Mathcad มีฟังก์ชันเพื่อดำเนินการ Fast Discrete Fourier Transform (FFT) และการผกผัน Mathcad PLUS ยังมีการแปลงคลื่นแบบแยก 1D และการผกผันของมัน ฟังก์ชันทั้งหมดนี้มีอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ เมื่อกำหนดเวกเตอร์ วีหากต้องการค้นหาคลื่นหรือการแปลงฟูริเยร์ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าองค์ประกอบแรกของเวกเตอร์มีดัชนีศูนย์: v 0 หากไม่ได้กำหนด v 0 ไว้ Mathcad จะตั้งค่าเป็น 0 โดยอัตโนมัติ ซึ่งอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่บิดเบี้ยว

บทนำสู่การแปลงฟูเรียร์แบบแยกส่วน

• ข้อโต้แย้งเป็นจริงและ
• เวกเตอร์ข้อมูลมีองค์ประกอบ 2 ม.

ใช้คุณสมบัติ cfftและ icftในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด
เงื่อนไขแรกจำเป็นเพราะฟังก์ชั่น fft/ifftใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับข้อมูลจริง ครึ่งหลังของการแปลงฟูริเยร์เป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อนของอันแรก Mathcad ละทิ้งเวกเตอร์ผลลัพธ์ในช่วงครึ่งหลัง ซึ่งช่วยประหยัดเวลาและหน่วยความจำในการคำนวณ

คุณสมบัติสองสามอย่าง cfft/icfftไม่ใช้สมมาตรในการแปลง ด้วยเหตุนี้ จึงจำเป็นต้องใช้ข้อมูลเหล่านี้สำหรับข้อมูลที่ซับซ้อน เนื่องจากจำนวนจริงเป็นสับเซตของจำนวนเชิงซ้อน คุณจึงใช้คู่ได้ cfft/icfftสำหรับจำนวนจริง

จำเป็นต้องมีเงื่อนไขที่สองเนื่องจากคู่ของฟังก์ชัน fft/ifftใช้อัลกอริธึม Fast Fourier Transform ที่มีประสิทธิภาพสูง สำหรับสิ่งนี้เวกเตอร์อาร์กิวเมนต์ที่ใช้กับ fftต้องมีองค์ประกอบ 2 ม. ในการทำงาน sfft/icfftใช้อัลกอริทึมที่ยอมรับทั้งเมทริกซ์และเวกเตอร์ที่มีขนาดตามอำเภอใจเป็นอาร์กิวเมนต์ เมื่อใช้ฟังก์ชันคู่นี้กับเมทริกซ์เป็นอาร์กิวเมนต์ การแปลงฟูริเยร์ 2D จะถูกคำนวณ

โปรดทราบว่าหากใช้ฟังก์ชันนี้ fftสำหรับการแปลงโดยตรง คุณต้องใช้ฟังก์ชัน iftสำหรับการย้อนกลับ ในทำนองเดียวกัน หากใช้การแปลงโดยตรง cfftดังนั้นสำหรับการย้อนกลับจึงจำเป็นต้องใช้ icft.

สูตรที่แตกต่างกันของคำจำกัดความของการแปลงฟูริเยร์ใช้สัมประสิทธิ์การทำให้เป็นมาตรฐานที่แตกต่างกันและลงนามแบบแผนหน้าหน่วยจินตภาพในเลขชี้กำลังของการแปลงไปข้างหน้าและการแปลงผกผัน ฟังก์ชั่น fft, ifft, cfftและ icftใช้ 1/ เป็นปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานและเป็นเลขชี้กำลังบวกในการแปลงโดยตรง ฟังก์ชั่น FFT , IFFT , CFFT และ ไอซีเอฟเอฟทีใช้ 1/N เป็นค่านอร์มัลไลเซชันและเลขชี้กำลังลบในการแปลงโดยตรง คุณต้องใช้ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นคู่ ตัวอย่างเช่น ถ้าใช้ CFFTในการแปลงโดยตรง จำเป็นใช้ ไอซีเอฟเอฟทีในทางตรงข้าม

การแปลงฟูริเยร์ในโดเมนจริง

องค์ประกอบในเวกเตอร์ที่ส่งคืนโดยฟังก์ชัน fftสอดคล้องกับความถี่ต่างๆ ในการสร้างความถี่ที่แท้จริงขึ้นมาใหม่ จำเป็นต้องทราบความถี่ในการวัดของสัญญาณต้นฉบับ ถ้า วีมี น-เวกเตอร์มิติส่งผ่านไปยังฟังก์ชัน fftและความถี่ในการวัดของสัญญาณเดิม - fsจากนั้นความถี่ที่สอดคล้องกันจะเท่ากับ

โปรดทราบว่าสิ่งนี้ทำให้ไม่สามารถตรวจจับความถี่ที่สูงกว่าความถี่ในการวัดของสัญญาณดั้งเดิมได้ นี่คือข้อจำกัดที่ไม่ได้กำหนดโดย Mathcad แต่โดยสาระสำคัญของปัญหา ในการสร้างสัญญาณจากการแปลงฟูริเยร์อย่างถูกต้อง จำเป็นต้องวัดสัญญาณดั้งเดิมที่ความถี่อย่างน้อยสองเท่าของแบนด์วิดท์ การอภิปรายเต็มรูปแบบเกี่ยวกับปรากฏการณ์นี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของคู่มือนี้ แต่สามารถพบได้ในตำราการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล

