Mathcad conține funcții pentru a efectua transformarea Fourier rapidă discretă (FFT) și inversarea acesteia. Mathcad PLUS are, de asemenea, o transformare de undă discretă 1D și inversarea acesteia. Toate aceste funcții au argumente vectoriale. La definirea unui vector v pentru a găsi unda sau transformata Fourier, asigurați-vă că primul element al vectorului are indice zero: v 0 . Dacă v 0 nu este definit, Mathcad îl setează automat la 0. Acest lucru poate duce la rezultate distorsionate.

Introducere în transformata Fourier discretă

• argumentele sunt reale și
• vectorul de date are 2 m elemente.

Utilizați caracteristici cfftȘi icftîn toate celelalte cazuri.
Prima condiție este necesară deoarece funcțiile fft/ifft folosiți faptul că pentru date reale a doua jumătate a transformării Fourier este conjugatul complex al primei. Mathcad renunță la a doua jumătate a vectorului rezultat. Acest lucru economisește timp și memorie în calcule.

Câteva funcții cfft/icfft nu folosește simetria în transformare. Din acest motiv, este necesar să le folosiți pentru date complexe. Deoarece numerele reale sunt un subset al numerelor complexe, puteți folosi și perechea cfft/icfft pentru numere reale.

A doua condiție este necesară deoarece perechea de funcții fft/ifft folosește un algoritm de transformare rapidă Fourier extrem de eficient. Pentru aceasta, vectorul de argument folosit cu fft, trebuie să aibă elemente de 2 m. În funcții сfft/icfft se folosește un algoritm care acceptă ca argumente atât matrice, cât și vectori de mărime arbitrară. Când această pereche de funcții este utilizată cu o matrice ca argument, se calculează o transformată Fourier 2D.

Rețineți că dacă funcția este utilizată fft pentru conversia directă, trebuie să utilizați funcția ift pentru invers. În mod similar, dacă se utilizează conversia directă cfft, apoi pentru invers este necesar să se folosească icft.

Diferite formulări ale definiției transformării Fourier utilizează diferiți coeficienți de normalizare și convenții de semn în fața unității imaginare în exponentul transformărilor directe și inverse. Funcții fft, ifft, cfftȘi icft utilizați 1/ ca factor de normalizare și un exponent pozitiv în conversia directă. Funcții FFT , IFFT , CFFT Și ICFFT utilizați 1/N ca factor de normalizare și un exponent negativ în conversia directă. Trebuie să utilizați aceste funcții în perechi. De exemplu, dacă este folosit CFFTîn conversie directă, necesar utilizare ICFFTîn sens invers.

Transformată Fourier în domeniul real

Elemente din vector returnate de funcție fft, corespund diferitelor frecvențe. Pentru a reconstrui frecvența reală, este necesar să se cunoască frecvența de măsurare a semnalului original. Dacă v Există n-vector dimensional trecut funcţiei fftși frecvența de măsurare a semnalului original - fs, atunci frecvența corespunzătoare este egală cu

Rețineți că acest lucru face imposibilă detectarea frecvențelor peste frecvența de măsurare a semnalului original. Aceasta este o limitare impusă nu de Mathcad, ci de însăși esența problemei. Pentru a reconstrui corect un semnal din transformarea lui Fourier, este necesar să se măsoare semnalul inițial la o frecvență de cel puțin două ori lățimea de bandă. O discuție completă despre acest fenomen depășește scopul acestui ghid, dar poate fi găsită în orice manual de procesare a semnalului digital.

Transformată Fourier în domeniul complex

• Datele pot fi cu valoare complexă. Aceasta înseamnă că Mathcad nu mai poate folosi simetria care există în cazul real.
• Vectorul de date poate avea o dimensiune diferită de 2 m. Aceasta înseamnă că Mathcad nu poate profita de algoritmul FFT extrem de eficient utilizat de pereche fft/ifft.

Figura 3: Utilizarea transformărilor rapide Fourier în Mathcad.

Pereche de transformări cfft/icfft poate lucra cu matrice de orice dimensiune. Cu toate acestea, ele sunt mult mai rapide atunci când numărul de rânduri și coloane poate fi reprezentat ca produsul unui număr mare de factori mai mici. De exemplu, vectorii cu lungimea de 2m sunt în această clasă, la fel ca și vectorii cu lungimi ca 100 sau 120. Pe de altă parte, un vector a cărui lungime este un număr prim mare va încetini calculul transformării Fourier.

