ฟังก์ชัน y = x ^ 2 เรียกว่าฟังก์ชันกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา มุมมองทั่วไปของพาราโบลาแสดงในรูปด้านล่าง

ฟังก์ชันกำลังสอง

รูปที่ 1 มุมมองทั่วไปของพาราโบลา

ดังที่คุณเห็นจากกราฟ แกน Oy มีความสมมาตร แกน Oy เรียกว่าแกนสมมาตรของพาราโบลา ซึ่งหมายความว่าหากคุณวาดเส้นตรงขนานกับแกน Ox เหนือแกนนี้ จากนั้นมันจะข้ามพาราโบลาที่จุดสองจุด ระยะห่างจากจุดเหล่านี้ไปยังแกน Oy จะเท่ากัน

แกนสมมาตรแบ่งกราฟของพาราโบลาออกเป็นสองส่วนเหมือนเดิม ส่วนเหล่านี้เรียกว่ากิ่งก้านของพาราโบลา และจุดของพาราโบลาที่อยู่บนแกนสมมาตรเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา นั่นคือ แกนสมมาตรเคลื่อนผ่านยอดของพาราโบลา พิกัดของจุดนี้ (0; 0)

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันกำลังสอง

1. สำหรับ x = 0, y = 0, และ y> 0 สำหรับ x0

2. ฟังก์ชันกำลังสองมาถึงค่าต่ำสุดที่จุดยอด Ymin ที่ x = 0; ควรสังเกตด้วยว่าฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุด

3. ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา (-∞; 0] และเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา เนื่องจากเส้น y = kx จะตรงกับกราฟ y = | x-3 | - | x + 3 | ในส่วนนี้ ตัวเลือกนี้ ไม่เหมาะกับเรา

ถ้า k น้อยกว่า -2 แล้วเส้น y = kx ที่มีกราฟ y = | x-3 | - | x + 3 | จะมีทางแยก 1 แยก ซึ่งตัวเลือกนี้เหมาะกับเรา

ถ้า k = 0 แล้วจุดตัดของเส้น y = kx กับกราฟ y = | x-3 | - | x + 3 | จะมีหนึ่งตัวเลือกนี้เหมาะกับเรา

คำตอบ: สำหรับ k ที่เป็นของช่วง (-∞; -2) U การแก้สมการ \ (x "\ ซ้าย (t \ ขวา) = 0, \) เราจะกำหนดจุดที่อยู่กับที่ของฟังก์ชัน \ (x \ ซ้าย (t) \ right): \) \ [(x "\ left (t \ right) = 0,) \; \; (\ ลูกศรขวา 3 (t ^ 2) + 2t - 1 = 0,) \; \; (\ Rightarrow (t_ (1,2)) = \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (16))) (6) = - 1; \; \ frac (1) (3).) \] สำหรับ \ (t = 1 \) ฟังก์ชั่น \ (x \ ซ้าย (t \ ขวา) \) ถึงค่าสูงสุดเท่ากับ \ และที่จุด \ (t = \ ใหญ่ \ frac (1) (3) \ ขนาดปกติ \) มันมี ค่าต่ำสุดเท่ากับ \ [(x \ left ((\ frac (1) (3)) \ right)) = ((\ left ((\ frac (1) (3)) \ right) ^ 3) + (\ ซ้าย ((\ frac (1) (3)) \ ขวา) ^ 2) - \ ซ้าย ((\ frac (1) (3)) \ ขวา)) = (\ frac (1) ((27)) + \ frac (1) (9) - \ frac (1) (3) = - \ frac (5) ((27)).) \] พิจารณาอนุพันธ์ \ (y "\ left (t \ right): \) \ [(y" \ left (t \ right) = (\ left (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ right) ^ \ prime)) = (3 (t ^ 2) + 4t - 4.) \ ] ค้นหาจุดที่อยู่กับที่ของฟังก์ชัน \ (y \ left (t \ right): \) \ [(y "\ left (t \ right) = 0,) \; \; (\ Rightarrow 3 (t ^ 2) + 4t - 4 = 0,) \; \; (\ ลูกศรขวา (t_ (1,2)) = \ frac ((- 4 \ pm \ sqrt (64))) (6) = - 2 ; \; \ frac (2) (3).) \] ที่นี่ในทำนองเดียวกันฟังก์ชัน \ (y \ left (t \ right) \) ถึงค่าสูงสุดที่จุด \ (t = -2: \) \ และ ต่ำสุดที่จุด \ (t = \ ใหญ่ \ frac (2) (3) \ normalsize: \) \ [(y \ left ((\ frac (2) (3)) \ right)) = ((\ left ( (\ frac (2) (3)) \ ถูกต้อง เสื้อ) ^ 3) + 2 (\ ซ้าย ((\ frac (2) (3)) \ ขวา) ^ 2) - 4 \ cdot \ frac (2) (3)) = (\ frac (8) ((27 )) + \ frac (8) (9) - \ frac (8) (3)) = (- \ frac ((40)) ((27)).) \] กราฟฟังก์ชัน \ (x \ left (t \ right) \), \ (y \ left (t \ right) \) แสดงเป็นแผนผังในรูป \ (15a. \)