การแปลงฟูริเยร์ในโดเมนที่ซับซ้อน

• ข้อมูลสามารถมีค่าที่ซับซ้อนได้ ซึ่งหมายความว่า Mathcad ไม่สามารถใช้ความสมมาตรที่มีอยู่ในเคสจริงได้อีกต่อไป
• เวกเตอร์ข้อมูลอาจมีมิติอื่นที่ไม่ใช่ 2 ม. ซึ่งหมายความว่า Mathcad ไม่สามารถใช้ประโยชน์จากอัลกอริธึม FFT ที่มีประสิทธิภาพสูงที่ใช้โดย pair fft/ifft.

รูปที่ 3: การใช้ Fast Fourier Transforms ใน Mathcad

คู่แปลงร่าง cfft/icfftสามารถทำงานกับอาร์เรย์ทุกขนาด อย่างไรก็ตาม จะเร็วกว่ามากเมื่อจำนวนแถวและคอลัมน์สามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยขนาดเล็กจำนวนมากได้ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ที่มีความยาว 2 ม. อยู่ในคลาสนี้ เช่นเดียวกับเวกเตอร์ที่มีความยาวเช่น 100 หรือ 120 ในทางกลับกัน เวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นจำนวนเฉพาะมากจะทำให้การคำนวณการแปลงฟูริเยร์ช้าลง

ฟังก์ชั่น cfftและ icftจะผกผันซึ่งกันและกัน นั่นคือ icfft(cfft(v))=v รูปที่ 3 แสดงตัวอย่างการใช้การแปลงฟูริเยร์ใน Mathcad

เมื่อเป็นข้อโต้แย้ง cfftใช้เมทริกซ์ผลลัพธ์คือการแปลงฟูริเยร์สองมิติของเมทริกซ์ดั้งเดิม

รูปแบบทางเลือกของการแปลงฟูริเยร์

ฟังก์ชั่น FFT, IFFT, CFFTและ ไอซีเอฟเอฟทีใช้ในลักษณะเดียวกันกับฟังก์ชันที่กล่าวถึงในหัวข้อก่อนหน้านี้

การแปลงคลื่น

พี

Glushach V.S. UIT-44

การเรียนรู้งานใน MathCad ได้รับทักษะในการใช้การแปลง Laplace เพื่อวิเคราะห์องค์ประกอบสเปกตรัมของสัญญาณ ศึกษามาตราส่วนเวลาและความถี่ของอนุกรมเวลาและการแปลงฟูริเยร์

1. เราสร้างอนุกรมเวลาของไซนัสสามตัว จำนวนคะแนนควรเป็น 2^n

2. หาค่าเฉลี่ยความแปรปรวน

3. เราทำการแปลงโดยตรงและผกผัน F สัญญาณที่แปลงสองครั้งจะซ้อนทับบนกราฟของอนุกรมเวลาดั้งเดิม

4. ค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างมาตราส่วนอนุกรมเวลาตามแกนเวลาและการแปลงฟูริเยร์ตามแกนความถี่

1. เราเลือกความไม่ต่อเนื่องของเวลา dt และจำนวนจุดในอนุกรมเวลาในรูปแบบ nl:= 2 k

ให้ k:= 9 nl:= 2 k nl=512 ตัวอย่างความยาวในเวลา T:=512

W ag โดย Or โดยกำหนดให้ nl-1

เวลาจะเท่ากับ nl โดยประมาณ แล้ว i:=0..nl-l t. := i*dt

2. เราสร้างสัญญาณอินพุต x เป็นผลรวมของสัญญาณฮาร์มอนิกสามสัญญาณและกำหนดสถิติหลัก

A1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= ค่าเฉลี่ย(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706

A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= ค่าเฉลี่ย(x2) sr2 = 3.792x10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353

A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= ค่าเฉลี่ย(x3) sr3 = 3.362x10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177

x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= ค่าเฉลี่ย (x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809

1. การแปลงฟูริเยร์โดยตรงใน MathCad F:= fft(x)

ระยะเวลาสูงสุดของส่วนประกอบฮาร์มอนิกที่สามารถอยู่ในอนุกรมเวลาได้เท่ากับความยาวของตัวอย่าง ส่วนประกอบฮาร์มอนิกนี้สอดคล้องกับความถี่ต่ำสุดที่เป็นไปได้บนมาตราส่วนความถี่การแปลงฟูริเยร์ frnin และตามขั้นตอนตามแกนความถี่การแปลงฟูริเยร์ df