Funcții cfftȘi icft sunt inverse unul față de celălalt. Adică icfft(cfft(v))=v. Figura 3 prezintă exemple de utilizare a transformării Fourier în Mathcad.

Când ca argument cfft matricea este utilizată, rezultatul este transformata Fourier bidimensională a matricei originale.

Forme alternative ale transformării Fourier

Funcții FFT, IFFT, CFFTȘi ICFFT sunt utilizate în mod similar cu funcțiile discutate în secțiunea anterioară.

transformarea valurilor

P

Glushach V.S. UIT-44

Stăpânirea muncii în MathCad. Dobândirea abilităților în utilizarea transformării Laplace pentru a analiza componentele spectrale ale semnalelor. Studiul scărilor de timp și frecvență ale seriilor temporale și transformării Fourier.

1. Generam o serie temporala de trei sinusoide. Numărul de puncte ar trebui să fie 2^n

2. Determinați media, varianța.

3. Facem o transformare directă și inversă F. Semnalul de două ori convertit este suprapus pe graficul seriei temporale originale.

4. Găsiți relația dintre scara seriei de timp de-a lungul axei timpului și transformata Fourier de-a lungul axei frecvenței.

1. Alegem discretitatea în timp dt și numărul de puncte din seria temporală sub forma nl:= 2 k

Fie k:= 9 nl:= 2 k nl=512 Lungimea probei în timp T:=512

W ag de Or, dat fiind că nl-1

timpul este aproximativ egal cu nl Atunci i:=0..nl-l t. := i*dt

2. Generăm semnalul de intrare x ca sumă a trei semnale armonice și determinăm statisticile sale principale.

A1:= 1 f1:= 0,05 xl i:= Al-sin/2*3,14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0,012 s1:=stdev(x1) s1=0,706

A2:= 0,5 f2:= 0,1 x2 i:= A2-sin/2*3,14*f2*t i) sr2:= medie(x2) sr2 = 3,792x10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0,353

A3:= 0,25 f3:= 0,4 x3 i:= A3-sin/2*3,14*f3*t i) sr3:= medie(x3) sr3 = 3,362x10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0,177

x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= medie(x) sry = 0,013 sy:= stdev(x) sy = 0,809

1. Transformată Fourier directă în MathCad F:= fft(x)

Perioada maximă a componentei armonice care poate fi în seria de timp este egală cu lungimea probei. Această componentă armonică corespunde frecvenței minime posibile pe scara de frecvență a transformării Fourier frnin și, în consecință, pasului de-a lungul axei frecvenței transformării Fourier df.

Tmax:= Tfrnin:=
df:= frnin df = 1,953 x 10 -3

Astfel, frecvența minimă și treapta de frecvență a transformării Fourier sunt frnin =df = 1/T.

Transformata Fourier are un număr de ordonate în frecvență de două ori mai mic decât numărul de ordonate din seria temporală în timp n2=nl/2 sau inclusiv punctul zero (unde transformata Fourier nu este definită)

n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2

Indicele de frecvență curent se modifică de la j=l la j=n2

În acest caz, frecvența se modifică de la fmin =df= 1/T Frecvența maximă finax:= n2*df fmax = 0,502

la frnax=n2*df Frecvenţa curentă f i:= i*df

f 1 \u003d 1,953 x 10 -3 f 257 \u003d 0,502

DESPRE rețineți că transformata Fourier este definită numai pentru frecvențele din intervalul f=finin până la f=fmax.

În acest caz, vârfurile de pe graficul spectrului Fourier corespund frecvențelor sinusoidelor originale, adică transformata Fourier vă permite să selectați componentele de frecvență ale semnalului. Dar amplitudinile componentelor armonice nu reflectă acum amplitudinile componentelor seriei temporale originale (unde A1=1, A2=0,5, A3=0,25)

Să remarcăm, de asemenea, că pentru dt =1 frecvența maximă în spectrul transformării Fourier este egală cu frnax=0,5 oscilații per unitate de scară de timp. Pentru dt = 1 sec, aceasta corespunde cu fmax = 0,5 Hz. În acest caz, perioada de frecvență maximă este Tfmax=1/0,5=2. Aceasta înseamnă că există două mostre ale seriei de timp pentru o perioadă de frecvență maximă. Aceasta corespunde teoremei Kotelnikov, conform căreia, pentru a restabili un semnal armonic continuu de la unul discret fără pierderi de informație, trebuie să existe cel puțin două eșantioane în timp pentru o perioadă.

