、同国は可能な限り軍事支出を増加するよう強いられていると主張している。 リリパット外務大臣も同様の発言をしている。 結果として生じる状況は (最も単純な解釈では) 2 つの微分方程式で正確に説明できます。 させて バツそして y- リリパットとブレファスクの武装のための費用。 リリパットがブレフスクの軍需支出の増加率に比例して軍需支出を増加し、またその逆も同様であると仮定すると、次のようになります。

メンバーはどこにいるのか 斧そして - による各国の軍事支出を説明し、 kそして 私は正の定数です。 (この問題は、1939 年に L. Richardson によって初めてこの方法で定式化されました。)

問題が微分方程式の言語で書かれた後、それを解いてみる必要があります。 変化率が方程式に含まれる量を見つけます。 解決策が明示的な公式の形で見つかることもありますが、多くの場合、解決策は近似的な形式でしか提示されないか、または解決策に関する定性的な情報が得られます。 解決策を見つけることはおろか、解決策が存在するかどうかを判断することさえ難しい場合があります。 微分方程式の理論の重要な部分は、いわゆる「存在定理」で構成され、1 つまたは別のタイプの微分方程式の解の存在が証明されます。

物理的問題の元の数学的定式化には、通常、単純化するための仮定が含まれています。 合理性の基準は、数学的解と入手可能な観察との一貫性の度合いである可能性があります。

微分方程式の解。

たとえば微分方程式 ダイ/DX = バツ/y、数値ではなく関数によって満たされます。この特定の場合、任意の点、たとえば座標 (2,3) の点でのグラフの接線の角度係数が、座標 (この例では 2/3)。 多数の点を作成し、それぞれの点から対応する傾きを持つ短いセグメントをプロットすると、これを簡単に検証できます。 解は、グラフがその各点を対応するセグメントに接触させる関数になります。 十分な点とセグメントがあれば、解曲線の経路をおおよそ描くことができます (図 1 には、そのような曲線が 3 つ示されています)。 各点を通過する解曲線が 1 つだけあります。 y No. 0. 個々の解は微分方程式の部分解と呼ばれます。 すべての特定の解 (いくつかの特殊な解を除く) を含む式を見つけることができれば、一般的な解が得られたと言います。 特定のソリューションは 1 つの機能を表しますが、一般的なソリューションはそれらのファミリー全体を表します。 微分方程式を解くということは、その特定の解または一般的な解を見つけることを意味します。 私たちが検討している例では、一般的な解は次の形式になります。 y 2 – バツ 2 = c、 どこ c- いずれかの番号; 点 (1,1) を通過する特定の解は次の形式になります。 y = バツそしてそれが判明したとき c= 0; 点 (2,1) を通過する特定の解は次の形式になります。 y 2 – バツ 2 = 3。たとえば、解曲線が点 (2,1) を通過することを必要とする条件は、初期条件と呼ばれます (解曲線上の開始点を指定するため)。

例 (1) では、一般解は次の形式であることがわかります。 バツ = CE –kt、 どこ c– たとえば、物質の量を示すことによって決定できる定数。 t= 0。例 (2) の方程式は、例 (1) の方程式の特殊なケースであり、次のようになります。 k= 1/100。 初期状態 バツ= 10時 t= 0 は特定の解を与えます バツ = 10e –t/100 。 例 (4) の方程式には一般的な解があります。 T = 70 + CE –ktおよびプライベート ソリューション 70 + 130 – kt; 値を決定する k、追加のデータが必要です。

微分方程式 ダイ/DX = バツ/yは、一次導関数を含むため、一次方程式と呼ばれます (微分方程式の次数は、通常、微分方程式に含まれる最も高い導関数の次数であると考えられます)。 実際に生じるほとんどの (すべてではありませんが) 第 1 種微分方程式では、各点を通過する解曲線は 1 つだけです。

一次微分方程式には、べき乗、指数、対数、サイン、コサインなどの初等関数のみを含む式の形式で解くことができる重要なタイプがいくつかあります。 このような方程式には次のようなものがあります。

分離可能な変数を含む方程式。

次の形式の方程式 ダイ/DX = f(バツ)/g(y）を微分で書くと解けます。 g(y)ダイ = f(バツ)DXそして両方の部分を統合します。 最悪の場合、解は既知の関数の積分の形式で表すことができます。 たとえば、次の方程式の場合、 ダイ/DX = バツ/y我々は持っています f(バツ) = バツ, g(y) = y。 フォームに書き込むことで イディ = xdx統合すると、次のようになります y 2 = バツ 2 + c。 分離可能な変数を含む方程式には、例 (1)、(2)、(4) からの方程式が含まれます (これらは上記の方法で解くことができます)。