Tmax:= Tfrnin:=
df:= ฟรินนิน df = 1.953 x 10 -3

ดังนั้นความถี่ต่ำสุดและขั้นตอนความถี่ของการแปลงฟูริเยร์คือ frnin =df = 1/T

การแปลงฟูริเยร์มีจำนวนพิกัดในความถี่น้อยกว่าจำนวนพิกัดของอนุกรมเวลาสองเท่า ในเวลา n2=nl/2 หรือรวมจุดศูนย์ (ซึ่งไม่ได้กำหนดการแปลงฟูริเยร์)

n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2

ดัชนีความถี่ปัจจุบันเปลี่ยนจาก j=l เป็น j=n2

ในกรณีนี้ ความถี่จะเปลี่ยนจาก fmin =df= 1/T ความถี่สูงสุด finax:= n2*df fmax = 0.502

ถึง frnax=n2*df ความถี่ปัจจุบัน f i:= i*df

f 1 \u003d 1.953 x 10 -3 f 257 \u003d 0.502

อู๋ โปรดทราบว่าการแปลงฟูริเยร์ถูกกำหนดไว้สำหรับความถี่ในช่วง f=finin ถึง f=fmax เท่านั้น

ในกรณีนี้ พีคบนกราฟสเปกตรัมฟูริเยร์จะสอดคล้องกับความถี่ของไซนูซอยด์ดั้งเดิม นั่นคือ การแปลงฟูริเยร์ให้คุณเลือกส่วนประกอบความถี่ของสัญญาณได้ แต่แอมพลิจูดของส่วนประกอบฮาร์มอนิกในตอนนี้ไม่ได้สะท้อนแอมพลิจูดของส่วนประกอบของอนุกรมเวลาดั้งเดิม (โดยที่ A1=1, A2=0.5, A3=0.25)

ให้เราทราบด้วยว่าสำหรับ dt =1 ความถี่สูงสุดในสเปกตรัมการแปลงฟูริเยร์เท่ากับ frnax=0.5 การแกว่งต่อหน่วยมาตราส่วนเวลา สำหรับ dt = 1 วินาที จะเท่ากับ fmax = 0.5 Hz ในกรณีนี้ ช่วงความถี่สูงสุดคือ Tfmax=1/0.5=2 ซึ่งหมายความว่ามีอนุกรมเวลาสองตัวอย่างสำหรับช่วงความถี่สูงสุดหนึ่งช่วง สิ่งนี้สอดคล้องกับทฤษฎีบท Kotelnikov ตามที่ในการกู้คืนสัญญาณฮาร์มอนิกต่อเนื่องจากสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องโดยไม่สูญเสียข้อมูลจะต้องมีอย่างน้อยสองตัวอย่างในช่วงเวลาหนึ่ง

3. ตรวจสอบความบังเอิญของอนุกรมเวลาก่อนและหลังการแปลงฟูริเยร์สองครั้ง ในการทำเช่นนี้ เราได้การแปลงฟูเรียร์ผกผันจากการแปลงโดยตรงที่ได้รับ ต้องตรงกับอนุกรมเวลาเดิมซึ่งได้รับการยืนยันโดยพล็อตต่อไปนี้ FF:= ifft(F)

ส่วนก่อนหน้านี้อธิบายความสามารถของตัวประมวลผลสัญลักษณ์ Mathcad ซึ่งช่วยให้คุณทำการแปลงฟูริเยร์เชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร ในขณะเดียวกัน ปัญหาจำนวนมากในคณิตศาสตร์เชิงคำนวณนั้นสัมพันธ์กับการคำนวณอินทิกรัลฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชัน ไม่ว่าจะกำหนดแบบตาราง (เช่น แทนผลลัพธ์ของการทดลองบางอย่าง) หรือฟังก์ชันที่ไม่สามารถรวมในการวิเคราะห์ได้ ในกรณีนี้ แทนที่จะใช้การแปลงเชิงสัญลักษณ์ เราต้องใช้วิธีการรวมเชิงตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับการแยกส่วนของอินทิกรัล และด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง

ในตัวประมวลผลตัวเลข Mathcad การแปลงฟูริเยร์แบบแยกได้ถูกนำมาใช้โดยใช้อัลกอริธึมการแปลงฟูริเยร์ที่ได้รับความนิยมสูงสุด (ย่อมาจาก FFT) อัลกอริธึมนี้มีการใช้งานในฟังก์ชัน Mathcad ในตัวหลายฟังก์ชันที่แตกต่างกันในการปรับให้เป็นมาตรฐานเท่านั้น:

• fft(y) - เวกเตอร์การแปลงฟูริเยร์โดยตรง
• FFT (y) - เวกเตอร์ของการแปลงฟูริเยร์โดยตรงในการทำให้เป็นมาตรฐานที่แตกต่างกัน
• ifft (w) - เวกเตอร์การแปลงฟูเรียร์ผกผัน;
• IFFT (w) เป็นเวกเตอร์ของการแปลงฟูเรียร์ผกผันในการทำให้เป็นมาตรฐานที่แตกต่างกัน:
  • y เป็นเวกเตอร์ของข้อมูลจริงที่ถ่ายในช่วงเวลาเท่ากันของค่าอาร์กิวเมนต์
  • w เป็นเวกเตอร์ของข้อมูลสเปกตรัมฟูริเยร์จริงที่ถ่ายในช่วงเวลาปกติของค่าความถี่

ความสนใจ!
อาร์กิวเมนต์ของการแปลงฟูริเยร์โดยตรง นั่นคือเวกเตอร์ y ต้องมีองค์ประกอบ 2n เท่านั้น (n เป็นจำนวนเต็ม) ผลลัพธ์คือเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบ 1+2 n-1 ในทางกลับกัน อาร์กิวเมนต์ของการแปลงฟูเรียร์ผกผันต้องมีองค์ประกอบ 1+2 n-1 และผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ขององค์ประกอบ 2 n หากจำนวนข้อมูลไม่ตรงกับกำลังของ 2 คุณจะต้องเติมองค์ประกอบที่ขาดหายไปด้วยศูนย์.

