Пропорциональное (статическое , безынерционное ) звено . Это самое простое звено , вы­ходной сигнал которого прямо пропорционален входному сигналу :

где k - коэффициент пропорциональности или передачи звена.

Примерами такого звена являются: а) клапаны с линеаризованными характеристиками (когда изменение расхода жидкости пропорционально степени изменения положения штока ) в рассмотренных выше примерах систем регулирования; б) делитель напряжения; в) рычаж­ная передача и др.

Переходя в (3.1) к изображениям, имеем:

1. Передаточная функция : .

2. Переходная характеристика : , следовательно .

3. Импульсная переходная характеристика : .

4. КЧХ : .

6. ФЧХ: .

Принятое описание связи между входом и выходом справедливо только для идеального звена и соответствует реальным звеньям лишь при низких частотах , . При в реальных звеньях коэффициент передачи k начинает зависеть от частоты и при высоких частотах падает до нуля.

Запаздывающее звено . Это звено описывается уравне­нием

где – время запаздывания.

Примером запаздывающего звена служат: а) длинные электрические линии без потерь; б) длинный трубопровод и др.

Передаточная функция , переходная и импульсная переходная характеристика , КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ этого звена:

2. , значит: .

На рис.3.1 изображены: а) годограф КЧХ запаздывающего звена ; б) АЧХ и ФЧХ запазды­вающего звена. Заметим, что при увеличении конец вектора описывает по часовой стрелке все возрас­тающий угол.

Рис.3.1 . Годограф (а) и АЧХ, ФЧХ (б) запаздывающего звена.

Интегрирующее звено . Это звено описывается уравне­нием

где - коэффициент передачи звена.

Примерами реальных элементов, эквивалентные схемы которых сводятся к интегрирующему звену , являются: а) электрический конденсатор, если считать входным сигналом ток, а выходным – напряжение на конденсаторе: ; б) вращающийся вал, если считать входным сигналом угловую скорость вращения, а выходным – угол поворота вала: ; и т.д.

Определим характеристики данного звена:

2. .

Воспользуемся таблицей преобразования Лапласа 3.1, получаем:

.

Умножаем на так как функция при .

3. .

4. .

На рис.3.2 показаны: а) годограф КЧХ интегрирующего звена; б) АЧХ и ФЧХ звена; в) переходная характеристика звена.

Рис.3.2 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б), переходная характеристика (в) интегрирующего звена.

Дифференцирующее звено . Это звено описывается урав­нением

где – коэффициент передачи звена.

Найдем характеристики звена:

2. , учитывая, что , находим: .

3. .

4. .

На рис.3.3 показаны: а) годограф звена; б) АЧХ и ФЧХ звена.

а ) б )

Рис. 3.3 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б) дифференцирующего звена.

Примером дифференцирую­щего звена являются идеальный конденсатор и индуктивность . Это следует из того, что напряжение u и ток i связаны для конденсатора С и индуктивности L соответственно следующими соотношениями:

Отметим, что реальная емкость обладает небольшой емкостной индуктивностью , реальная индуктивность имеет межвитковую емкость (которые особенно сильно проявляются на больших частотах), что приводит указанные выше формулы к следующему виду:

, .

Таким образом, дифференцирующее звено не может быть технически реализовано , так как порядок пра­вой части его уравнения (3.4) больше порядка левой части. А нам известно, что должно выполняться условие n > m или, в крайнем случае, n = m .

Однако можно прибли­зиться к этому уравнению данного звена , использовав инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее )звено .

Инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее ) звено описывается уравнением:

где k - коэффициент передачи звена, Т - постоянная времени.

Передаточная функция , переходная и импульсная переходная характеристики , КЧХ, АЧХ и ФЧХ этого звена определяются формулами:

Используем свойство преобразования Лапласа – смещение изображения (3.20), согласно которому: если , то .

Отсюда: .

3. .

5. .

6. .

На рис.3.4 приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.

а ) б )

Рис.3.4 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего звена.

Для того чтобы свойства реального дифференцирующего звена приближались к свойствам идеального , необходимо одновременно увеличивать коэффициент передачи k и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение оста­валось постоянным:

kT = k д,

где k д – коэффициент передачи дифференцирующего звена.

Отсюда видно, что в размерность коэффициента передачи k д дифференцирующего звена входит время .

Инерционное звено первого порядка (апериодическое звено ) одно из самых распространен­ных звеньев САУ. Оно описывается уравнением:

где k – коэффициент передачи звена, Т – постоянная времени.

Характеристики данного звена определяются формулами:

2. .

Пользуясь свойствами интегрирования оригинала и смещением изображения имеем:

.

3. , т.к. при , то на всей временной оси данная функция равна 0 ( при ).

5. .

6. .

На рис.3.5 показаны: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.

Рис.3.5 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ инерционного звена первого порядка.

Интегро-дифференцирующее звено . Это звено описы­вается дифференциальным уравнением первого порядка в наиболее общем виде:

где k - коэффициент передачи звена, Т 1 и Т 2 - постоянные времени.

Введем обозначение:

В зависимости от значения t звено будет обладать раз­личными свойствами. Если , то звено по своим свойствам будет приближаться к интегрирующему и инерционному звеньям. Если , то данное звено по свойствам будет ближе к диф­ференцирующему и инерционно-дифференцирующему .

Определим характеристики интегродифференцирующего звена :

1. .

2. , отсюда следует:

Т.к. при t ® 0, то:

.

6. .

На рис.3.6. приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ; в) ФЧХ; г) переходная характеристика звена.

а ) б )

в ) г )

Рис.3.6 . Годограф (а), АЧХ (б), ФЧХ (в), переходная характеристика (г) интегродифференцирующего звена.

Инерционное звено второго порядка . Это звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

где (капа) – постоянная затухания; Т - постоянная времени, k - коэффициент передачи звена.

Реакция системы, описываемой уравнением (3.8), на единичное ступенчатое воздействие при представляет собой затухающие гармонические колебания , в этом случае звено еще называется колебательным . При колебания не возник­нут, и звено , описываемое уравнением (3.8) называется апериодическим звеном второго порядка . Если , то колебания будут незатухающими с частотой .

Примером конструктивного выполнения данного звена могут служить: а) электрический колебательный контур, содержащий емкость , индуктивность и омичес­кое сопротивление ; б) масса , подвешенная на пружине и имеющая демпфирующее устройство , и т.д.

Определим характеристики инерционного звена второго порядка :

1. .

2. .

Корни характеристического уравнения стоящего в знаменателе определяются:

.