総微分の方程式。

微分方程式が次の形式を持つ場合、 ダイ/DX = M(バツ,y)/N(バツ,y）、 どこ Mそして Nが 2 つの与えられた関数である場合、次のように表すことができます。 M(バツ,y)DX – N(バツ,y)ダイ= 0. 左辺が何らかの関数の微分である場合 F(バツ,y)、微分方程式は次のように書くことができます。 DF(バツ,y) = 0、これは次の方程式と等価です。 F(バツ,y) = 定数。 したがって、方程式の解曲線は、関数の「一定レベルの線」、または方程式を満たす点の軌跡です。 F(バツ,y) = c。 方程式 イディ = xdx(図 1) - 分離可能な変数と同じ - 総微分: 後者を確認するために、次の形式で書きます。 イディ – xdx= 0、つまり d(y 2 – バツ 2) = 0. 関数 F(バツ,y) この場合、 (1/2)( y 2 – バツ 2); その一定レベルの線の一部を図に示します。 1.

一次方程式。

線形方程式は「一次」の方程式です。未知の関数とその導関数は、そのような方程式には一次までしか現れません。 したがって、一次線形微分方程式は次の形式になります。 ダイ/DX + p(バツ) = q(バツ）、 どこ p(バツ） そして q(バツ) – のみに依存する関数 バツ。 その解は、既知の関数の積分を使用して常に記述することができます。 他の多くの種類の一次微分方程式は、特別な手法を使用して解かれます。

高次の方程式。

物理学者が遭遇する多くの微分方程式は 2 次方程式 (つまり、2 次導関数を含む方程式) です。たとえば、例 (3) の単振動方程式がこれに該当します。 MD 2 バツ/dt 2 = –kx。 一般に、2 次方程式には 2 つの条件を満たす部分解があると予想できます。 たとえば、解曲線が指定された点を指定された方向に通過することが必要な場合があります。 微分方程式に特定のパラメータ（状況によって値が異なる数値）が含まれる場合、必要なタイプの解は、このパラメータの特定の値に対してのみ存在します。 たとえば、次の方程式を考えてみましょう。 MD 2 バツ/dt 2 = –kxそして私たちはそれを要求します y(0) = y(1) = 0. 機能 yє 0 は明らかに解ですが、それが整数の倍数の場合 p、つまり k = メートル 2 n 2 p 2、どこで nは整数ですが、実際にはこの場合にのみ、他の解決策があります。 y= 罪 npx。 方程式に特別な解があるパラメータ値は、特性値または固有値と呼ばれます。 彼らは多くのタスクにおいて重要な役割を果たします。

単振動の方程式は、重要なクラスの方程式、つまり係数が一定の線形微分方程式の一例です。 より一般的な例 (これも二次) は次の方程式です。

どこ あるそして b– 与えられた定数、 f(バツ) は与えられた関数です。 このような方程式は、ラプラス積分変換など、さまざまな方法で解くことができます。 係数が一定の高次の線形方程式についても同じことが言えます。 可変係数を含む一次方程式も重要な役割を果たします。

非線形微分方程式。

未知の関数と、最初の関数よりも高い累乗またはより複雑な方法での導関数を含む方程式は、非線形と呼ばれます。 近年、ますます注目を集めています。 実際のところ、物理方程式は通常、一次近似に対してのみ線形です。 さらに正確な研究を行うには、原則として、非線形方程式を使用する必要があります。 さらに、多くの問題は本質的に非線形です。 非線形方程式の解は多くの場合非常に複雑で、単純な式で表すのが難しいため、現代理論の重要な部分はその挙動の定性的分析に当てられています。 方程式を解くことなく、全体としての解の性質について重要なことを言うことを可能にする方法の開発。たとえば、解はすべて制限されている、周期的な性質を持っている、または特定の方法で依存している、などです。係数。

微分方程式の近似解は数値的に求めることができますが、これには多くの時間がかかります。 高速コンピュータの出現により、この時間が大幅に短縮され、以前は解決できなかった多くの問題を数値的に解決できる新たな可能性が開かれました。

存在定理。

存在定理とは、特定の条件下で、与えられた微分方程式には解があるという定理です。 微分方程式には、解が存在しないか、予想以上に解が存在するものがあります。 存在定理の目的は、与えられた方程式に実際に解があることを確信させることであり、ほとんどの場合、必要なタイプの解が 1 つだけ存在することを保証することです。 たとえば、すでに遭遇した方程式 ダイ/DX = –2y平面の各点を通過する解が 1 つだけあります ( バツ,y）、そのような解をすでに 1 つ見つけているので、この方程式を完全に解くことができます。 一方、方程式 ( ダイ/DX) 2 = 1 – y 2には多くの解決策があります。 その中にはストレートもいます y = 1, y= –1 および曲線 y= 罪( バツ + c）。 ソリューションは、接点で互いに交わるこれらの直線と曲線のいくつかのセグメントで構成されている可能性があります (図 2)。