รายการ 4.14 แสดงตัวอย่างการคำนวณสเปกตรัมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันแบบจำลอง f (x) ซึ่งเป็นผลรวมของไซนัสอยด์สองอันที่มีแอมพลิจูดต่างกัน (กราฟบนสุดในรูปที่ 4.10) การคำนวณดำเนินการบน N=128 จุด และถือว่าช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างข้อมูล y i เท่ากับ h ในบรรทัดสุดท้ายของรายการ ค่าที่สอดคล้องกันของความถี่ W จะถูกกำหนดอย่างถูกต้อง และในบรรทัดสุดท้าย ฟังก์ชัน FFT ในตัวจะถูกใช้ พล็อตผลลัพธ์ของสเปกตรัมฟูริเยร์แสดงในรูปที่ 4.10 (ล่าง) โปรดทราบว่าผลการคำนวณจะแสดงในรูปแบบของโมดูลัส เนื่องจากสเปกตรัมตามที่ระบุไว้แล้วนั้นซับซ้อน มีประโยชน์มากในการเปรียบเทียบแอมพลิจูดที่ได้รับและตำแหน่งของจุดสูงสุดของสเปกตรัมกับคำจำกัดความของไซนัสอยด์ที่จุดเริ่มต้นของรายการ

บันทึก
มากกว่า รายละเอียดข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติและแนวปฏิบัติของการใช้การแปลงฟูริเยร์ คุณจะพบในบทที่ 14.

รายการ 4.14. การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (อัลกอริทึม FFT) ของสัญญาณแบบจำลอง:

ข้าว. 4.10. ฟังก์ชันแบบจำลองและการแปลงฟูริเยร์ (ต่อจากรายการ 4.14)

เนื่องจากผลลัพธ์ของสูตรการแก้ไขของนิวตันและลากรองจ์เป็นพหุนามเดียวกันของลำดับที่ N ดังนั้นข้อผิดพลาดของพวกมันจึงมีพฤติกรรมเหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 3.4 สำหรับข้อมูลเริ่มต้นที่ใช้ในตัวอย่างที่ 3.1 เราคำนวณค่าของพหุนามของนิวตัน ขั้นแรก เรากรอกข้อมูลในตารางความแตกต่างที่ถูกแบ่ง:

จากสูตรของนิวตัน เราจะได้:

P 3 (1)= –1+0.6 1+(–0.1) 1 (–1)+0.0857 1 (–1) (–2)= –0.129.

3.6 อนุกรมฟูริเยร์

อนุกรมฟูริเยร์ช่วยให้คุณศึกษาทั้งฟังก์ชันคาบและไม่ใช่คาบโดยแยกย่อยออกเป็นส่วนประกอบ กระแสสลับและแรงดันไฟฟ้า การกระจัด ความเร็ว และความเร่งของกลไกข้อเหวี่ยง คลื่นเสียงเป็นตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงของการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันเป็นระยะในการคำนวณทางวิศวกรรม ในแง่ของการประมวลผลสัญญาณ การแปลงฟูริเยร์ใช้การแสดงอนุกรมเวลาของฟังก์ชันสัญญาณและแมปกับสเปกตรัมความถี่ นั่นคือมันเปลี่ยนฟังก์ชันของเวลาเป็นฟังก์ชันของความถี่ มันคือการสลายตัวของฟังก์ชันเป็นส่วนประกอบฮาร์มอนิกที่ความถี่ต่างกัน การแปลงฟูริเยร์สามารถแสดงสัญญาณที่แปรผันตามเวลาโดยขึ้นอยู่กับความถี่และแอมพลิจูด และยังให้ข้อมูลเกี่ยวกับเฟสอีกด้วย (รูปที่ 3.4)

การขยายอนุกรมฟูริเยร์มีพื้นฐานอยู่บนสมมติฐานที่ว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติในช่วงเวลา π ≤ x ≤ π สามารถแสดงเป็นอนุกรมตรีโกณมิติแบบลู่บรรจบกัน (อนุกรมจะถือเป็นการบรรจบกันหากลำดับของผลรวมบางส่วนที่ประกอบด้วยเทอมมาบรรจบกัน)

ตามสมมติฐานฟูริเยร์ ไม่มีฟังก์ชันใดที่ไม่สามารถขยายเป็นอนุกรมตรีโกณมิติได้ เราขยายฟังก์ชัน f (t) เป็นอนุกรมในช่วงเวลา [–π, π]

f (t) \u003d a 0 / 2 + a 1 cos (t) + a 2 cos (2t) + a 3 cos (3t) + ... + b 1 บาป (t) + b 2 บาป (2t) + b 3 บาป (3t )+…,