Очевидно, что здесь возможно три случая:

1) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные разные и , тогда переходная характеристика определяется:

;

2) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные одинаковые :

3) при корни характеристического уравнения звена являются комплексно -сопряженными , причем

переходная характеристика определяется формулой:

,

т.е., как отмечалось выше, она приобретает колебательный характер .

3. Также имеем три случая:

1) ,

т.к. при ;

2) , т.к. при ;

3) , т.к. при .

5. .

При исследовании систем управления они обычно представляются в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев. Динамическим звеном называют устройство любого физического вида и конструктивного оформления, имеющее вход и выход, как показано на рисунке 2.1, и для которого задано уравнение (обычно дифференциальное), связывающее сигналы на входе и выходе.

Рисунок 2.1 – Схема динамического звена

Классификация динамических звеньев производится по виду дифференциального уравнения. Одними и теми же дифференциальными уравнениями могут описываться устройства любого типа (электрические, электромеханические, гидравлические, тепловые и т.п.), что позволяет использовать для проектирования различных устройств одинаковые подходы.

Если уравнение, связывающее сигналы , линейно, то говорят о линейном динамическом звене

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий вид:

где – постоянные коэффициенты; .

Однако вид дифференциального уравнения не является единственным признаком, по которому проводится сравнение динамических звеньев.

Основными характеристиками звеньев являются:

Дифференциальные уравнения движения;

Передаточные функции;

Временные характеристики (переходная функция, импульсная (весовая) функция;

Частотные характеристики (амплитудно-частотные характеристики, амлитудно-фазовые частотные характеристики, логарифмические частотные характеристики).

Передаточной функцией звенаназывается отношение изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях. Подвергнем уравнение (2.1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями:

Отсюда получим

Отношение (2.2) не зависит от изображений сигналов и определяется только параметрами самого динамического звена , , имеет вид дробно-рациональной функции.

Уравнение вида

называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

Временные характеристики обусловливают динамические свойства звена. Они определяются на выходе звена при подаче на вход типовых сигналов.

Переходная функция или переходная характеристика представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равного единице (рисунок 2.2). Такое воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в САУ. К такому виду воздействия можно отнести мгновенное изменение нагрузки электрогенератора, возрастание момента на валу двигателя, мгновенное изменение задания на частоту вращения двигателя, мгновенный поворот командной оси следящей системы.

Рисунок 2.2 – Единичная ступенчатая (а) и переходная (б) функции

Изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции определяется как

Чтобы определить изображение переходной функции при известной передаточной функции звена необходимо выполнить следующую операцию:

Оригинал находят с помощью обратного преобразования Лапласа (приложение Б), применяемого к (1.5).

импульсная переходная функция или весовая функция – это реакция звена на единичную импульсную функцию. Единичная импульсная функция, или – функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции:

Дельта-функция определяется выражением

Основное свойство дельта-функции состоит в том, что

то есть она имеет единичную площадь. Эту функцию можно описать как короткий, но мощный импульс. Дельта-функция также является распространенным входным воздействием в автоматических системах. Например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый предохранителями и т.п.

Нетрудно установить, что изображение -функции определяется

Изображение функции веса есть передаточная функция:

Поэтому для нахождения оригинала импульсной переходной функции необходимо применить обратное преобразование Лапласа к передаточной функции звена (системы).

Дельта-функция и функция веса некоторого звена изображены на рисунке 2.3

Рисунок 2.3 – Дельта функция (а) и функция веса (б)

Переходная и импульсная функции связаны соотношениями

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента , полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции. Частотные характеристики получают при рассмотрении движения звена (системы) при подаче на его вход гармонического воздействия.

Функцию , которую получают из передаточной функции (2.2):

называют частотной передаточной функцией.

Частотная передаточная функция, как функция комплексного аргумента, может быть представлена в виде

где – действительная (вещественная) часть ; – мнимая часть ; – модуль (амплитуда) ; – аргумент (фаза) .

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части функции являются функциями частоты, поэтому частотная передаточная функция используется и представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

Таким образом, в ТАУ рассматривают следующие частотные характеристики динамических звеньев:

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –

2. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –

3. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –

5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф вектора (кривая, описываемая концом этого вектора), построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

Физический смысл частотных характеристик можно определить следующим образом. При гармоническом воздействии в устойчи­вых системах после окончания переходного процесса, выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы – ар­гументу частотной передаточной функции. И, следовательно, амплитудная частотная характеристика показывает изме­нение отношения амплитуд, а фазовая частотная харак­теристика – сдвиг фазы выходной величины относительно вход­ной в зависимости от частоты входного гармонического воздей­ствия.

Общий вид частотных характеристик представлен на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Частотные характеристики:

амплитудно-фазовая (а), амплитудно-частотная (б), фазо-частотная (в), вещественная частотная (г), мнимая частотная (д)характеристики

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота – в логарифмическом масштабе:

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют график зависимости фазо-частотной характеристики (ФЧХ) от логарифма частоты. При построении логарифмических характеристик по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а на отметке, соответствующей значению , пишут само значение . Довольно часто ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта.

Единицей является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

При построении ЛФЧХ отсчет углов идет по оси ординат в обычном масштабе в градусах или радианах.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произво­льную точку, а не через точку (частоте соответ­ствует бесконечно удаленная точка: при ). Так как , то начало координат чаще всего берется в точке .

8. Интегрирующее звено с замедлением

Здесь – коэффициент усиления звена, – постоянная времени, с.

В следящих системах (рис. 1.14, а) при повороте ведущего вала на некоторый угол приемный вал также поворачивается на этот же угол. Однако приемный вал занимает новое положение не мгновенно, а с некоторым запозданием после окончания переходного процесса. Переходный процесс может быть апериодическим (рис. 2.1, а) и колебательным с затухающими колебаниями (рис. 2.1, б). Возможно, что колебания приемного вала будут незатухающими (рис. 2.1, в) или возрастающими по амплитуде (рис. 2.1, г). Последние два режима являются неустойчивыми.

Каким образом данная система будет отрабатывать то или иное изменение задающего или возмущающего воздействия, т. е. каков характер переходного процесса системы, будет ли система устойчивой или неустойчивой - эти и подобные вопросы рассматриваются в динамике систем, автоматического управления.

2.1. Динамические звенья автоматических систем

Необходимость представления элементов автоматических систем динамическими звеньями. Определение динамического звена

Для определения динамических свойств автоматической системы необходимо иметь ее математическое описание, т. е. математическую модель системы. Для этого следует составить дифференциальные уравнения элементов системы, с помощью которых описываются происходящие в них динамические процессы.