3. Să verificăm coincidența seriei de timp înainte și după transformarea Fourier dublă. Pentru a face acest lucru, obținem transformata Fourier inversă din transformarea directă obținută. Trebuie să se potrivească cu seria temporală inițială, care este confirmată de următorul grafic FF:= ifft(F)

Secțiunea anterioară a descris capacitățile procesorului simbolic Mathcad, care vă permite să efectuați o transformată Fourier analitică a unei funcții dată de o formulă. Între timp, un strat uriaș de probleme în matematica computațională este asociat cu calculul integralelor Fourier pentru funcții, fie date tabelar (de exemplu, reprezentând rezultatele unui experiment), fie funcții care nu pot fi integrate analitic. În acest caz, în locul transformărilor simbolice, trebuie să folosim metode de integrare numerică asociate cu discretizarea integrandului și, prin urmare, numite transformată Fourier discretă.

În procesorul numeric Mathcad, transformarea Fourier discretă este implementată folosind cel mai popular algoritm de transformare Fourier rapidă (abreviat ca FFT). Acest algoritm este implementat în mai multe funcții Mathcad încorporate care diferă doar prin normalizare:

• fft(y) - vector direct de transformare Fourier;
• FFT (y) - vector al transformării directe Fourier într-o normalizare diferită;
• ifft (w) - vector de transformată Fourier inversă;
• IFFT (w) este vectorul transformării Fourier inverse într-o normalizare diferită:
  • y este un vector de date reale luate la intervale egale de valori ale argumentului;
  • w este un vector de date reale din spectrul Fourier luate la intervale regulate de valori ale frecvenței.

Atenţie!
Argumentul transformării directe Fourier, adică vectorul y, trebuie să aibă exact 2n elemente (n este un număr întreg). Rezultatul este un vector cu 1+2 n-1 elemente. Invers, argumentul transformării Fourier inversă trebuie să aibă 1+2 n-1 elemente, iar rezultatul său va fi un vector de 2 n elemente. Dacă numărul de date nu se potrivește cu puterea lui 2, atunci trebuie să completați elementele lipsă cu zerouri.

Lista 4.14 prezintă un exemplu de calcul al spectrului Fourier pentru funcția model f (x), care este suma a două sinusoide de amplitudini diferite (graficul de sus din Fig. 4.10). Calculul se efectuează pe N=128 de puncte și se presupune că intervalul de eșantionare a datelor y i este egal cu h. În penultima linie a listării, valorile corespunzătoare ale frecvențelor W sunt corect determinate, iar în ultima linie este utilizată funcția FFT încorporată. Graficul rezultat al spectrului Fourier este prezentat în fig. 4,10 (jos). Rețineți că rezultatele calculului sunt prezentate sub forma modulului său, deoarece spectrul în sine, așa cum sa menționat deja, este complex. Este foarte util să comparați amplitudinile obținute și locația vârfurilor spectrului cu definiția sinusoidelor de la începutul listării.

Notă
Mai mult informatii detaliate despre proprietățile și practica aplicării transformării Fourier, veți găsi în capitolul 14.

Lista 4.14. Transformată Fourier discretă (algoritm FFT) a semnalului modelului:

Orez. 4.10. Funcția model și transformarea sa Fourier (continuare din Lista 4.14)

Deoarece rezultatul formulelor de interpolare ale lui Newton și Lagrange este același polinom de ordinul N, atunci eroarea lor se comportă la fel.

Exemplul 3.4. Pentru datele inițiale utilizate în Exemplul 3.1, se calculează valoarea polinomului Newton. În primul rând, completăm tabelul diferențelor împărțite:

Folosind formula lui Newton, obținem:

P 3 (1)= –1+0,6 1+(–0,1) 1 (–1)+0,0857 1 (–1) (–2)= –0,129.