โดยที่องค์ประกอบที่ n ของอนุกรมแสดงเป็น

ข้าว. 3.4. ภาพประกอบการขยายฟูริเยร์

สัมประสิทธิ์ a n และ b n เรียกว่า สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์และการแสดงฟังก์ชัน f (t ) ตามสูตร (3.1) is การขยายซีรีส์ฟูริเยร์. บางครั้งการขยายอนุกรมฟูริเยร์ที่นำเสนอในรูปแบบนี้เรียกว่าการขยายอนุกรมฟูริเยร์จริง และสัมประสิทธิ์จะเรียกว่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์จริง (ตรงกันข้ามกับการขยายตัวเชิงซ้อน)

ให้เราวิเคราะห์นิพจน์ (3.2) และ (3.3) สัมประสิทธิ์ a 0 คือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f (t) ในส่วน [–π, π] หรือส่วนประกอบคงที่ของสัญญาณ f (t) สัมประสิทธิ์ a n และ b n (สำหรับ n > 0) คือแอมพลิจูดขององค์ประกอบโคไซน์และไซน์ของฟังก์ชัน (สัญญาณ) f (t) ที่มีความถี่เชิงมุมเท่ากับ n กล่าวอีกนัยหนึ่งสัมประสิทธิ์เหล่านี้กำหนดขนาดของส่วนประกอบความถี่ของสัญญาณ ตัวอย่างเช่น เมื่อเราพูดถึงเสียงบี๊บกับ ความถี่ต่ำ(ตัวอย่างเช่น เสียงของกีตาร์เบส) นี่หมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ a n และ b n มีค่ามากกว่าสำหรับค่าที่น้อยกว่าของ n และในทางกลับกัน - ในเสียงความถี่สูง

การสั่นสะเทือน (เช่น เสียงของไวโอลิน) จะเพิ่มขึ้นเมื่อ มูลค่ามหาศาลน.

การสั่นของคาบที่ใหญ่ที่สุด (หรือความถี่ต่ำสุด) แทนด้วยผลรวมของ 1 cos(t) และ b 1 sin(t) เรียกว่าการสั่นของความถี่พื้นฐานหรือฮาร์มอนิกแรก การสั่นที่มีคาบเท่ากับครึ่งหนึ่งของคาบของความถี่พื้นฐานคือฮาร์มอนิกที่สอง การสั่นที่มีคาบเท่ากับ 1/n ของความถี่พื้นฐานคือ เอ็น-ฮาร์มอนิก ดังนั้น โดยการขยายฟังก์ชัน f (t) ในอนุกรมฟูริเยร์ เราสามารถเปลี่ยนจากโดเมนเวลาเป็นโดเมนความถี่ได้ การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะจำเป็นต่อการเปิดเผยคุณลักษณะของสัญญาณที่ "มองไม่เห็น" ในโดเมนเวลา

โปรดทราบว่าสูตร (3.2) และ (3.3) ใช้ได้กับสัญญาณคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π ในกรณีทั่วไป สัญญาณคาบที่มีคาบ T สามารถขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้ จากนั้นจึงใช้เซ็กเมนต์ [–T /2, T /2] ในการขยาย คาบของฮาร์โมนิกแรกมีค่าเท่ากับ T และส่วนประกอบจะอยู่ในรูปแบบ cos(2πt /T ) และ sin(2πt /T ) ส่วนประกอบของ n-harmonic - cos(2πtn /T ) และ sin(2πtn / ท ). หากเราระบุความถี่เชิงมุมของฮาร์มอนิกแรก ω0 = 2π/T ส่วนประกอบของ n-harmonic จะมีรูปแบบ cos(ω0 nt ), sin(ω0 nt ) และ

การขยายฟูริเยร์ใช้สำหรับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกหรือสเปกตรัมของสัญญาณเป็นระยะ สำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัมของสัญญาณที่ไม่เป็นระยะเราใช้ การแปลงฟูริเยร์ในการทำเช่นนี้ เราแสดงอนุกรม (3.4) โดยใช้ระบบของฟังก์ชันพื้นฐานในรูปแบบของเลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังจินตภาพ:

ละเว้นการคำนวณจำนวนหนึ่งเราเขียนนิพจน์ (3.6) ในรูปแบบ

C () f (t ) exp(j t )dt

สูตรนี้เรียกว่าการแปลงฟูริเยโดยตรง หรือการแปลงฟูริเยร์ โดยปกติ การแปลงฟูริเยร์จะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน (ตัวพิมพ์ใหญ่เท่านั้น) กับฟังก์ชันที่กำลังประมาณ (ซึ่งมักจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก)

F () f (t ) exp(j t )dt

ฟังก์ชัน F (ω) เรียกว่าฟังก์ชัน ความหนาแน่นของสเปกตรัม(หรือแค่ความหนาแน่นสเปกตรัม การแปลงฟูริเยร์ การแปลงฟูริเยร์) พิสัยของฟังก์ชัน F (ω) ในกรณีทั่วไปคือเซตของจำนวนเชิงซ้อน

การแปลงฟูเรียร์ผกผัน , ให้การกู้คืน

การอัปเดตฟังก์ชันดั้งเดิม f(t) เทียบกับฟังก์ชันความหนาแน่นของสเปกตรัมคำนวณได้ดังนี้

f (t ) F () exp(j t )dt .