โปรดทราบว่าตั้งแต่ \ [(\ lim \ limit_ (t \ to \ pm \ infty) x \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \; \; \; (\ lim \ limit_ (t \ to \ pm \ infty) y \ left (t \ right) = \ pm \ infty,) \] จากนั้นเส้นโค้ง \ (y \ left (x \ right) \) ไม่มีแนวตั้ง ไม่มีเส้นกำกับแนวนอน ยิ่งกว่านั้นตั้งแต่ \ [(k = \ lim \ limit_ (t \ to \ pm \ infty) \ frac ((y \ left (t \ right))) ((x \ left (t \ right)))) = ( \ lim \ จำกัด _ (t \ ถึง \ pm \ infty) \ frac (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t)) (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) ) ) = (\ lim \ จำกัด _ (t \ ถึง \ pm \ infty) \ frac ((1 + \ frac (2) (t) - \ frac (4) (((t ^ 2))))) (( 1 + \ frac (1) (t) - \ frac (1) (((t ^ 2))))) = 1,) \] \ [(b = \ lim \ limit_ (t \ to \ pm \ infty ) \ ซ้าย [(y \ ซ้าย (t \ ขวา) - kx \ ซ้าย (t \ ขวา)) \ ขวา]) = (\ lim \ จำกัด _ (t \ ถึง \ pm \ infty) \ ซ้าย ((\ ยกเลิก (\ สี (สีน้ำเงิน) (t ^ 3)) + \ สี (สีแดง) (2 (t ^ 2)) - \ สี (สีเขียว) (4t) - \ ยกเลิก (\ สี (สีน้ำเงิน) (t ^ 3)) - \ สี (สีแดง) (t ^ 2) + \ สี (สีเขียว) (t)) \ ขวา)) = (\ lim \ จำกัด _ (t \ ถึง \ pm \ infty) \ ซ้าย ((\ สี (สีแดง) (t ^ 2 ) - \ color (green) (3t)) \ right) = + \ infty,) \] จากนั้นเส้นโค้ง \ (y \ left (x \ right) \) ก็ไม่มีเส้นกำกับเฉียง

กำหนดจุดตัดของกราฟ \ (y \ ซ้าย (x \ ขวา) \) ด้วยแกนพิกัด จุดตัดกับแกน abscissa เกิดขึ้นที่จุดต่อไปนี้: \ [(y \ ซ้าย (t \ ขวา) = (t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t = 0,) \; \; (\ ลูกศรขวา t \ ซ้าย (((t ^ 2) + 2t - 4) \ ขวา) = 0;) \]

1. \ (((t ^ 2) + 2t - 4 = 0,) \; \; (\ ลูกศรขวา D = 4 - 4 \ cdot \ ซ้าย ((- 4) \ ขวา) = 20,) \; \; (\ ลูกศรขวา (t_ (2,3)) = \ ใหญ่ \ frac ((- 2 \ pm \ sqrt (20))) (2) \ ขนาดปกติ = - 1 \ pm \ sqrt 5.) \)

1. \ (((t ^ 2) + t - 1 = 0,) \; \; (\ Rightarrow D = 1 - 4 \ cdot \ left ((- 1) \ right) = 5,) \; \; (\ ลูกศรขวา (t_ (2,3)) = \ ใหญ่ \ frac ((- 1 \ pm \ sqrt (5))) (2) \ ขนาดปกติ.) \)

ในช่วงที่สอง \ (\ left ((- 2, - 1) \ right) \) ตัวแปร \ (x \) เพิ่มขึ้นจาก \ (x \ left ((- 2) \ right) = - 2 \) เป็น \ (x \ ซ้าย ((- 1) \ ขวา) = 1, \) และตัวแปร \ (y \) ลดลงจาก \ (y \ ซ้าย ((- 2) \ ขวา) = 8 \) ถึง \ (y \ ซ้าย ((- 1) \ ขวา) = 5. \) ที่นี่เรามีส่วนของเส้นโค้งที่ลดลง \ (y \ ซ้าย (x \ ขวา) \) มันตัดกับพิกัดที่จุด \ (\ ซ้าย ((0, 3 + 2 \ sqrt 5) \ ขวา) \)