3.6 Seria Fourier

Seria Fourier vă permite să studiați atât funcțiile periodice, cât și neperiodice, prin descompunerea lor în componente. Curenții și tensiunile alternative, deplasările, viteza și accelerația mecanismelor manivelei, undele acustice sunt exemple practice tipice de aplicare a funcțiilor periodice în calculele inginerești. În ceea ce privește procesarea semnalului, transformata Fourier ia o reprezentare în serie de timp a unei funcții de semnal și o mapează la spectrul de frecvență. Adică transformă o funcție a timpului într-o funcție a frecvenței; este descompunerea unei funcții în componente armonice la frecvențe diferite. Transformarea Fourier poate reprezenta un semnal care variază în timp ca dependență de frecvență și amplitudine și oferă, de asemenea, informații despre fază (Fig. 3.4).

Expansiunea seriei Fourier se bazează pe presupunerea că toate funcțiile de importanță practică din intervalul π ≤ x ≤ π pot fi exprimate ca serii trigonometrice convergente (o serie este considerată convergentă dacă converge o succesiune de sume parțiale compuse din termenii săi).

Conform ipotezei Fourier, nu există nicio funcție care să nu poată fi extinsă într-o serie trigonometrică. Extindem funcția f (t) într-o serie pe intervalul [–π, π]

f (t) \u003d a 0 / 2 + a 1 cos (t) + a 2 cos (2t) + a 3 cos (3t) + ... + b 1 sin (t) + b 2 sin (2t) + b 3 sin (3t )+…,

unde cele n-ele elemente ale seriei sunt exprimate ca

Orez. 3.4. Ilustrație de expansiune Fourier

Se numesc coeficienții a n și b n Coeficienții Fourier, iar reprezentarea funcției f (t ) prin formula (3.1) este Extinderea seriei Fourier. Uneori, expansiunea seriei Fourier, prezentată în această formă, este numită expansiune seria Fourier reală, iar coeficienții sunt numiți coeficienți Fourier reali (spre deosebire de expansiunea complexă).

Să analizăm expresiile (3.2) și (3.3). Coeficientul a 0 este valoarea medie a funcției f (t) pe segmentul [–π, π] sau componenta constantă a semnalului f (t). Coeficienții a n și b n (pentru n > 0) sunt amplitudinile componentelor cosinus și sinus ale funcției (semnal) f (t) cu o frecvență unghiulară egală cu n. Cu alte cuvinte, acești coeficienți stabilesc mărimea componentelor de frecvență ale semnalelor. De exemplu, când vorbim despre un bip cu frecvente joase(de exemplu, sunetele unei chitare bas), aceasta înseamnă că coeficienții a n și b n sunt mai mari pentru valori mai mici ale lui n și invers - în sunetul de înaltă frecvență

vibrațiile (de exemplu, sunetul unei viori) este mai mare când valori mari n.

Oscilația perioadei celei mai mari (sau a frecvenței celei mai joase), reprezentată de suma a 1 cos(t) și b 1 sin(t) se numește oscilație de frecvență fundamentală sau prima armonică. O oscilație cu o perioadă egală cu jumătate din perioada frecvenței fundamentale este a doua armonică, o oscilație cu o perioadă egală cu 1/n din frecvența fundamentală este n-armonica. Astfel, prin extinderea funcției f (t) într-o serie Fourier, putem face tranziția din domeniul timpului în domeniul frecvenței. O astfel de tranziție este de obicei necesară pentru a dezvălui caracteristicile semnalului care sunt „invizibile” în domeniul timpului.

Rețineți că formulele (3.2) și (3.3) sunt aplicabile pentru un semnal periodic cu o perioadă egală cu 2π. În cazul general, un semnal periodic cu perioada T poate fi extins într-o serie Fourier, apoi segmentul [–T /2, T /2] este utilizat în expansiune. Perioada primei armonice este egală cu T și componentele vor lua forma cos(2πt /T ) și sin(2πt /T ), componentele n-armonicii - cos(2πtn /T ) și sin(2πtn / T). Dacă notăm frecvența unghiulară a primei armonici ω0 = 2π/T , atunci componentele armonicii n iau forma cos(ω0 nt ), sin(ω0 nt ) și

Expansiunea Fourier este utilizată pentru analiza armonică sau spectrală a semnalelor periodice. Pentru analiza spectrală a semnalelor neperiodice, folosim transformata Fourier. Pentru a face acest lucru, reprezentăm seria (3.4) folosind sistemul de funcții de bază sub formă de exponențiali cu exponenți imaginari:

Omitând un număr de calcule, scriem expresia (3.6) sub forma

C () f (t ) exp(j t )dt .