偏微分方程式。

常微分方程式は、1 つの変数の未知の関数の導関数に関するステートメントです。 偏微分方程式には、2 つ以上の変数の関数と、少なくとも 2 つの異なる変数に関するその関数の導関数が含まれます。

物理学では、そのような方程式の例はラプラス方程式です。

バツ、 y) 値が円の内側にある場合 あなた境界円の各点で指定されます。 物理学において複数の変数を伴う問題は例外ではなく規則であるため、偏微分方程式理論の主題がいかに広大であるかは容易に想像できます。

一階微分方程式。 解決策の例。
分離可能な変数を含む微分方程式

微分方程式 (DE)。 この 2 つの言葉は通常、普通の人を怖がらせます。 微分方程式は多くの学生にとって法外で習得が難しいもののように思えます。 うううう...微分方程式、どうやってこれを乗り切ることができますか?!

この意見と態度は根本的に間違っています。 微分方程式 - シンプルでありながら楽しい。 微分方程式の解き方を学ぶためには何を知り、何ができるようになる必要がありますか? びまん性疾患をうまく研究するには、統合と微分が得意でなければなりません。 トピックがよく研究されるほど 1 変数の関数の導関数そして 不定積分, 微分方程式を理解するのが容易になります。 さらに言っておきますが、多かれ少なかれまともな統合スキルをお持ちであれば、このトピックはほぼマスターされているはずです。 さまざまな種類の積分を解くことができるほど、より良い結果が得られます。 なぜ？ 多くのことを統合する必要があります。 そして区別してください。 また 強くお勧めします見つけることを学びます。

95% の場合、試験用紙には 3 種類の一次微分方程式が含まれています。 可分方程式これについてはこのレッスンで見ていきます。 同次方程式そして 線形不均一方程式。 ディフューザーの研究を始めている方には、まさにこの順序でレッスンを読むことをお勧めします。最初の 2 つの記事を学習した後、追加のワークショップでスキルを固めても問題ありません。 等式に還元する方程式.

さらにまれなタイプの微分方程式もあります。それは、全微分方程式、ベルヌーイ方程式、その他です。 最後の 2 つのタイプのうち最も重要なのは、全微分方程式です。この微分方程式に加えて、新しい材料を検討しているためです。 部分的な統合.

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ランドマークが設定されました - さあ、行きましょう:

まず、通常の代数方程式を思い出しましょう。 変数と数値が含まれています。 最も単純な例: 。 常方程式を解くとはどういう意味ですか? これは見つけることを意味します 数字のセット、この式を満たします。 子の方程式には根が 1 つあることが簡単にわかります。 楽しみのために、見つかった根を確認して方程式に代入してみましょう。

– 正しい等価性が得られました。これは、解が正しく見つかったことを意味します。

ディフューザーもほぼ同じように設計されています。

微分方程式 最初の注文一般的に 含まれています:
1) 独立変数。
2) 従属変数 (関数)。
3) 関数の一次導関数: 。

一部の 1 次方程式では「x」や「y」が存在しない場合がありますが、これは重要ではありません - 重要制御室に行く だった一次導関数、および 持っていなかった高次の微分 – など

どういう意味ですか？微分方程式を解くということは、 すべての機能のセット、この式を満たします。 このような関数のセットは、多くの場合、次のような形式 (- 任意の定数) を持ちます。 微分方程式の一般解.

例1

微分方程式を解く

弾薬全弾。 どこから始めるべきか 解決?

まず、導関数を少し異なる形式で書き直す必要があります。 皆さんの多くはおそらく馬鹿げていて不必要だと思われたであろう、この面倒な指定を思い出します。 これがディフューザーのルールです。

2 番目のステップでは、それが可能かどうかを見てみましょう 別々の変数？変数を分離するとはどういう意味ですか? 大ざっぱに言えば、 左側に私たちは出発する必要があります 「ギリシャ人」だけ、A 右側に整理する 「×」だけ。 変数の除算は、括弧の外に変数を配置したり、符号を変えて項を部分から部分に移したり、比例の法則に従って要素を部分から部分に移したりするなど、「学校」の操作を使用して実行されます。

差分は完全な乗数であり、敵対行為に積極的に参加します。 検討中の例では、変数は比例の法則に従って因子を投げることによって簡単に分離されます。

変数は分離されています。 左側には「Y」だけがあり、右側には「X」だけがあります。

次のステージ - 微分方程式の積分。 簡単です。両側に積分を置きます。

もちろん、積分を取る必要があります。 この場合、それらは表形式です。

覚えているように、反微分には定数が割り当てられます。 ここには積分が 2 つありますが、定数は 1 回記述するだけで十分です。 (定数 + 定数は別の定数と等しいため)。 ほとんどの場合、右側に配置されます。

厳密に言えば、積分を行った後、微分方程式は解かれたとみなされます。 唯一のことは、私たちの「y」は「x」によって表現されない、つまり解決策が提示されるということです。 暗黙的に形状。 陰的な形式の微分方程式の解はと呼ばれます。 微分方程式の一般積分。 つまり、これは一般積分です。

この形式の答えは十分許容できますが、より良い選択肢はあるでしょうか? 手に入れてみよう 共通の決定.