При анализе элементов автоматических систем выясняется, что разнообразные элементы, отличающиеся назначением, конструкцией, принципом действия и физическими процессами, описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, т. е. являются сходными по динамическим свойствам. Например, в электрической цепи и механической системе, несмотря на различную их физическую природу, динамические процессы могут описываться аналогичными дифференциальными уравнениями.

Рис. 2.1. Возможные реакции следящей системы на ступенчатое задающее воздействие.

В теории автоматического управления элементы автоматических систем с точки зрения их динамических свойств представляют с, помощью небольшого числа элементарных динамических звеньев. Под элементарным динамическим звеном понимается математическая модель искусственно выделяемой части системы, характеризуемая нексь торым простейшим алгоритмом (математическим или графическим описанием процесса).

Одним элементарным звеном иногда могут быть представлены несколько элементов системы или наоборот - один элемент может быть представлен в виде нескольких звеньев.

По направлению прохождения воздействия различают вход и выход и соответственно входную и выходную величины звена. Выходная величина звена направленного действия не оказывает влияния на входную величину. Дифференциальные уравнения таких звеньев можно составлять отдельно и независимо от других звеньев. Поскольку в САУ входят различные усилители, обладающие направленным действием, САУ обладает способностью передавать воздействия только в одном направлении. Поэтому уравнение динамики всей системы можно получить из уравнений динамики ее звеньев, исключая промежуточные переменные.

Элементарные динамические звенья являются основой для построения математической модели системы любой сложности.

Классификация и динамические характеристики звеньев

Тип звена определяется алгоритмом, в соответствии с которым происходит преобразование входного воздействия. В зависимости от алгоритма различают следующие типы элементарных динамических звеньев: пропорциональное (усилительное), апериодическое (инерционное), колебательное, интегрирующее и дифференцирующее.

Каждое звено характеризуется следующими динамическими характеристиками: уравнением динамики (движения), передаточной функцией, переходной и импульсной переходной (весовой) функциями, частотными характеристиками. Такими же динамическими характеристиками оцениваются и свойства автоматической системы. Рассмотрим динамические характеристики на примере апериодического звена,

Рис. 2.2. Электрическая -цепь, представляемая апериодическим звеном, и реакции звена на типовые входные воздействия: а - схема; б - единичное ступенчатое воздействие; в - переходная функция звена; - единичный импульс; д - импульсная переходная функция звена.

которым представляется электрическая цепь, изображенная на рис. 2.2, а.

Уравнение динамики звена (системы). Уравнение динамики элемента (звена) - уравнение, определяющее зависимость выходной величины элемента (звена) от входной величины

Уравнение динамики можно записать в дифференциальной и операционной формах. Для получения дифференциального уравнения элемента составляются дифференциальные уравнения для входной и выходной величин этого элемента. Применительно к электрической цепи (рис. 2.2, а):

Дифференциальное уравнение цепи получают из этих уравнений исключением промежуточной переменной

где - постоянная времени, с; - коэффициент усиления звена.

В теории автоматического управления принята следующая форма записи уравнения: выходная величина и ее производные находятся в левой части, причем на первом месте стоит производная высшего порядка; выходная величина входит в уравнение с коэффициентом, равным единице; входная величина, а также в более общем случае ее производные и другие члены (возмущения) стоят в правой части уравнения. Уравнение (2.1) записано в соответствии с этой формой.

Элемент системы, процесс в котором описывается уравнением вида (2.1), представляется апериодическим звеном (инерционным, статическим звеном первого порядка).

Для получения уравнения динамики в операционной (по Лапласу) форме функции, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются преобразованными по Лапласу функциями, а операции дифференцирования

и интегрирования в случае нулевых начальных условий - умножением и делением на комплексную переменную изображений функций, от которых берется производная или интеграл. В результате этого осуществляется переход от дифференциального уравнения к алгебраическому. В соответствии с дифференциальным уравнением (2.1) уравнение динамики апериодического звена в операционной форме для случая нулевых начальных условий имеет вид:

где - изображение по Лапласу функции времени - комплексное число.

Не следует путать операционную форму (2.2) записи уравнения с символической формой записи дифференциального уравнения:

где - символ дифференцирования. Отличить символ «дифференцирования от комплексной переменной несложно: после символа дифференцирования стоит оригинал, т. е. функция от а после комплексной переменной - изображение по Лапласу, т.е. функция от

Из формулы (2.1) видно, что апериодическое звено описывается уравнением первого порядка. Другие элементарные звенья описываются уравнениями нулевого, первого и максимум второго порядка.

Передаточная функция звена (системы) представляет собой отношение изображений по Лапласу выходной Хкых и входной величин при нулевых начальных условиях:

Передаточная функция звена (системы) может быть определена из уравнения звена (системы), записанного в операционной форме. Для апериодического звена в соответствии с уравнением (2.2)

Из выражения (2.3) следует

т. е. зная изображение по Лапласу входного воздействия и передаточную функцию звена (системы), можно определить изображение выходной величины этого звена (системы).

Изображение выходной величины апериодического звена в соответствии с выражением (2.4) следующее:

Переходной функцией звена (системы) h(t) называется реакция звена (системы) на воздействие вида единичной ступенчатой функции (рис. 2.2, б) при нулевых начальных условиях. Переходная функция может быть определена решением дифференциального уравнения обычным или операционным методами. Для определения

операционным методом в уравнение (2.5) подставляем изображение единичной ступенчатой функции и находим изображение переходной функции

т. е. изображение переходной функции равно передаточной функции, деленной на Переходная функция находится как обратное преобразование Лапласа от

Для определения апериодического звена в уравнение (2.6) подставляем и находим изображение переходной функции

Разлагаем на алементарные дроби где и с помощью таблиц преобразования Лапласа находим оригинал

График переходной функции апериодического звена изображен на рис. 2.2, в. Из рисунка видно, что переходный процесс звена имеет апериодический характер. Выходная величина звена достигает своего значения не сразу, а постепенно. В частности, значение достигается через .

Импульсная переходная функция (весовая функция) звена (системы) есть реакция звена (системы) на единичный импульс (мгновенный импульс с бесконечно большой амплитудой и единичной площадью, рис. 2.2, г). Единичный импульс получается дифференцированием единичного скачка: или в операционной форме: Поэтому

т. е. изображение импульсной переходной функции равно передаточной функции звена (системы). Отсюда следует, что для характеристики динамических свойств звена (системы) в равной мере могут быть использованы как передаточная функция, так и импульсная переходная функция. Как видно из (2.8), чтобы получить импульсную переходную функцию, надо найти оригинал, соответствующий передаточной функции Импульсная переходная функция апериодического звена

В соответствии с (2.7) или при переходе к оригиналам импульсная переходная функция звена (системы) может быть также получена дифференцированием переходной функции. Импульсная переходная функция апериодического

(кликните для просмотра скана)

Рис. 2.3. Принципиальные схемы элементов, представляемых пропорциональным звеном: а - делитель напряжения; б - потенциометр; в - усилитель на транзисторе; г - редуктор.