Această formulă se numește transformată Fourier directă sau transformata Fourier. De obicei, transformata Fourier este notată cu aceeași literă (numai majuscule) ca și funcția aproximată (care este de obicei notă cu o literă mică).

F () f (t ) exp(j t )dt .

Funcția F (ω) se numește funcție densitatea spectrală(sau doar densitate spectrală, transformată Fourier, transformată Fourier). Domeniul funcției F (ω) în cazul general este mulțimea numerelor complexe.

Transformată Fourier inversă , oferind recuperare

Actualizarea funcției originale f(t) în raport cu funcția de densitate spectrală se calculează după cum urmează

f (t ) F () exp(j t )dt .

Transformată Fourier discretă (DFT, DFT - Discrete Fourier Transform) este una dintre transformările Fourier utilizate pe scară largă în algoritmii de procesare a semnalului digital (modificările sale sunt utilizate în compresia audio în MP3, compresie imagini în JPEG etc.), precum și în alte domenii legate de analiza frecvențelor într-un semnal discret (de exemplu, analog digitizat). Transformata Fourier discretă necesită o funcție discretă ca intrare. Astfel de funcții sunt adesea create prin discretizare (selectarea valorilor din funcții continue). Dezavantajul acestui algoritm este cantitatea mare de calcule repetitive. Eliminarea acestor operațiuni redundante duce la așa-numitul algoritm

transformată Fourier rapidă, care este folosită în mod obișnuit.

Transformare rapidă Fourier (FFT, FFT) - un algoritm pentru calcularea rapidă a transformatei Fourier discrete (DFT). Adică, algoritmul de calcul pentru numărul de acțiuni mai mic decât O(N 2 ) necesare pentru calculul direct (conform formulei) a DFT (N este numărul de valori ale semnalului măsurate pe perioada, precum și numărul de componente de expansiune). Uneori, FFT este înțeles ca unul din algoritmi rapizi, numiți algoritm de decimare frecvență/timp sau algoritm de bază 2.

Pentru a implementa transformata Fourier în pachetul MathCAD, este necesar să selectați operatorul Fourier pentru transformarea directă și invfourier pentru cel invers din panoul Simbolic. Acest operator trebuie plasat după funcția de convertit și, ca singur parametru, trebuie să specificați variabila în raport cu care această funcție va fi convertită. Exemple de utilizare a afișajului

noi fig. 3.5 pentru funcţia f (t) e 2 t şi în fig. 3.6, unde modulația amplitudine-frecvență este aplicată funcției f (t), iar apoi rezultatul este extins într-o serie.

Orez. 3.5. Exemplu de expansiune Fourier folosind funcția simbolică Fourier

Orez. 3.6. Exemplu de expansiune Fourier folosind funcția simbolică Fourier

MathCAD conține funcții pentru transformarea Fourier rapidă discretă (FFT) și inversarea acesteia. Există două tipuri de funcții pentru transformata Fourier discretă: fft și ifft , cfft și icfft . Aceste funcții sunt discrete: iau drept argumente și returnează vectori și matrice.

Funcțiile fft și ifft sunt utilizate dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: (1) argumentele sunt reale; (2) – vectorul de date are 2m elemente.

În toate celelalte cazuri, sunt utilizate funcțiile cfft și icfft.

Prima condiție este necesară deoarece funcțiile fft și ifft folosesc faptul că pentru date reale a doua jumătate a transformării Fourier este conjugatul complex al primei. MathCAD renunță la a doua jumătate a vectorului rezultat, ceea ce economisește timp și memorie în calcule. Perechea de funcții cfft și icfft nu utilizează simetria în transformare și poate fi folosită pentru numere reale și complexe.