お願いします、 最初のテクニックを覚えておいてください、これは非常に一般的であり、実際のタスクでよく使用されます。 積分後に右側に対数が表示される場合、多くの場合 (常にではありませんが)、定数を対数の下にも記述することをお勧めします。 そして、結果が対数のみである場合は必ず書き留めてください (検討中の例のように).

あれは、 の代わりにエントリーは通常書かれます .

なぜこれが必要なのでしょうか? そして「ゲーム」を表現しやすくするために。 対数の性質を利用する 。 この場合：

これで対数とモジュールを削除できるようになりました。

関数は明示的に提示されます。 これが一般的な解決策です。

答え: 共通の決定: .

多くの微分方程式の答えは非常に簡単に確認できます。 私たちの場合、これは非常に簡単に行われ、見つかった解決策を取得してそれを微分します。

次に、導関数を元の方程式に代入します。

– 正しい等式が得られます。これは、一般解が方程式を満たしていることを意味し、これを確認する必要があります。

定数に異なる値を与えると、無限の数を取得できます。 プライベートソリューション微分方程式。 関数 、 、などのいずれかが機能することは明らかです。 微分方程式を満たします。

一般的な解決策は次のように呼ばれることがあります。 関数のファミリー。 この例では、一般的な解決策は、 は線形関数の族、より正確には直接比例の族です。

最初の例を徹底的に検討した後、微分方程式に関するいくつかの素朴な質問に答えることが適切です。

1)この例では、変数を分離することができました。 これはいつでも実行できますか?いいえ、いつもではありません。 さらに多くの場合、変数は分離できません。 たとえば、 同次一次方程式、まず交換する必要があります。 他のタイプの方程式、たとえば、一次線形不均質方程式では、一般解を見つけるためにさまざまなテクニックや方法を使用する必要があります。 最初のレッスンで検討する分離可能な変数を含む方程式は、最も単純なタイプの微分方程式です。

2) 微分方程式を積分することは常に可能ですか?いいえ、いつもではありません。 積分できない「派手な」方程式を思いつくのは非常に簡単であり、さらに、取れない積分も存在します。 ただし、このような DE は特別な方法を使用して近似的に解決できます。 ダランベールとコーシーは保証します... ...うーん、もっと潜んでください。今たくさん読んで、「あの世から」と付け加えそうになりました。

3) この例では、一般積分の形で解を得ました。 。 一般積分から一般解を見つけること、つまり「y」を明示的に表現することは常に可能ですか?いいえ、いつもではありません。 例えば： 。 さて、ここで「ギリシャ語」をどう表現すればいいでしょうか？ このような場合、答えは一般積分として書く必要があります。 また、一般的な解を見つけることができる場合もありますが、非常に面倒で不器用に書かれているため、答えは一般的な積分の形で残しておく方がよいでしょう。

4) ...おそらく今はそれで十分でしょう。 最初に遭遇した例では、 もう一つの重要な点、ただし、「ダミー」を新しい情報の雪崩でカバーしないように、次のレッスンまで残しておきます。

急ぐつもりはありません。 別のシンプルなリモコンと別の典型的なソリューション:

例 2

初期条件を満たす微分方程式の特定の解を見つけます。

解決: 条件に従って、見つける必要があります プライベートソリューション与えられた初期条件を満たす DE。 この質問の定式化は、とも呼ばれます。 コーシー問題.

まず、一般的な解決策を見つけます。 方程式には「x」変数はありませんが、混乱する必要はありません。重要なのは、一次導関数があるということです。

導関数を必要な形式に書き換えます。

明らかに、変数は男の子を左に、女の子を右に分けることができます。

方程式を積分しましょう:

一般積分が得られます。 ここではアスタリスク付きの定数を描いていますが、実際には、すぐに別の定数に変わることになります。

ここで、一般積分を一般解に変換してみます (「y」を明示的に表現します)。 学校での懐かしいことを思い出しましょう。 。 この場合：

インジケーターの定数はなんとなく不自然に見えるため、通常は現実的なものになります。 詳しく言うとこうなります。 度のプロパティを使用して、関数を次のように書き換えます。

が定数の場合、 も定数です。文字で再指定しましょう。
– この場合、モジュールを削除します。その後、定数「ce」は正と負の両方の値を取ることができます。

定数を「破壊する」ということは、 2番目のテクニック、微分方程式を解くときによく使用されます。 クリーンバージョンでは、すぐに次の作業に進むことができます ただし、常にこの移行について説明できるように準備してください。