Как видим, выражения (2.9) и (2.10) для совпадают. График импульсной переходной функции апериодического звена изображен на рис. 2.2, д.

Из выражения (2.5) и рассмотренных примеров следует, что при заданном входном воздействии выходная величина определяется передаточной функцией. Поэтому технические требования к выходной величине звена (системы) можно выразить через соответствующие требования к передаточной функции этого звена (системы). В теории автоматического управления метод исследования и проектирования систем с помощью передаточной функции является одним из основных методов.

Пропорциональное (усилительное) звено. Уравнение звена имеет вид:

т. е. между выходной и входной величинами звена имеется пропорциональная зависимость. Уравнение (2.11) в операционной форме

Из уравнения (2.12) определяется передаточная функция звена

т. е. передаточная функция пропорционального звена численно равна коэффициенту усиления. Примерами такого звена могут служить делитель напряжения, потенциометрический датчик, электронный усилительный каскад, идеальный редуктор, схемы которых изображены на рис. 2.3, а, б, е, г соответственно. Коэффициент усиления пропорционального звена может быть как безразмерной (делитель напряжения, усилительный каскад, редуктор), так и размерной величиной (потенциометрический датчик).

Оценим динамические свойства пропорционального звена. При подаче на вход звена ступенчатой функции выходная величина (переходная функция) в силу равенства (2.11) также будет ступенчатой (табл. 2.1), т. е. выходная величина копирует изменение входной

величины без запаздывания и искажения. Поэтому пропорциональное звено называют еще безынерционным.

Импульсная переходная функция пропорционального звена

т. e. представляет собой мгновенный бесконечно большой амплитуды импульс, площадь которого

Колебательное звено. Уравнение звена:

или в операционной форме

Тогда передаточная функция колебательного звена имеет вид

Динамические свойства звена зависят от корней его характеристического уравнения

Свободная составляющая решения

Полное решение уравнения (2.14) при ступенчатом входном воздействии (переходная функция звена) имеет вид:

где - угловая частота собственных колебаний; - начальная фаза колебаний; - декремент затухания; - относительный коэффициент затухания.

1.3.1 Особенности классификации звеньев САУ Основная задача теории автоматического управления ТАУ -разработать методы, с помощью которых можно было бы находить или оценивать показатели качества динамических процессов в САУ. Другими словами, рассматриваются не все физические свойства элементов системы, а только те, которые влияют, связаны с видом динамического процесса. Не рассматриваются конструктивное ис­полнение элемента, его габаритные размеры, способ подведения

энергии, особенности дизайна, номенклатура используемых мате­риалов и т.д. Однако, важными будут такие, например, параметры, как масса, момент инерции, теплоемкость, сочетания RC, LC и т.д., напрямую определяющие вид динамического процесса. Особеннос­ти физического исполнения элемента важны только в той степени, в которой они будут влиять на его динамические показатели. Рас­сматривается, таким образом, только одно выделенное свойство эле­мента - характер его динамического процесса. Это позволяет свести рассмотрение физического элемента к его динамической модели в виде математической модели. Решение модели, т.е. дифференциаль­ного уравнения, описывающего поведение элемента, дает динами­ческий процесс, подлежащий качественной оценке.

В основу классификации элементов САУ положены не осо­бенности конструктивного выполнения или особенности их функ­ционального назначения (объект управления, элемент сравнения, регулирующий орган и т.д.), а тип математической модели, т.е. мате­матические уравнения связи между выходной и входной переменны­ми элемента. Причем эта связь может быть задана, как в виде диффе­ренциального уравнения, так и в другой трансформированной форме, например с помощью передаточных функций (ПФ). Дифференциаль­ное уравнение даёт исчерпывающую информацию о свойствах звена. Решив его, при том или ином заданном законе входной величины, по­лучаем реакцию, по виду которой оцениваем свойства элемента.

Введение понятия передаточной функции позволяет получить связь между выходной и входной величинами в операторной форме и при этом воспользоваться некоторыми свойствами передаточной функции, позволяющими существенно упростить математическое представление системы и воспользоваться некоторыми их свойства­ми. Для объяснения понятия ПФ рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.

1.3.2 Некоторые свойства преобразования Лапласа Решение моделей динамических звеньев САУ дает измене­ние переменных во временной плоскости. Мы имеем дело с функ­циями X(t). Однако, с помощью преобразования Лапласа их можно трансформировать в функции [Х(р)] с другим аргументом р и новы­ми свойствами.

Преобразование Лапласа есть частный случай соответствия типа: одной функции ставится в соответствие другая функция. Обе функции связаны между собой определённой зависимостью. Соот­ветствие напоминает зеркало, отображающее различным образом, в зависимости от формы, находящийся перед ней объект. Вид отобра­жения (соответствия) может быть выбран произвольным образом, в зависимости от решаемой задачи. Можно, например, искать со­ответствие между совокупностью чисел, смысл которого сводится к тому, как по выбранному числу у из области Y найти число х из области X. Такая связь может быть задана аналитически, в виде таб­лицы, графика, правила и т.д.

Аналогично может быть установлено соответствие между группами функций (рис. 3.1 а), например, в виде:

В качестве соответствия между функциями x(t) и х(р) (рис.3.1 б) может быть использован интеграл Лапласа:

при соблюдении условий: x(t) = 0 при и при t.

В САУ исследуются не абсолютные изменения переменных, а их отклонения от установившихся значений. Следовательно, x(t) - класс функций, описывающих отклонения переменных в САУ и для них выполняется оба условия преобразования Лапласа: первое - так как до приложения возмущения изменения переменных не происхо­дит, второе - так как с течением времени любое отклонение в рабо­тоспособной системе стремится к нулю.

Это условия существования интеграла Лапласа. Получим, в качестве примера изображения простейших функций но Лапласу.

Рис. 3.1. Виды отображения функций

Так, если дана единичная функция x(t) = 1, то

Для экспоненциальной функции x(t) = e -α t изображение по

Лапласу будет иметь вид:

Окончательно:

Полученные функции не сложнее исходных. Функция x(t) называется оригиналом, а х(р) - ее изображением. Условно прямое и обратное преобразование Лапласа можно представить в виде:

L=x(p),L -1 <=x(t).

При этом существует однозначная связь между оригиналом и изображением, и наоборот, оригиналу соответствует только единс­твенное изображение функции. Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.