ในช่วงที่สาม \ (\ ซ้าย ((- 1, \ ใหญ่ \ frac (1) (3) \ ขนาดปกติ) \ ขวา) \) ตัวแปรทั้งสองจะลดลง ค่า \ (x \) มีตั้งแต่ \ (x \ ซ้าย ((- 1) \ ขวา) = 1 \) ถึง \ (x \ ซ้าย ((\ ใหญ่ \ frac (1) (3) \ ขนาดปกติ) \ ขวา) = - \ ใหญ่ \ frac (5) ((27)) \ ขนาดปกติ \) ดังนั้นค่า \ (y \) จะลดลงจาก \ (y \ ซ้าย ((- 1) \ ขวา) = 5 \) เป็น \ ( y \ ซ้าย ((\ ใหญ่ \ frac (1) (3) \ ขนาดปกติ) \ ขวา) = - \ ใหญ่ \ frac (29) ((27)) \ ขนาดปกติ \) เส้นโค้ง \ (y \ ซ้าย (x \ ขวา) ) \ ) ในกรณีนี้ตัดกับจุดกำเนิด

ในช่วงที่สี่ \ (\ left ((\ large \ frac (1) (3) \ normalsize, \ large \ frac (2) (3) \ normalsize) \ right) \) ตัวแปร \ (x \) เพิ่มขึ้นจาก \ ( x \ ซ้าย ((\ ใหญ่ \ frac (1) (3) \ ขนาดปกติ) \ ขวา) = - \ ใหญ่ \ frac (5) ((27)) \ ขนาดปกติ \) ถึง \ (x \ ซ้าย ((\ ใหญ่) \ frac (2) (3) \ ขนาดปกติ) \ ขวา) = \ ใหญ่ \ frac (2) ((27)) \ ขนาดปกติ, \) และตัวแปร \ (y \) ลดลงจาก \ (y \ ซ้าย ((\ ใหญ่ \ frac (1) (3) \ ขนาดปกติ) \ ขวา) = - \ ใหญ่ \ frac (29) ((27)) \ ขนาดปกติ \) ถึง \ (y \ ซ้าย ((\ ใหญ่ \ frac (2) (3) ) \ ขนาดปกติ) \ ขวา) = - \ ใหญ่ \ frac (40) ((27)) \ ขนาดปกติ \) ในส่วนนี้เส้นโค้ง \ (y \ ซ้าย (x \ ขวา) \) ตัดพิกัดที่จุด \ (\ ซ้าย ( (0,3 - 2 \ sqrt 5) \ ขวา). \)

ในที่สุด ในช่วงเวลาสุดท้าย \ (\ left ((\ large \ frac (2) (3) \ normalsize, + \ infty) \ right) \) ทั้งสองฟังก์ชั่น \ (x \ left (t \ right) \), \ ( y \ left (t \ right) \) กำลังเพิ่มขึ้น เส้นโค้ง \ (y \ ซ้าย (x \ ขวา) \) ตัดกับ abscissa ที่จุด \ (x = - 9 + 5 \ sqrt 5 \ ประมาณ 2.18 \)

ในการปรับแต่งรูปร่างของเส้นโค้ง \ (y \ ซ้าย (x \ ขวา) \) ให้คำนวณจุดสูงสุดและต่ำสุด อนุพันธ์ \ (y "\ left (x \ right) \) แสดงเป็น \ [(y" \ left (x \ right) = (y "_x)) = (\ frac (((y" _t))) ( ((x "_t)))) = (\ frac (((\ left (((t ^ 3) + 2 (t ^ 2) - 4t) \ right)) ^ \ prime))) ((( ( \ ซ้าย (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ ขวา)) ^ \ สำคัญ)))) = (\ frac ((3 (t ^ 2) + 4t - 4)) (( 3 (t ^ 2) + 2t - 1))) = (\ frac ((\ ยกเลิก (3) \ ซ้าย ((t + 2) \ ขวา) \ ซ้าย ((t - \ frac (2) (3)) \ ขวา))) ((\ ยกเลิก (3) \ ซ้าย ((t + 1) \ ขวา) \ ซ้าย ((t - \ frac (1) (3)) \ ขวา))) = (\ frac (( \ ซ้าย ((t + 2) \ ขวา) \ ซ้าย ((t - \ frac (2) (3)) \ ขวา))) ((\ ซ้าย ((t + 1) \ ขวา) \ ซ้าย ((t - \ frac (1) (3)) \ right)))) \] การเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของอนุพันธ์ \ (y "\ left (x \ right) \) แสดงในรูป \ (15c. \) สามารถทำได้ จะเห็นได้ว่า ณ จุด \ (t = - 2, \) เช่น บนเส้นขอบของ \ (I \) - th และ \ (II \) - ช่วงที่ เส้นโค้งมีค่าสูงสุดและสำหรับ \ (t = \ ใหญ่ \ frac (2) (3) \ normalsize \) (บน border \ (IV \) -th และ \ (V \) - ช่วงเวลา) มีขั้นต่ำ เมื่อผ่านจุด \ (t = \ ใหญ่ \ frac (1) (3) \ ขนาดปกติ \) อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ แต่ในบริเวณนี้เส้นโค้ง \ (y \ ซ้าย (x \ ขวา) \) ไม่ใช่ฟังก์ชันที่ชัดเจน ดังนั้นจุดที่ระบุจึงไม่ใช่จุดสิ้นสุด