したがって、一般的な解決策は次のようになります。 これは素晴らしい指数関数のファミリーです。

最終段階では、指定された初期条件を満たす特定の解を見つける必要があります。 これも簡単です。

任務は何ですか? 引き取りが必要 そのような条件が満たされるように定数の値を設定します。

さまざまな方法でフォーマットできますが、これがおそらく最も明確な方法です。 一般的な解決策では、「X」の代わりにゼロを、「Y」の代わりに 2 を代入します。



あれは、

標準デザインバージョン:

ここで、見つかった定数の値を一般解に代入します。
– これは私たちが必要とする特定のソリューションです。

答え: プライベートソリューション:

確認しよう。 プライベート ソリューションの確認には、次の 2 つの段階が含まれます。

まず、見つかった特定の解が本当に初期条件を満たしているかどうかを確認する必要がありますか? 「X」の代わりにゼロを代入して、何が起こるかを見てみましょう。
- はい、確かに 2 を受け取りました。これは、初期条件が満たされていることを意味します。

第二段階はすでにおなじみです。 結果として得られる特定の解を取得し、導関数を求めます。

元の方程式に代入します。

– 正しい等価性が得られます。

結論: 特定の解決策が正しく見つかりました。

より意味のある例に移りましょう。

例 3

微分方程式を解く

解決：導関数を必要な形式に書き換えます。

変数を分離できるかどうかを評価しますか? できる。 符号を変えて 2 番目の項を右側に移動します。

そして、比例の法則に従って乗数を転送します。

変数は分離されているので、両方の部分を統合しましょう。

警告しなければなりませんが、審判の日は近づいています。 しっかり勉強していなかったら 不定積分、いくつかの例を解決した場合は、どこにも行くことができません - 今すぐそれらをマスターする必要があります。

左辺の積分は簡単に見つけることができます。レッスンで説明した標準的な手法を使用してコタンジェントの積分を処理します。 三角関数の積分去年：

その結果、対数のみが得られました。そして、私の最初の技術的推奨に従って、定数も対数として定義します。

ここで、一般積分を単純化してみます。 対数しかないので、それらを取り除くことはかなり可能です (そして必要です)。 を使用することで 既知の特性対数を可能な限り「詰め込み」ます。 非常に詳しく書きます：

パッケージは野蛮なほどボロボロに仕上げられています。
、そしてすぐに提示します 一般積分ちなみに、これが可能な限り:

一般的に、これを行う必要はありませんが、教授を喜ばせるためには常に有益です ;-)

原則として、この傑作は答えとして書くことができますが、ここでは両方の部分を二乗して定数を再指定することが依然として適切です。

答え：一般積分:

！ 注記： 一般積分は複数の方法で記述できることがよくあります。 したがって、結果が既知の答えと一致しない場合でも、方程式を間違って解いたことを意味するものではありません。

「ゲーム」を表現することはできるだろうか？ できる。 一般的な解決策を表現しましょう。

もちろん、得られた結果は答えとして適していますが、一般的な積分はよりコンパクトに見え、解がより短いことに注意してください。

3 番目の技術的なヒント:一般的な解を得るためにかなりの数のアクションを実行する必要がある場合、ほとんどの場合、これらのアクションを控えて、答えを一般積分の形式のままにする方が良いでしょう。 逆関数を表現したり、累乗したり、ルートを抽出したりする必要がある場合、「悪い」アクションにも同じことが当てはまります。実際のところ、一般的な解決策は、大きな根、記号、その他の数学的ゴミがあり、大げさで面倒に見えるでしょう。

確認方法は? チェックは 2 つの方法で実行できます。 方法 1: 一般的な解決策を採用する 、導関数を見つけます それらを元の式に代入します。 あなたも試してみてください！

2 番目の方法は、一般積分を微分することです。 それは非常に簡単です、重要なことは見つけることができることです 暗黙的に指定された関数の導関数:

各項を次のように除算します。

そして次のようになります。

元の微分方程式が正確に得られました。これは、一般積分が正しく求められたことを意味します。

例 4

初期条件を満たす微分方程式の特定の解を見つけます。 チェックを実行します。

これは自分で解決できる例です。

アルゴリズムは 2 つの段階で構成されていることを思い出してください。
1) 一般的な解決策を見つける。
2) 必要な特定のソリューションを見つける。

チェックは 2 つのステップでも実行されます (例 2 の例を参照)。次のことを行う必要があります。
1) 見つかった特定の解が初期条件を満たしていることを確認します。
2) 特定の解が一般に微分方程式を満たすことを確認します。