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT, DFT - Discrete Fourier Transform) เป็นหนึ่งในการแปลงฟูริเยร์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในอัลกอริธึมการประมวลผลสัญญาณดิจิตอล (การปรับเปลี่ยนจะใช้ในการบีบอัดเสียงใน MP3, การบีบอัดภาพ ใน JPEG ฯลฯ ) รวมถึงในด้านอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ความถี่ในสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่อง (เช่น ดิจิทัลแอนะล็อก) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องต้องใช้ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องเป็นอินพุต ฟังก์ชันดังกล่าวมักสร้างขึ้นโดยการแยกส่วน (การเลือกค่าจากฟังก์ชันต่อเนื่อง) ข้อเสียของอัลกอริธึมนี้คือการคำนวณซ้ำจำนวนมาก การกำจัดการดำเนินการที่ซ้ำซ้อนเหล่านี้นำไปสู่สิ่งที่เรียกว่าอัลกอริธึม

การแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็วซึ่งใช้กันทั่วไป

การแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็ว (FFT, FFT) - อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็วของการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) นั่นคืออัลกอริธึมการคำนวณสำหรับจำนวนการกระทำที่น้อยกว่า O(N 2 ) ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ DFT โดยตรง (ตามสูตร) ​​(N คือจำนวนค่าสัญญาณที่วัดในช่วงเวลาหนึ่งตลอดจนจำนวนของส่วนประกอบการขยาย) บางครั้ง FFT ก็ถูกเข้าใจว่าเป็นหนึ่งเดียวจาก อัลกอริธึมที่รวดเร็ว เรียกว่าอัลกอริธึมการลดความถี่/เวลา หรืออัลกอริธึมฐาน 2

เพื่อนำการแปลงฟูริเยร์ไปใช้ในแพ็คเกจ MathCAD จำเป็นต้องเลือกตัวดำเนินการฟูริเยร์สำหรับการแปลงโดยตรงและ invfourier สำหรับตัวดำเนินการย้อนกลับบนแผงสัญลักษณ์ ต้องวางตัวดำเนินการนี้หลังจากฟังก์ชันที่จะแปลง และเนื่องจากเป็นพารามิเตอร์เดียว คุณต้องระบุตัวแปรโดยพิจารณาจากฟังก์ชันที่จะถูกแปลง ตัวอย่างการใช้งานจอภาพ

เรามะเดื่อ 3.5 สำหรับฟังก์ชัน f (t) e 2 t และในรูปที่ 3.6 โดยที่การมอดูเลตแอมพลิจูด-ความถี่ถูกนำไปใช้กับฟังก์ชัน f (t) จากนั้นผลลัพธ์จะถูกขยายออกเป็นอนุกรม

ข้าว. 3.5. ตัวอย่างการขยายฟูริเยร์โดยใช้ฟังก์ชันสัญลักษณ์ฟูริเยร์

ข้าว. 3.6. ตัวอย่างการขยายฟูริเยร์โดยใช้ฟังก์ชันสัญลักษณ์ฟูริเยร์

MathCAD มีฟังก์ชันสำหรับ Fast Discrete Fourier Transform (FFT) และการผกผัน มีฟังก์ชันสองประเภทสำหรับการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง: fft และ ifft , cfft และ icfft ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่ต่อเนื่องกัน: ใช้เป็นอาร์กิวเมนต์และส่งกลับเวกเตอร์และเมทริกซ์

ฟังก์ชัน fft และ ifft จะใช้หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: (1) อาร์กิวเมนต์เป็นจริง (2) – เวกเตอร์ข้อมูลมีองค์ประกอบ 2m

ในกรณีอื่นๆ จะใช้ฟังก์ชัน cfft และ icfft

เงื่อนไขแรกจำเป็นเนื่องจากฟังก์ชัน fft และ ifft ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับข้อมูลจริง ครึ่งหลังของการแปลงฟูริเยร์เป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อนของเงื่อนไขแรก MathCAD ละทิ้งเวกเตอร์ผลลัพธ์ในช่วงครึ่งหลัง ซึ่งช่วยประหยัดเวลาและหน่วยความจำในการคำนวณ คู่ของฟังก์ชัน cfft และ icfft ไม่ใช้สมมาตรในการแปลง และสามารถใช้กับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนได้

จำเป็นต้องมีเงื่อนไขที่สองเนื่องจากคู่ของฟังก์ชัน fft และ ifft ใช้อัลกอริธึมการแปลงฟูริเยร์ที่มีประสิทธิภาพสูง สำหรับเวกเตอร์อาร์กิวเมนต์นี้ ใช้-

ฟังก์ชันที่ fft ต้องประกอบด้วยองค์ประกอบ 2m อัลกอริทึมของฟังก์ชัน cfft และ icfft ยอมรับเวกเตอร์และเมทริกซ์ขนาดใดก็ได้เป็นอาร์กิวเมนต์ เฉพาะฟังก์ชันเหล่านี้เท่านั้นที่ใช้สำหรับการแปลงฟูริเยร์ 2 มิติ ฟังก์ชัน fft และ ifft , cfft และ icfft นั้นผกผันซึ่งกันและกัน กล่าวคือ เป็นจริง:

ในรูป รูปที่ 3.7 แสดงการใช้ฟังก์ชัน ff t(v) และ ifft(v) บนสัญญาณคลื่นไซน์ที่ถูกรบกวนโดยฟังก์ชัน rnd(x) ซึ่งสร้างตัวเลขสุ่มตั้งแต่ 0 ถึง x

ข้าว. 3.7. การแปลงฟูริเยร์ไปข้างหน้าและกลับด้วยฟังก์ชัน fft และ ifft

กราฟเหล่านี้แสดงภาพฟูริเยร์ของสัญญาณ c และเปรียบเทียบสัญญาณดั้งเดิม x กับภาพที่สร้างขึ้นใหม่จากภาพฟูริเยร์ รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์สามารถพบได้ในและ

3.7 กำลังสองน้อยที่สุด

ในวิธีการประมาณค่าฟังก์ชันข้างต้นทั้งหมด เงื่อนไขการแก้ไขได้รับการตอบสนองทุกประการ อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ข้อมูลเริ่มต้น x i , fi , i= 1,…,N ได้รับข้อผิดพลาดบางประการ เราสามารถกำหนดให้ใช้ค่าประมาณได้เท่านั้น

เงื่อนไขการแก้ไข: |F(x i ) – f i |< . Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис. 3.8. Приблизим исходные данные глобальным полиномом. Если решать задачу интерполяции точно, то полином должен иметь степень N . При рассмотрении полинома Лагранжа мы выяснили, что полином N –й степени хорошо приближает исходную функцию только при небольших значениях N .

ข้าว. 3.8. การปฏิบัติตามเงื่อนไขการแก้ไขโดยประมาณ

เราจะมองหาพหุนามดีกรีต่ำ เช่น P 3 (x)=a 1 +a 2 x+a 3 x 2 +a 4 x 3 ถ้า N >4 แสดงว่าปัญหาที่แท้จริงไม่มีคำตอบ: สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักสี่ตัว (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) เงื่อนไขการแก้ไขจะให้ N >4 สมการ แต่ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขการแก้ไขที่แน่นอน เราต้องการให้พหุนามส่งผ่านใกล้กับจุดที่กำหนด มีพหุนามดังกล่าวหลายตัว ซึ่งแต่ละอันถูกกำหนดโดยชุดสัมประสิทธิ์ของมันเอง ในบรรดาพหุนามที่เป็นไปได้ทั้งหมดของประเภทนี้ เราเลือกพหุนามที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยที่สุดที่โหนดการแก้ไขจากค่าที่กำหนด กล่าวคือ พหุนามต้องอยู่ใกล้จุดที่กำหนดมากที่สุดของพหุนามดีกรีสามที่เป็นไปได้ในความหมาย วิธีกำลังสองน้อยที่สุด(เอ็มเค). ณ จุด i-th พร้อม

linom P 3 (x) เบี่ยงเบนจากค่า f i โดยค่า (P 3 (x i ) – f i ) เราสรุปค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของพหุนามเหนือทุกจุด i= 1, 2,…, N, เราได้ฟังก์ชันของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

ให้เราหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ ในการทำเช่นนี้ เราเทียบอนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับตัวแปร a 1 , a 2 , a 3 , 4 ถึงศูนย์ โดยใช้กฎการสร้างความแตกต่างมาตรฐาน เราได้รับ:

การรวบรวมสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่ทราบค่า a ผม เราได้รับ SLAE เทียบกับเวกเตอร์ของสิ่งแปลกปลอม (a 1 , a 2 , a 3 , a 4) ):

ระบบผลลัพธ์เรียกว่าปกติ ในการแก้ปัญหาจะใช้วิธีการมาตรฐานในการแก้ปัญหา SLAE ตามกฎแล้ว จำนวนของระบบที่ไม่ทราบค่า (เช่น จำนวนสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันการสอดแทรก) มีน้อย ดังนั้นจึงสามารถใช้วิธีการที่แน่นอนในการแก้ปัญหา SLAE ได้ เช่น วิธี Cramer หรือวิธีเกาส์ วิธีกำลังสองน้อยที่สุดช่วยให้คุณสามารถ "ประมาณ" ข้อมูลดั้งเดิมโดยใช้การรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ การประมาณของเส้นตรง F (x)=a 1 +a 2 x, ตรีโกณมิติ F (x)=a 1 sin(x)+a 2 cos(x), เลขชี้กำลัง F (x)=a 1 e x

N a1 xi a2

xi a1 xi 2 a2 ฟิซิ

คำนวณ

ซี 2 ,

ฉ x ฉัน ,

ใส่ตามปกติ

ข้าว. 3.9. การเลือกเชิงเส้น

5a 1.4a

การพึ่งพา OLS

0.148. กราฟของฟังก์ชัน F (x)=-0.04+0.57x แสดงในรูปที่ 3.9 เป็นเส้นทึบ จุดแสดงข้อมูลเดิม จะเห็นได้ว่าฟังก์ชันเชิงเส้นตรงที่พบนั้นใกล้เคียงกับจุดที่กำหนด