Изображение дифференциала функции. Пусть функции x(t) соответствует изображение х(р): x(t)-> х(р)- Необходимо найти изображение ее производной x(t) :

Таким образом

При нулевых начальных условиях

Для изображения производной n-го порядка:

Таким образом, изображение производной функции есть изоб­ражение самой функции, умноженное на оператор p в степени n , где п - порядок дифференцирования.

Элементарным динамическим звеном (ЭДЗ) называется мате­матическая модель элемента в виде дифференциального уравнения, не подлежащего дальнейшему упрощению.

1.3.3 Инерционное апериодическое звено первого порядка

Такое звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка, связывающего входную и выходную величины:

Примером такого звена кроме термопары, электродвигателя постоянного тока, RL-цепочки, может служить пассивная RC - цепочка (рис. 3.2 г).

Используя основные законы описания электрических цепей получим математическая модель апериодического звена в диффе­ренциальной форме:

Получим связь между входной и выходной величинами звена в форме преобразования Лапласа:

Рис. 3.2. Примеры апериодических звеньев

Отношение выходной величины к входной дает оператор вида.

Введение

Теория автоматического управления является технической наукой общего применения. Она дает теоретическую базу для исследования, разработки и проектирования автоматических и автоматизированных систем.

1. Основные понятия и определения

Существует чрезвычайно большое разнообразие систем, автоматически выполняющих те или иные функции по управлению различными физическими процессами во всех областях техники.

Автоматическая система способна в течение длительного времени нужным образом изменять какие-либо физические величины в том или ином управляемом процессе.

Автоматизированная система – система, в качестве одного из узлов которой используется человек-оператор.

Операция управления – действия, направленные на правильное и высококачественное функционирование объекта управления. Они обеспечивают в нужный момент времени начало, порядок следования и прекращение отдельных действий; предусматривают выделение необходимых ресурсов и задают нужные параметры самому процессу.

Объект управления – это совокупность технических средств, выполняющих определенный процесс и подлежащих управлению.

Все системы автоматического управления (САУ) можно классифицировать следующим образом.

1. По виду структурной схемы:

– разомкнутые (автоматы, работающие по некоторым программам);

– замкнутые (с обратной связью).

2. По виду уравнений динамики процессов управления:

– линейные;

– нелинейные.

Наиболее полно изучены линейные системы.

3. По характеру передачи сигнала:

– непрерывные;

– дискретные:

– импульсные (дискретные по времени);

– цифровые (дискретные по времени и по уровню);

– релейные (сигнал изменяется скачком).

4. По характеру функционирования:

– обычные;

– адаптивные (самонастраивающиеся).

5. В зависимости от характера изменения управляющего воздействия:

– системы автоматической стабилизации;

– системы программного управления;

– системы слежения.

Типовая схема САУ выглядит следующим образом (рис. 1).

Рис. 1. Типовая схема САУ

g (t ) – задающее воздействие;

f (t ) – возмущающее воздействие (может действовать на любой блок системы);

у (t ) – выходной сигнал;

1 – задающее устройство. Устройство преобразует входное воздействие g (t ) в сигнал, пропорциональный заданному значению выходной величины у (t );

2, 5 – устройства сравнения. Вырабатывают сигнал рассогласования (ошибки) е (t ) между входным сигналом и сигналом главной обратной
связи;

3 – преобразующее устройство;

4, 8 – корректирующие устройства. Повышают качество управления;

6 – усилительное устройство;

7 – исполнительное устройство;

9 – измерительное устройство;

10 – согласующее устройство. Вырабатывает сигнал, находящийся в определенной функциональной зависимости от регулируемой переменной;

11 – объект управления.

Таким образом, упрощенно любую САУ можно представить следующим образом (рис. 2).

Рис. 2. Упрощенная схема САУ

Задачи теории САУ

Теория автоматического управления изучает общие принципы построения САУ и методы их исследования независимо от физической природы процессов.

Можно выделить две задачи.

1. Задача анализа: исследование статических и динамических свойств системы.

2. Задача синтеза: разработка новых систем, удовлетворяющих заданным техническим требованиям.

При решении этих задач исследуются следующие вопросы.

1. Формирование функциональной и структурной схем САУ.

2. Построение статических и динамических характеристик отдельных звеньев и системы в целом.

3. Определение ошибок управления и показателей точности замкнутой системы.

4. Исследование устойчивости системы.

5. Оценка качественных показателей процесса управления.

6. Синтез корректирующих устройств и оптимизация параметров системы.

3. Дифференциальные уравнения и
передаточные функции

Для анализа систем необходимо иметь их математическое описание. Обычно это дифференциальные уравнения (ДУ). Если в этом уравнении используются производные входных и выходных величин, то это уравнение динамики. Если положить нулю производные входных сигналов, – это уравнение статики (описание системы в установившемся режиме). Эти уравнения составляются на основе физических законов.

В общем случае полученные уравнения являются нелинейными. Для упрощения анализа применяют те или иные методы линеаризации, например, разложение в ряд Тейлора.

В общем виде линейное дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

В теории автоматического управления принята стандартная форма записи дифференциальных уравнений: – производная заменяется на оператор p, коэффициент при выходной величине должен быть равен 1.

Например, для уравнения второго порядка:

Параметр K называется коэффициентом передачи (коэффициент усиления). Это отношение выходной величины к входной в установившемся режиме.

Параметр Т – постоянная времени.

Такой вид представляет первую форму описания САУ.

Кроме описания во временной области, системы описываются передаточными функциями . Чтобы получить передаточную функцию нужно использовать разложение Лапласа

,

где р = с + jd – комплексное число;

f (t ) – оригинал;

F (p ) – изображение по Лапласу.

Соответственно и дифференциальное уравнение можно преобразовать и записать относительно изображений (см. пример выше):

Это вторая форма описания САУ.

Передаточная функция – это отношение изображений выходной и входной величины, найденное из вышерассмотренного уравнения:

.

Для исследования частотных свойств САУ используется частотная передаточная функция. Для ее получения используется преобразование Фурье. При этом оператор p = j w, а частотная передаточная функция записывается в виде W (j w). Такое представление является третьей формой описания систем.

Характеристики САУ

Существуют различные методы исследования САУ или отдельных ее звеньев. Один из них заключается в анализе реакции системы или звена на внешнее воздействие.

В качестве внешних воздействий используют стандартные сигналы. В теории САУ используют три вида сигнала.

1. Единичное входное воздействие 1(t ) (рис. 3).

Рис. 3. Единичное входное воздействие

2. d-импульс – сигнал нулевой ширины и бесконечной амплитуды – d(t ), причем его площадь равна 1 (рис. 4)

.