完全な解決策と答えはレッスンの最後にあります。

例5

微分方程式の特定の解を求める 、初期条件を満たしています。 チェックを実行します。

解決：この方程式には既成の微分がすでに含まれているため、解は簡略化されています。 変数を分離します。

方程式を積分しましょう:

左側の積分は表形式で、右側の積分は表形式です。 関数を微分符号の下に包含する方法:

一般積分は得られましたが、一般解をうまく表現できるでしょうか？ できる。 対数を両辺に掛けます。 それらは正であるため、係数の符号は不要です。

（皆さんもこの変化を理解していただければ幸いです、そんなことはもう分かっているはずです）

したがって、一般的な解決策は次のとおりです。

与えられた初期条件に対応する特定の解を見つけてみましょう。
一般的な解決策では、「X」の代わりにゼロを代入し、「Y」の代わりに 2 の対数を代入します。

より馴染みのあるデザイン:

見つかった定数の値を一般解に代入します。

答え：プライベートソリューション:

チェック: まず、初期条件が満たされているかどうかを確認しましょう。
- すべてが良いです。

次に、見つかった特定の解が微分方程式を満たすかどうかを確認してみましょう。 導関数を見つける:

元の方程式を見てみましょう。 – それは差分で表示されます。 確認方法は2つあります。 見つかった導関数からの差分を表現することができます。

見つかった特定の解とその結果の微分を元の方程式に代入してみましょう。 :

基本的な対数恒等式を使用します。

正しい等価性が得られました。これは、特定の解が正しく見つかったことを意味します。

2 番目のチェック方法はミラーリングされたもので、より馴染みのあるものです。方程式から 導関数を表現しましょう。これを行うには、すべての部分を次のように分割します。

そして、変換された DE に、得られた部分解と見つかった導関数を代入します。 単純化の結果として、正しい等価性も得られるはずです。

例6

方程式の一般積分を求め、答えをフォームに表示します。

これは、あなたが自分で解決し、完全に解決して、レッスンの最後に答えるための例です。

分離可能な変数を使用して微分方程式を解く場合、どのような困難が待ち構えているのでしょうか?

1) 変数を分離できることは必ずしも明らかではありません (特に「ティーポット」にとって)。 条件付きの例を考えてみましょう。 ここで、括弧内の因子を取り出して、根を分離する必要があります: 。 次に何をすべきかは明らかです。

2) 統合自体の困難。 積分は最も単純ではないことが多く、見つけるスキルに欠陥がある場合は、 不定積分, そうなるとディフューザーがたくさんあると難しくなります。 さらに、「微分方程式は単純だから、せめて積分はもっと複雑にしよう」というロジックは、資料集や学習マニュアルの編纂者の間でよく使われています。

3) 定数を使用した変換。 誰もが気づいているように、微分方程式の定数は非常に自由に扱うことができ、一部の変換は初心者にとって必ずしも明確ではありません。 別の条件付きの例を見てみましょう。 。 すべての項に 2 を掛けることをお勧めします。 。 結果の定数もある種の定数であり、次のように表すことができます。 。 はい、対数しかないので、定数を別の定数の形式で書き直すことをお勧めします。 .

問題は、インデックスを気にせずに同じ文字を使用することが多いことです。 その結果、決定記録は次の形式になります。

一体何?! そこに間違いがあります！ 厳密に言えば、そうです。 しかし、実質的には、変数定数を変換した結果、等価な変数定数が得られるため、誤りはない。

あるいは別の例として、方程式を解く過程で一般積分が得られたとします。 この答えは見苦しく見えるため、各項の符号を変更することをお勧めします。 。 正式には、ここにもう一つ間違いがあります - それは右側に書かれるべきです。 しかし、非公式には、「minus ce」は依然として定数であり、同様に同じ値セットを取るため、「minus」を付けるのは意味がないと理解されています。

不注意なアプローチは避け、定数を変換するときに異なるインデックスを割り当てるようにします。 それが私があなたに勧めることです。

例 7

微分方程式を解きます。 チェックを実行します。

解決：この方程式により、変数を分離することができます。 変数を分離します。

統合しましょう:

ここで定数を対数として定義する必要はありません。これでは何も役に立ちません。

答え：一般積分:

そしてもちろん、ここで「y」を明示的に表現する必要はありません。それはゴミになるからです (3 番目の技術的なヒントを思い出してください)。

検査: 答えを微分します (陰関数):

両方の項に次の値を乗算して、分数を取り除きます。

元の微分方程式が得られました。これは、一般積分が正しく求められたことを意味します。

例8

DE の特定のソリューションを見つけます。
,

微分方程式の種類:

▫ 常微分方程式 - 1 つの独立変数を含む方程式

▫ 偏微分方程式 - 2 つ以上の独立変数がある方程式

微分方程式の種類を表 1 に示します。

表1。

一階常微分方程式
名前		ビュー			解決
分離可能な変数を使用する場合		P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 P(x,y) と Q(x,y) が因数分解され、それぞれが 1 つの変数のみに依存する場合。 f(x)g(y)dx+(x)q(y)dy=0			1.変数を分ける 2. 統合する 3.標準的な形にする y=(x)+c – 一般解
同種の		P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 ここで、P(x,y)、Q(x,y) は 1 次元の同次関数です。 y'= (関数内で x=tx、y=ty を置き換えて変換すると、元の方程式に戻ります)			1. y=tx を置き換えると、 2. 分離可能な変数を含む方程式に変換して解きます (上記を参照)。 3.交換品に戻す、代替品 4. 標準形式 y= に戻します。
線形	y’+P(x)y=Q(x) (y’とy’は乗算せずに1乗に含まれます) a) 線形均一 b) 線形不均質 c) ベルヌーイ方程式 y’+P(x)y=Q(x)y’’				1. y=uv に置き換えると、y’=u’v+v’u 2. u’v+v’u+ P(x) uv= Q(x) v(u’+P(x)u)+v’u= Q(x) (*) 3. 式 (*) では括弧をゼロにします。 u’+P(x)u=0 – 変数を分離した場合 4. u の値を式 (*) に代入します。 v’P(x)=Q(x) - 変数を分離した場合 5.交換品に戻す y=P(x)(F(x)+c) – 一般解
2階の常微分方程式。
順番に削減を許可する			y''=f(x)	二重統合で解決
係数が一定の線形均一二次			y''+py+qy=0 ここで、p、q には数値が与えられます あらゆる種類のL.O.U. 2 次には、2 つの線形に独立した部分解の系があります。 これを基本解法系といいます。 一般的な解は、その基本システムの特定の解の線形結合です。
				1.特性方程式を作る
				2.根の種類に応じて、基本的な解決策のシステムは次の形式になります。
				ルーツ 特性方程式		特定のソリューションの基本システム	共通の決定
				有効
				様々な

微分方程式 (DE) - これは方程式です、
ここで、 は独立変数、 y は関数、 は偏導関数です。

常微分方程式 は、独立変数 が 1 つだけある微分方程式です。

偏微分方程式 は 2 つ以上の独立変数を持つ微分方程式です。

どの方程式が考慮されているかが明らかな場合、「常導関数」および「偏導関数」という言葉は省略できます。 以下では、常微分方程式を考慮します。

微分方程式の次数 は最も高い導関数の次数です。

一次方程式の例を次に示します。

以下は 4 次方程式の例です。

場合によっては、一次微分方程式が微分を使って記述されることがあります。

この場合、変数 x と y は等しいです。 つまり、独立変数は x または y のいずれかになります。 最初のケースでは、y は x の関数です。 2 番目のケースでは、x は y の関数です。 必要に応じて、この方程式を導関数 y' を明示的に含む形式に縮小できます。
この方程式を dx で割ると、次のようになります。
.
と なので、次のことがわかります
.

微分方程式を解く

初等関数の導関数は初等関数を通じて表現されます。 初等関数の積分は、初等関数の観点から表現されないことがよくあります。 微分方程式では状況はさらに悪化します。 解決策の結果、次のことが得られます。

• 変数に対する関数の明示的な依存関係。

  微分方程式を解く 関数 y = u です （バツ）、これは定義されており、n 回微分可能であり、 です。

• Φ 型の方程式の形での暗黙的な依存関係 (x, y) = 0または連立方程式。

  微分方程式の積分 は、陰的な形式を持つ微分方程式の解です。

• 初等関数とその積分によって表現される依存性。

  求積法での微分方程式を解く - これは、初等関数とその積分の組み合わせの形で解を見つけることです。

• 解は初等関数では表現できない場合があります。

微分方程式を解くことは積分を計算することになるため、解には一連の定数 C 1、C 2、C 3、... C n が含まれます。 定数の数は方程式の次数と同じです。 微分方程式の偏積分 は、定数 C 1、C 2、C 3、...、C n の指定された値に対する一般積分です。

参考文献:
V.V. ステパノフ、微分方程式のコース、「LKI」、2015 年。
N.M. ガンター、R.O. クズミン、高等数学の問題集、「Lan」、2003 年。

テスト No.3 を完了するには

方向

(トピック12～16)

トピック 12. 1 次の微分方程式。

ピスクノフ、ch. VIII、§ 1-8、例。 1-68

ダンコ、パート II、ch. IV、§1

12.1 一階微分方程式の定義。

1.定義。 独立変数に関する等式 バツ、 関数 でこの関数の導関数 (または微分) は、一次微分方程式と呼ばれます。 (DY1)それらの。

F(x,y,y")=0または y"=f (x,y)

一階微分方程式を解く- 未知の関数を見つけることを意味します y.