A doua condiție este necesară deoarece perechea de funcții fft și ifft utilizează un algoritm de transformare Fourier rapidă foarte eficient. Pentru acest vector de argument, folosit-

Funcția fft, trebuie să fie formată din 2m elemente. Algoritmul funcțiilor cfft și icfft acceptă ca argumente vectori și matrice de dimensiuni arbitrare. Doar aceste funcții sunt utilizate pentru transformarea Fourier 2D. Funcțiile fft și ifft , cfft și icfft sunt reciproc inverse una față de cealaltă, adică este adevărat:

Pe fig. Figura 3.7 ilustrează utilizarea funcțiilor ff t(v) și ifft(v) pe un semnal de undă sinusoidală care a fost zgomot folosind funcția rnd(x), care generează numere aleatorii cuprinse între 0 și x .

Orez. 3.7. Transformarea Fourier directă și inversă cu funcții fft și ifft

Aceste grafice arată imaginea Fourier a semnalului c și compară semnalul original x cu cel reconstruit din imaginea Fourier. Mai multe detalii despre analiza Fourier pot fi găsite în și.

3.7 Cele mai mici pătrate

În toate metodele de mai sus de aproximare a unei funcții, condițiile de interpolare au fost îndeplinite întocmai. Totuși, în cazurile în care datele inițiale x i , f i , i= 1,…,N, sunt date cu o anumită eroare, se poate solicita doar o aproximație

condiţii de interpolare: |F(x i ) – f i |< . Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис. 3.8. Приблизим исходные данные глобальным полиномом. Если решать задачу интерполяции точно, то полином должен иметь степень N . При рассмотрении полинома Лагранжа мы выяснили, что полином N –й степени хорошо приближает исходную функцию только при небольших значениях N .

Orez. 3.8. Îndeplinirea aproximativă a condițiilor de interpolare

Vom căuta un polinom de grad scăzut, de exemplu, P 3 (x)=a 1 +a 2 x+a 3 x 2 +a 4 x 3 . Dacă N >4, atunci problema exactă nu are soluții: pentru patru coeficienți necunoscuți (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) condițiile de interpolare dau N >4 ecuații. Dar acum nu este necesară îndeplinirea exactă a condițiilor de interpolare, dorim ca polinomul să treacă lângă punctele date. Există multe astfel de polinoame, fiecare dintre acestea fiind definit de propriul său set de coeficienți. Dintre toate polinoamele posibile de acest tip, îl alegem pe cel care are cea mai mică abatere standard la nodurile de interpolare din valorile date, adică. polinomul trebuie să fie cel mai apropiat de punctele date dintre toate polinoamele posibile de gradul trei în sensul metoda celor mai mici pătrate(MNK). La punctul i-lea de-a lungul

linom P 3 (x) se abate de la valoarea f i cu valoarea (P 3 (x i ) – f i ) . Rezumăm abaterile pătrate ale polinomului pe toate punctele i= 1, 2,…, N, obținem funcționalitatea abaterilor pătrate:

Să găsim minimul acestui funcțional. Pentru a face acest lucru, echivalăm derivatele sale parțiale cu variabilele a 1 , a 2 , a 3 , a 4 la zero. Folosind regulile standard de diferențiere, obținem:

Colectând coeficienți pentru necunoscutele a i , obținem SLAE față de vectorul necunoscutelor (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ):

Sistemul rezultat se numește normal. Pentru a o rezolva, se folosesc metode standard de rezolvare a SLAE. De regulă, numărul de necunoscute ale sistemului (adică numărul de coeficienți ai funcției de interpolare) este mic, astfel încât se pot folosi metode exacte pentru rezolvarea SLAE, de exemplu, metoda Cramer sau metoda Gauss. Metoda celor mai mici pătrate vă permite să „aproximați” datele originale folosind o combinație liniară a oricăror funcții elementare. Aproximațiile sunt adesea folosite liniare F (x)=a 1 +a 2 x, trigonometric F (x)=a 1 sin(x)+a 2 cos(x), exponențial F (x)=a 1 e x

N a1 xi a2

xi a1 xi 2 a2 fi xi

calculati

xi 2 ,

f i x i ,

pus in normal

Orez. 3.9. Selecția liniară

5a 1.4a

Dependențe OLS

0,148. Graficul funcției F (x)=-0,04+0,57x este prezentat în fig. 3.9 ca o linie continuă. Punctele arată datele originale. Se poate observa că funcția liniară găsită aproximează de fapt punctele date.