Рис. 4. Дельта-импульс

Такая функция является математической абстракцией. Практически таким сигналом считается короткий импульс большой мощности.

d-импульс математически связан с сигналом 1(t ):

.

3. А sinwt , причем для простоты А = 1.

Соответственно, на каждый из этих стандартных сигналов существует определенная реакция САУ.

1. Реакцией САУ или звена на единичное входное воздействие называется переходная характеристика или переходная функция h (t ) (рис. 5).

Рис. 6. Пример весовой функции САУ

При использовании преобразования Лапласа получим следующие соотношения:

.

Преобразованием Лапласа от весовой функции является передаточная функция.

Весовая функция и переходная характеристика связаны простым соотношением

.

Описание САУ во временной области через весовую функцию эквивалентно описанию передаточной функцией в области изображений.

Можно найти реакцию системы на произвольный входной сигнал. Для этого можно воспользоваться интегралом Дюамеля или интегралом свертки

.

3. Если используется входной сигнал вида А sinwt , то говорят о частотных характеристиках системы.

Частотные характеристики – это выражения и графические зависимости, выражающие реакцию исследуемой САУ на сигнал вида А sinwt при различных значениях частоты w.

На выходе САУ сигнал будет иметь вид

где A (t ) – амплитуда сигнала, j(t ) – сдвиг фазы.

Частотную передаточную функцию для получения частотных характеристик можно представить в следующем виде:

;

, (1)

где u (w) и v (w) – действительная и мнимая части комплексного выражения.

Вещественная часть состоит из четных степеней частоты w, а мнимая – из нечетных.

Эту функцию можно представить графически на комплексной плоскости. Такое изображение называется годографом (рис. 7) или амплитудно-фазовой характеристикой. Кривая строится путем получения точек на плоскости при задании определенных значений частоты w и расчете u (w) и n(w).

Для получения графика в случае отрицательных частот необходимо сделать зеркальное отображение имеющейся характеристики относительно действительной оси.

Рис. 7. Годограф или амплитудно-фазовая характеристика системы

Аналогичным образом можно построить отдельно графики длины вектора А (w) и угла поворота j(w). Тогда получим амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

На практике часто используют логарифмические характеристики. Логично использовать натуральный логарифм

Однако на практике используют десятичные логарифмы и получают логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ ) (рис. 8) и логарифмическую фазо-частотную (ЛФЧХ ) характеристики (рис. 9).

Рис. 9. Пример ЛФЧХ системы

При вычислении логарифмической фазочастотной характеристики используется (1).

При построении графиков по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Так как при вычислении значений ЛАЧХ в выражениях используются зависимости от степени w, то график имеет стандартный наклон, кратный 20 дБ/дек. Дек – декада, т. е. изменение частоты на порядок.

Теоретически точка w = 0 на оси частот должна быть слева в бесконечности, но для практических расчетов ось ординат сдвигают вправо.

Логарифмические характеристики имеют следующие достоинства:

– простота построения;

– легкость получения ЛАЧХ системы из ЛАЧХ звеньев путем геометрического сложения;

– простота анализа САУ.

Законы управления

Это алгоритмы или функциональные зависимости, в соответствии с которыми формируется управляющее (регулирующее) воздействие.

u (t ) = F (x (t ), g (t ), f (t )),

где x (t ) – ошибка;

g (t ) – задающее воздействие;

f (t ) – возмущающее воздействие.

u (t ) = F 1 (x ) + F 2 (g ) + F 3 (f ),

где F 1 (x ) – управление по отклонению или ошибке;

F 2 (g ) и F 3 (f ) – управление по соответствующему воздействию.

Обычно рассматриваются линейные законы относительно в ДУ.

Различают несколько типовых законов управления.

1. Пропорциональное управление.

В цепи управления находится пропорциональное (статическое)
звено.

В установившемся режиме:

,

где K – общий коэффициент усиления системы;

y УСТ – установившееся значение выходной величины;

x 0 – постоянное значение ошибки.

Для замкнутой САУ найдем установившееся значение ошибки по формуле (3):

где g 0 – постоянное входное воздействие;

x f УСТ – установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.

Анализ выражения показывает, что установившаяся ошибка уменьшилась в (1 + K ) раз, но в принципе не равна 0.

2. Интегральное управление.

В этом случае имеет место зависимость между ошибкой и скоростью изменения регулирующего (управляющего) воздействия

;

В составе САУ обязательно имеются интегрирующие звенья.

Установившееся значение ошибки находим по формуле (3).

Первое слагаемое равно 0, второе зависит от значения числителя, поэтому для него применим выражение

.

При отсутствии возмущающего воздействия общее значение установившейся ошибки равно нулю.

Система является астатической по задающему воздействию или обладает астатизмом первого порядка. Однако, если задающее воздействие переменно (скорость его изменения не равна 0), то установившаяся ошибка будет иметь ненулевое значение.

Для устранения ошибки по скорости в САУ необходимо добавить еще один интегратор.

Такой подход имеет недостаток: при наличии большого количества интеграторов процесс управления замедляется и изменяется устойчивость системы.

3. Управление по производной (дифференциальное).

Процесс управления описывается соотношениями:

;

.

Процесс управления начинает действовать, когда ошибка еще равна 0, а ее производная отлична от 0. В установившемся режиме и цепь управления разрывается, следовательно, данный закон не имеет самостоятельного значения. Используется как дополнение к другим. Он обеспечивает быструю реакцию САУ в переходном режиме.

4. Изодромное управление.

Возможно использование всех вышеперечисленных законов одновременно. Закон управления в этом случае имеет вид:

.

Такое управление сочетает достоинства всех рассмотренных законов. Например, при линейно изменяющемся входном воздействии (рис. 28) в начальный момент (участок I) действует управление по производной, затем больший вклад вносит пропорциональное управление, после момента времени t 0 (участок II) существенно интегральное управление.

Рис. 28. Законы управления в САУ

9. Процесс управления и требования к нему

Процесс управления во времени определяется решением дифференциального уравнения динамики замкнутой системы. При этом можно определить требования к системе по трем основным направлениям.

1. Принципиальная оценка возможности перехода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем воздействии. Это оценка устойчивости системы.

2. Оценка качества переходного процесса.

3. Оценка точности системы в установившемся состоянии.

Рассмотрим каждый из этих пунктов.

Критерии устойчивости

Критерии устойчивости можно разбить на две большие группы.

1. Алгебраические.

2. Частотные.

Рассмотрим их подробнее.

Показатели качества

Требования к качеству процесса управления в каждом конкретном случае могут быть различными, но как правило, оценивается характер переходного процесса при единичном ступенчатом воздействии (рис. 40).