2.一般的な解決策一階微分方程式のことを関数といいます y=j(x,c)、 どこ C- 一階微分方程式に代入すると恒等式に変わる定数。 表面上 XOY共通の決定 y=j(x,c)は積分曲線の族を表します。

3. あらゆる決断 y= j (x,С 0)特定の値で一般解から得られる C=C0呼ばれた プライベートソリューション一階微分方程式。

4. 初期条件を満たす一階微分方程式の特定の解を求める問題

あるいは、あるいは

5. -DE 1 と分離可能な変数。

6. - ODE 1 – 1 次の同次微分方程式、または 、ここで、 は 1 次元の同次関数です。 置換が使用されます

7. 、ここで 。 DE 1、置換により均一に還元

線の交点はどこですか

の場合、置換が使用されます

ここで、 - は全微分方程式と呼ばれます。

関数の微分の合計はどこですか

この方程式を解くということは、関数を見つけることを意味します そして.

9. - リニアリモコン 1 (LDU 1)

の場合、方程式は不均一です。

の場合、方程式は均一です。

LDU 1 が統合されています:

1) ベルヌーイ法 (代入 y = を使用) そしてv、 どこ あなたそして v- まだ未知の機能)

2) ラグランジュ法を使用し、任意の定数を変化させます。

10. 、ここで メートル- 番号、 m¹0, m¹1- ベルヌーイ微分方程式、y= の代入によって解きます。 紫外線、またはラグランジュ法 (段落 9 を参照)。

12.2. 問題解決の例。

タスク1。 初期条件を満たす DE 1 の特定の解を見つけます。

解決: これは分離可能な変数を含む方程式です。

なぜなら の場合、方程式は次の形式になります。

または - 変数を分離した後。

最後の方程式の両辺を積分すると、次のようになります。

または - 一般的な解決策

初期条件を使用して、 を求めます。 次に、一般的な解から特定の解が抽出されます。

タスク2。

解決：この方程式は均一です。 DXそして ダイ変数に関して同じ次元 (2 番目) の同次関数です バツそして y。 置換の適用 y=xt、 どこ t- いくつかの引数関数 バツ。 もし y=xt、次に差分 dy = d(xt) = tdx+xdt、この方程式は次の形式になります。

2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0

削減される x²、次のものがあります:

2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0

2tdx+(t²-1) tdx+x (t²-1)dt=0

t(2+t²-1) dx+x (t²-1)dt=0

t(1+t²)dx= x(1-t²)dt;.

についての分離変数方程式が得られました。 バツそして t。 積分すると、この方程式の一般解が得られます。

増強することで、 、または x(1+t²)=Ct。 導入された置換から、次のことがわかります。 したがって、または x²+y²= Cyはこの方程式の一般解です。

タスク3. 方程式の一般解を求めます y"-y tg x=2 xsec x.

解決：この方程式には目的の関数 y とその導関数が含まれているため、線形です。 よ」第一級であり、彼らの作品は含まれていません。

置換の適用 y=uv、 どこ あなたそして v–いくつかの未知の引数関数 バツ。 もし y=uv、 それ y"= (uv)"= u"v+uv"この方程式は次の形式になります。 u"v+uv"-uvtg x= 2x 秒 x、

v(u"-utg x)+ uv"= 2xsec x。 (1)

必要な機能なので yは、他の 2 つの未知の関数の積として提示され、そのうちの 1 つを任意に選択できます。 機能を選択しましょう あなた不等式 (1) の左側の括弧内の式がゼロになるように、つまり関数を選択します。 あなた平等が生まれるように

u"-utg x= 0 (2)

この関数 u の選択により、方程式 (1) は次の形式になります。

紫外線」= 2×秒×。 (3)

式（２）は、ｕとｘに関して分離可能な式である。 この方程式を解いてみましょう:

ln u= -ln cos x、 または

(等式 (2) が成立するには、この方程式を満たす特定の解を 1 つ見つけるだけで十分です。したがって、簡単にするために、この方程式を積分するときに、任意の定数 C = 0 の値に対応する特定の解を見つけます。 .) 見つかった式を (3) に代入します。 あなた、我々が得る：

secxv"= 2xsecx; v"= 2バツ; dv= 2×dx。統合すると、 v=x²+C。 それから y=secx(x²+C)はこの方程式の一般解です。

12.3.自制心を養うための質問。

1. どの方程式を微分と呼びますか?

2. 方程式の次数はどのように決定されますか? 例。

3. 決めるとはどういう意味ですか?

4. どの関数がソリューションと呼ばれますか?

5. どの解決策が一般的、特定的と呼ばれますか?

6. 初期条件に基づいて特定の解を見つけるにはどうすればよいですか? 例を解くときに実行される操作の計画を書き留めます。 や」- 2x=初期状態では0 y(-2)= 4.

7. 一般的な解決策と特定の解決策の幾何学的意味を定式化します。