ใน MathCAD กำลังสองน้อยที่สุดเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการถดถอยเชิงเส้น (y(x) = b + ax ) เนื่องจากสัมประสิทธิ์ a และ b คำนวณจากเงื่อนไขของการย่อผลรวมของข้อผิดพลาดกำลังสองให้น้อยที่สุด |b + ax i – y i | มีวิธีการคำนวณที่ทับซ้อนกันสองวิธีใน MathCAD:

เส้น (x,y) ส่งกลับเวกเตอร์สององค์ประกอบของสัมประสิทธิ์การถดถอยเชิงเส้น b + axe ;

อนุกรมตรีโกณมิติฟูเรียร์โดยใช้ Mathcad

วัตถุประสงค์

เรียนรู้การแยกฟังก์ชันคาบเป็นอนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติโดยใช้ Mathcad และพล็อตผลรวมบางส่วนของอนุกรมฟูริเยร์

อุปกรณ์

แพ็คเกจซอฟต์แวร์ MathCAD

ความคืบหน้า

ตัวเลือก

1) ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติ

2) ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติในโคไซน์

3) ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติในแง่ของไซน์

ขออนุญาติทำงาน

3.2.1 อนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติของฟังก์ชันคืออนุกรมฟังก์ชันของรูปแบบ

3.2.4 สำหรับฟังก์ชัน f(x) จะคำนวณสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ (เมื่อขยายเป็นโคไซน์)

1 = 5, 2 = 6, 3 = 7

เขียนอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติ

3.2.5 ฟังก์ชัน f(x) ถูกขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ในแง่ของไซน์ (ทางที่แปลก) จากนั้น

3.1.2. ค้นหาคุณสมบัติเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม x (x คือเงินรางวัลที่ชนะของเจ้าของตั๋วลอตเตอรีหนึ่งใบ)

ลอตเตอรีออกตั๋ว ____

ในจำนวนนี้พวกเขาชนะ ____ rubles แต่ละคน

ในจำนวนนี้พวกเขาชนะ ____ rubles ต่อคน

3.1.3. ค้นหาคุณสมบัติเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม "x"

ก) 0.15 b) -0.35 c) 0.35 d) 0.25 e) ไม่ได้กำหนดไว้

3.2.3 มีตั๋ว 200 ใบในลอตเตอรี ตั๋วที่ชนะ 30. ความน่าจะเป็นที่ตั๋วไม่ชนะเป็นเท่าไหร่?

ก) 1.7 b) 0.7 c) 0.17 d) 0.85 e) 0.15

3.2.4 เขียนสูตรการคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

3.2.5 เขียนสูตรสำหรับคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

________________________________________________________________________________

3.2.6. D (y) \u003d 25. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร?

ก) ± 5 b) 5 c) -5 d) ไม่ได้กำหนดไว้

3.2.7 วิธีแก้สมการใน MathCAD

______________________________________________________________________________

_____________ ได้รับอนุญาตให้ทำงานได้

ผลงาน

4.1. M(x) = ____________ D(x) = ____________ σ (x) = ___________

การหาค่าประมาณจุดและช่วงเวลา

พารามิเตอร์การกระจายที่ไม่รู้จักใน Excel

1. วัตถุประสงค์ของงาน

จากตัวอย่างนี้ เรียนรู้ที่จะกำหนดลักษณะเชิงตัวเลขของกลุ่มตัวอย่างและประเมินพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักของประชากรทั่วไป ประเมินความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของประชากรทั่วไปด้วยความน่าจะเป็นที่มั่นใจ

2. อุปกรณ์:

IBM PC, เชลล์ Microsoft Excel

ความคืบหน้า

3. 1 ตัวเลือก

ประมาณการด้วยความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นที่ให้ไว้ γ= ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของประชากรทั่วไปสำหรับกลุ่มตัวอย่างที่กำหนด

_____________________________________________________________________________________

3.2 ใบอนุญาตทำงาน

1. ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคำนวณอย่างไร?

2. ความแปรปรวนตัวอย่างคำนวณอย่างไร?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคำนวณอย่างไร?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ความแปรปรวนของตัวอย่างที่ถูกแก้ไขคำนวณอย่างไร?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. การประมาณค่าแบบจุดของพารามิเตอร์การกระจายที่ไม่รู้จักแตกต่างจากการประมาณตามช่วงเวลาอย่างไร

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ช่วงเวลาคำนวณสำหรับการประมาณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของประชากรทั่วไปอย่างไร

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. ค่าสัมประสิทธิ์ของนักเรียนระบุไว้อย่างไร?

8. อะไรเป็นตัวกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของนักเรียน?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ได้รับอนุญาตให้ทำงาน: ________________________________________________

ผลงาน

σ ใน = S ใน = t γ =

บทสรุป

ในระหว่างงานนี้ ฉันได้ใช้สูตรสำหรับการประมาณแบบจุดและช่วงเวลา ____________________________________________________________

_________________________________________________________________