Рис. 40. Показатели качества переходного процесса

Используются следующие показатели качества переходного
процесса.

1. t РЕГ – время регулирования (длительность переходного процесса), время, в течение которого, начиная с момента приложения входного воздействия, отклонение выходной величины от ее установившегося значения, становится меньше наперед заданного значения ∆. Обычно выбирается ∆ = 5% от х УСТ.

2. Перерегулирование:

.

3. Колебательность – число полных колебаний выходной величины за время регулирования.

4. Установившаяся ошибка – это разность между задающим воздействием и установившимся значением выходной величины.

Метод Солодовникова

Здесь вводится понятие типовой единичной трапецеидальной вещественной характеристики. Ее высота равна 1, частота среза (частота положительности) w п =1 (рис. 41).

Рис. 41. Типовая единичная трапецеидальная вещественная характеристика

Для данной трапеции существуют таблицы связи выходной величины х (t ) от коэффициента наклона c = w а / w п.

Метод заключается в выполнении следующей последовательности действий.

1. Строится график вещественной части частотной передаточной функции замкнутой системы.

2. График разбивается на трапеции. Эта процедура представлена на рис. 42. В данном примере получилось три типовые трапеции.

Рис. 42. Разбиение графика вещественной характеристики на трапеции

3. Для каждой трапеции по таблицам находятся значения выходного процесса x 1 (t ), x 2 (t ), x 3 (t ).

4. Находится результирующий график выходного сигнала путем сложения графиков x 1 (t ), x 2 (t ), x 3 (t ).

Так как таблицы разработаны для единичной трапеции, то при построении переходного процесса для каждой трапеции, необходимо использовать правила (формулы) перехода к реальному значению отсчетов выходного сигнала.

1. Получение установившегося значения P (0) = x (∞) = x УСТ.

2. Получение действительной амплитуды сигнала

3. Изменение масштаба времени .

Показатели качества переходного процесса можно приближенно оценить по вещественной частотной характеристике замкнутой системы, не выполняя вышерассмотренных вычислений. Все разновидности графика этой характеристики представлены на рис. 43.

Рис. 43. Типовой вид графиков вещественной характеристики

1 – график характеристики имеет «горб»;

2 – «горба» нет, производная и принимает различные значения;

3 – «горба» нет, и монотонно убывает.

В случае 1 переходный процесс х (t ) имеет перерегулирование, причем его величина более 18%.

В случае 2 переходный процесс х (t ) имеет перерегулирование, причем его величина менее 18%.

В случае 3 процесс управления монотонный.

По графику можно приближенно определить и время переходного процесса

,

где w СЧ – диапазон существенных частот. Характеристика Р (w) в этом диапазоне превышает некоторый уровень e. Обычно e = 5%.

Показатель колебательности

Этот параметр используется для определения запаса устойчивости. Его можно вычислить по значению модуля частотной передаточной функции замкнутой системы

.

Показатель колебательности равен отношению и представлен на рис. 44.

Рис. 44. Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы

Это относительная высота резонансного пика. Для упрощения расчетов считается, что М (0) = 1. При этом М К = М MAX .

Физически показатель колебательности – это отношение максимальных значений выходного и входного сигналов САУ.

Чем меньше запас устойчивости САУ, тем больше склонность системы к колебаниям, тем выше резонансный пик. Обычно показатель колебательности лежит в диапазоне 1,1 … 1,5.

M k можно определить по виду частотной характеристики разомкнутой системы, пользуясь передаточной функцией разомкнутой системы

.

Представив W (j w) через действительную U и мнимую V части, получим:

;

Данные соотношения описывают окружность, причем С – вещественная координата ее центра; R – радиус.

На комплексной плоскости можно построить семейство окружностей с этими параметрами, зависящими от М . На этот график наносится годограф разомкнутой системы (рис. 45).

Рис. 46 Построение графика модуля частотной передаточной функции
замкнутой системы

Иногда достаточно определить максимальное значение М MAX (по касанию АФХ соответствующей окружности).

Возможно решение обратной задачи: задается допустимое значение показателя М ДОП. Необходимо соответствующим образом спроектировать систему.

Для выполнения этого условия нужно обеспечить, чтобы годограф САУ не заходил в область, ограниченную окружностью с заданным значением М (рис. 47).

Рис. 47. Допустимая зона параметров САУ по показателю колебательности

Синтез линейных САУ

Способы синтеза САУ

Главные цели проектирования САУ – обеспечение устойчивости системы и обеспечение требуемого качества переходного процесса.

Достичь этих целей можно двумя способами.

1. Изменение параметров системы, т. е. изменение параметров звеньев (коэффициент усиления, постоянная времени). В ряде случаев такой подход не приводит к желаемому результату.

2. Изменение структуры системы. Обычно это введение дополнительных устройств или блоков (корректирующих устройств).

Рассмотрим подробнее второй подход.

В теории САУ различают 4 вида корректирующих устройств.

1. Последовательные корректирующие устройства (корректирующие фильтры).

2. Параллельные корректирующие устройства, обычно в виде местной обратной связи.

3. Корректирующие устройства по внешнему воздействию.

4. Неединичная главная обратная связь.

Задание

Необходимо выполнить следующие действия.

1. Описать работу системы.

2. Определить передаточные функции элементов системы.

3. Составить структурную схему системы.

4. Построить логарифмические характеристики разомкнутой
системы.

5. Определить устойчивость и запас устойчивости по амплитуде и фазе.

6. С помощью критерия Гурвица определить критическое значение добротности системы без обратной связи.

7. Ввести скоростную обратную связь.

8. Найти минимальное значение коэффициента скоростной обратной связи, необходимого для устойчивости системы.

9. Найти оптимальное значение коэффициента скоростной обратной связи, необходимого для обеспечения показателей качества переходного процесса системы.

Исходная схема САУ (рис. 59):

Рис. 59. Исходная схема системы

где СП – сельсинная пара;

Р – редуктор;

Д – двигатель;

ОУ – объект управления;

У – усилитель;

КО – командная ось;

ИО – исполнительная ось;

α – угол поворота сельсин-датчика – это командное воздействие;

β – угол поворота двигателя;

γ – угол поворота редуктора – это исполнительное воздействие;

U 1 – выходной сигнал СП;

U 2 – выходной сигнал У;

Параметры САУ:

U MAX – максимальное напряжение на выходе сельсин-трансфор­матора;

k У – коэффициент усиления У;

T У – постоянная времени У;

U У – номинальное напряжение на обмотке управления двигателя;

N XX – число оборотов в минуту при холостом ходе двигателя и при номинальном напряжении двигателя;

T Д – постоянная времени Д;

i – передаточное число редуктора;

S ТГ – крутизна выходной характеристики тахогенератора;

t РЕГ – время регулирования;

s – величина перерегулирования;

n – число полных колебаний выходного сигнала.