În MathCAD, cele mai mici pătrate sunt strâns legate de regresia liniară (y(x) = b + ax ), deoarece coeficienții a și b sunt calculați din condiția minimizării sumei erorilor pătrate |b + ax i – y i |. Există două metode care se suprapun pentru calcul în MathCAD:

linia (x,y) returnează un vector cu două elemente de coeficienți de regresie liniară b + ax ;

Serii Fourier trigonometrice folosind Mathcad.

Scopul lucrării

Aflați să descompuneți funcțiile periodice în serii Fourier trigonometrice folosind Mathcad și să trasați sumele parțiale ale seriei Fourier.

Echipamente

Pachetul software MathCAD.

Progres

Opțiune

1) Extindeți funcția într-o serie Fourier trigonometrică

2) Extindeți funcția într-o serie Fourier trigonometrică în cosinus

3) Extindeți funcția într-o serie Fourier trigonometrică în termeni de sinusuri

Permisiune de a lucra

3.2.1 Seria Fourier trigonometrică a unei funcții este o serie funcțională de formă

3.2.4 Pentru funcția f(x), se calculează coeficienții Fourier (la extinderea acesteia în cosinus)

a 1 = 5, a 2 = 6, a 3 = 7

Scrieți seria Fourier trigonometrică

3.2.5 Funcția f(x) este extinsă într-o serie Fourier în termeni de sinusuri (într-un mod ciudat), apoi

3.1.2. Găsiți caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare x (x este câștigurile proprietarului unui bilet de loterie).

Loteria extrage ____ bilete.

Dintre aceștia, ei câștigă ____ ruble fiecare

Dintre aceștia, ei câștigă ____ ruble fiecare.

3.1.3. Găsiți caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare „x”

A). 0,15 b) -0,35 c) 0,35 d) 0,25 e) nedeterminat.

3.2.3 Există 200 de bilete la loterie. Bilete câștigătoare 30. Care este probabilitatea ca biletul să nu fie câștigător?

A). 1,7 b) 0,7 c) 0,17 d) 0,85 e) 0,15

3.2.4 Notați formula pentru calcularea varianței unei variabile aleatoare discrete.

3.2.5 Notați formula de calcul a abaterii standard a unei variabile aleatoare discrete.

________________________________________________________________________________

3.2.6. D (y) \u003d 25. Care este abaterea standard?

A). ± 5 b) 5 c) -5 d) nedeterminat.

3.2.7 Cum se rezolvă o ecuație în MathCAD

______________________________________________________________________________

______________ are voie să lucreze

Rezultatele muncii

4.1. M(x) = ____________ D(x) = ____________ σ (x) = ___________

Găsirea estimărilor de punct și interval

parametrii de distribuție necunoscuți în Excel

1. Scopul lucrării

Pe baza acestui eșantion, învățați să determinați caracteristicile numerice ale eșantionului și să evaluați parametrii necunoscuți ai populației generale, să evaluați așteptările matematice ale populației generale cu o probabilitate de încredere dată.

2. Echipamente:

IBM PC, Microsoft Excel shell.

Progres

3. 1 Opțiune

Estimați cu o probabilitate de încredere dată γ= așteptările matematice ale populației generale pentru un eșantion dat

_____________________________________________________________________________________

3.2 Permis de lucru

1. Cum se calculează media eșantionului?

2. Cum se calculează varianța eșantionului?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Cum se calculează abaterea standard?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Cum se calculează varianța eșantionului corectat?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Cum diferă o estimare punctuală a unui parametru de distribuție necunoscut de o estimare pe interval?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Cum se calculează intervalul pentru estimarea așteptării matematice a populației generale?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Cum este indicat coeficientul Studentului?

8. Ce determină valoarea coeficientului Studentului?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Permis să lucreze: ________________________________________________

Rezultatele muncii

σ în = S în = t γ =

Concluzie

Pe parcursul acestei lucrări, am aplicat formulele pentru estimările punctuale și pe intervale ____________________________________________________________

_________________________________________________________________