เรายังตรวจสอบความนูนของเส้นโค้งนี้ด้วย อนุพันธ์อันดับสอง\ (y "" \ ซ้าย (x \ ขวา) \) มีรูปแบบ: \ [y "" \ ซ้าย (x \ ขวา) = (y "" _ (xx)) = \ frac ((((\ left ( ( ((y "_x)) \ right))" _ t))) (((x "_t))) = \ frac ((((\ left ((\ frac ((3 (t ^ 2)) + 4t -" 4) ) ((3 (t ^ 2) + 2t - 1))) \ right)) ^ \ สำคัญ))) ((((\ left (((t ^ 3) + (t ^ 2) - t) \ right )) ^ \ prime))) = \ frac ((\ left ((6t + 4) \ right) \ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right) - \ left ((3 (t ^ 2) + 4t - 4) \ ขวา) \ ซ้าย ((6t + 2) \ ขวา))) ((((\ ซ้าย ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ ขวา)) ^ 3) )) = \ frac ((18 (t ^ 3) + 12 (t ^ 2) + 12 (t ^ 2) + 8t - 6t - 4 - \ left ((18 (t ^ 3) + 24 (t) ^ 2 ) - 24t + 6 (t ^ 2) + 8t - 8) \ right))) ((((\ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right)) ^ 3))) = \ frac ((\ ยกเลิก (\ สี (สีน้ำเงิน) (18 (t ^ 3))) + \ สี (สีแดง) (24 (t ^ 2)) + \ สี (สีเขียว) (2t) - \ สี (สีแดงเข้ม) ) ( 4) - \ ยกเลิก (\ สี (สีน้ำเงิน) (18 (t ^ 3))) - \ สี (สีแดง) (30 (t ^ 2)) + \ สี (สีเขียว) (16t) + \ สี (สีแดงเข้ม) ) ( 8))) ((((\ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right)) ^ 3))) = \ frac ((- \ color (red) (6 (t ^) 2) ) + \ color (เขียว) (18t) + \ color (น้ำตาลแดง) (4))) ((((\ left ((3 (t ^ 2) + 2t - 1) \ right)) ^ 3)) ) = \ frac ((- 6 \ ซ้าย ((t - \ frac ((9 - \ sqrt (105)))) (6)) \ ขวา) \ ซ้าย ((t - \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6)) \ right))) ((((\ left ((t + 1) \ right)) ^ 3) ((\ left ((3t - 1) \ ขวา)) ^ 3))) \] ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้ามเมื่อผ่านจุดต่อไปนี้ (รูปที่ \ (15с \)): \ [((t_1) = - 1: \; \; x \ left ((- 1 ) \ right ) = 1,) \; \; (y \ ซ้าย ((- 1) \ ขวา) = 5;) \] \ [((t_2) = \ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6):) \; \; (x \ ซ้าย ((\ frac ((9 - \ sqrt (105)))) (6)) \ ขวา) \ ประมาณ 0.24;) \; \; (y \ ซ้าย ((\ frac ((9 - \ sqrt (105))) (6)) \ ขวา) \ ประมาณ 0.91;) \] \ [((t_3) = \ frac (1) (3) :) \; \; (x \ left ((\ frac (1) (3)) \ right) = - \ frac (5) ((27)),) \; \; (y \ ซ้าย ((\ frac (1) (3)) \ ขวา) = - \ frac ((29)) ((27));) \] \ [((t_4) = \ frac ((9 + \ sqrt (105))) (6):) \; \; (x \ ซ้าย ((\ frac ((9 + \ sqrt (105)))) (6)) \ ขวา) \ ประมาณ 40,1;) \; \; (y \ left ((\ frac ((9 + \ sqrt (105)))) (6)) \ right) \ ประมาณ 40.8) \] ดังนั้นจุดที่ระบุคือจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้ง \ (y \ left ( x \ ขวา). \)

แผนผังกราฟของเส้นโค้ง \ (y \ ซ้าย (x \ ขวา) \) แสดงอยู่ด้านบนในรูป \ (15b. \)