Исходные данные:

k У = 900;

T У = 0.01 с;

T Д = 0.052 с;

i = 1.2 × 10 3 ;

U MAX = 5 В;

U У = 30 В;

N XX = 10000 об/мин;

S ТГ = 0.001 В × с/рад;

t РЕГ £ 1 с;

n = 1,5.

Описание работы системы

Из схемы системы, приведённой в задании видно (см. рис. 59), что задающим устройством является командная ось, вращаемая сельсин-датчиком по произвольному закону α = α(t ). Тот же самый закон угла поворота во времени α(t ) = γ(t ) должен быть автоматически воспроизведён на выходе системы, т. е. на объект управления и на исполнительную ось. Если углы поворота командной и исполнительной оси не равны, (α(t ) ¹ γ(t )), то на выходе сельсинной пары возникает напряжение рассогласования U 1 . Величина U 1 зависит от величины углов поворота командной и исполнительной осей. Напряжение U 1 поступает на вход усилителя, на выходе которого возникает напряжение U 2 , поступающее на обмотку управления двигателя. В результате этого начинает вращаться ротор двигателя в сторону уменьшения ошибки рассогласования (θ = α – γ) до согласования двух осей. То есть поворот ротора двигателя через редуктор задаёт новый закон угла поворота исполнительной оси. Ротор двигателя будет вращаться до тех пор, пока ошибка рассогласования не будет сведена к нулю, после чего он остановится. Таким образом, система охвачена отрицательной обратной связью.

Случайные процессы в САУ

Основные понятия

Выше были изучены процессы работы САУ при поступлении на ее вход детерминированных сигналов.

Во многих случаях входной сигнал может принимать случайные значения. При этом можно оценивать только вероятностные характеристики.

Пример случайного воздействия: следящая система доплеровского измерителя скорости. Спектральные характеристики процессов САУ в этом случае представлены на рис. 66.

Доплеровская частота W зависит не только от скорости движения объекта, но и от угла падения луча и вида подстилающей поверхности, поэтому носит случайный характер. При этом спектральная характеристика принимаемого сигнала имеет амплитуду S W и ширину Dw, изменяющуюся случайным образом.

Рис. 66. Спектральные характеристики случайных процессов САУ

w 0 – излучаемая частота;

w П – принимаемая частота;

Dw – ширина спектра.

Расчеты по минимуму ошибки

Если на систему одновременно действует полезный сигнал и помеха, то может быть решена задача оптимального расчета системы с тем, чтобы обеспечить наименьшую результирующую ошибку системы.

Критерием является минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой сигналом и помехой. Для случайных процессов обычно ограничиваются оценкой среднеквадратической ошибки. Необходимо обеспечить минимум среднеквадратической ошибки при одновременном действии сигнала и помехи.

Критерий выглядит следующим образом:

.

Нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины.

Возможны две формулировки данной задачи.

1. Имеется САУ заданной структуры. Необходимо так выбрать ее параметры, чтобы обеспечить минимум СКО при заданных статистических параметрах сигнала и ошибки.

Решение ищется следующим образом: зная спектральную плотность ошибки, теоретически находится выражение для расчета дисперсии и СКО. Это выражение зависит от параметров системы, полезного сигнала и помехи. Ищутся условия на параметры системы для обеспечения минимума дисперсии. В простых случаях можно применить известные методы нахождения экстремума функции путем дифференцирования и приравнивания к нулю частных производных.

2. Ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры системы и параметров звеньев для получения теоретически минимальной среднеквадратической ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи.

Решение следующее: находится теоретическая передаточная функция замкнутой системы, и к ней стремятся при проектировании. Возможна ситуация, что реализация САУ с такой оптимальной передаточной функцией будет сопряжена со значительными трудностями.

Нелинейные САУ

Анализ нелинейных САУ (НСАУ) представляет собой достаточно трудную задачу. При ее решении стремятся свести такую САУ к линейной с определенными допущения и ограничениями.

К таким системам относятся те, в которых имеется хотя бы одно звено, описываемое нелинейными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные звенья могут быть следующих видов:

Релейного типа;

С кусочно-линейной характеристикой;

С криволинейной характеристикой любого очертания;

Имеется произведение и другие комбинации переменных;

Нелинейное звено с запаздыванием;

Импульсное звено;

Логическое;

Описываемое кусочно-линейным дифференциальным уравнением.

Нелинейности могут быть статические и динамические. Статические описываются нелинейными статическими характеристиками, а динамические – нелинейными дифференциальными уравнениями.

Фазовое пространство

Для наглядного представления процессов нелинейных САУ вводится понятие «фазовое пространство», которое заключается в следующем.

Дифференциальное уравнение замкнутой системы n -го порядка заменяется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

,

где x 1 – выходная величина;

x 2 – x n – вспомогательные переменные;

f , g – входные воздействия (возмущающее и задающее);

x 10 = x 1 (t = 0), x 20 = x 2 (t = 0) … – начальные условия.

Эти дифференциальные уравнения можно представить геометрически в n -мерном пространстве. Например, при n = 3 (рис. 75).

Рис. 75. Трехмерное фазовое пространство

В реальном процессе управления в каждый момент времени величины x 1 , x 2 , x 3 имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве. Точка М называется изображающей. С течением времени величины x 1 , x 2 , x 3 изменяются, точка М перемещается по определенной траектории, показывая так называемую фазовую траекторию. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения САУ в процессе управления.

Рассмотрим пример фазовых траекторий некоторых линейных САУ. Пусть они описываются уравнением . В зависимости от параметров ДУ возможно несколько случаев. Некоторые из них представлены на рис. 76.

Рис. 76,а соответствует комплексным корням с отрицательной вещественной частью (наличие затухающего переходного процесса), случай рис. 76,б показывает фазовую траекторию апериодического затухающего процесса при отрицательных вещественных корнях характеристического уравнения.

ДУ представляют собой выражения для проекций скорости изображающей точки М на óси координат. Поэтому по значениям правых частей уравнений в каждый момент времени можно судить о движении точки М , и, следовательно, о поведении реальной НСАУ в процессе управления.

Фазовая траектория – это качественная характеристика НСАУ. Для определения количественных значений выходных сигналов необходимо решать дифференциальные уравнения в каждой точке.

Если дифференциальные уравнения составлены для отклонений выходного сигнала от установившихся значений, то для устойчивой системы фазовая кривая будет стремиться в начало координат.

а)

Рис. 76. Примеры фазовых траекторий

Устойчивость по Ляпунову