عند حل أنواع مختلفة من المشكلات، سواء كانت ذات طبيعة رياضية أو تطبيقية بحتة (خاصة في البناء)، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد قيمة ارتفاع شكل هندسي معين. كيف تحسب هذه القيمة (الارتفاع) في المثلث؟

إذا قمنا بدمج 3 نقاط في أزواج غير موجودة على خط واحد، فسيكون الشكل الناتج مثلثًا. الارتفاع هو جزء الخط المستقيم من أي قمة في الشكل، والذي عند تقاطعه مع الجانب المقابل يشكل زاوية قياسها 90 درجة.

أوجد ارتفاع مثلث مختلف الأضلاع

دعونا نحدد قيمة ارتفاع المثلث في الحالة التي يكون فيها الشكل ذو زوايا وجوانب عشوائية.

صيغة هيرون

ح(أ)=(2√(ص(ص-أ)*(ص-ب)*(ص-ج)))/أ، حيث

p - نصف محيط الشكل، h(a) - قطعة من الجانب a، مرسومة بزوايا قائمة عليها،

p=(a+b+c)/2 – حساب نصف المحيط.

إذا كانت هناك مساحة من الشكل، يمكنك استخدام العلاقة h(a)=2S/a لتحديد ارتفاعه.

الدوال المثلثية

لتحديد طول القطعة التي تشكل زاوية قائمة عند التقاطع مع الجانب a، يمكنك استخدام العلاقات التالية: إذا كان الضلع b والزاوية γ أو الضلع c والزاوية β معروفين، فإن h(a)=b*sinγ أو ح(أ)=ج *الخطيئةβ.
أين:
γ - الزاوية بين الجانب ب و أ،
β هي الزاوية بين الضلع c وa.

العلاقة مع نصف القطر

إذا كان المثلث الأصلي مدرجًا في دائرة، فيمكنك استخدام نصف قطر هذه الدائرة لتحديد الارتفاع. يقع مركزها عند النقطة التي تتقاطع فيها الارتفاعات الثلاثة (من كل قمة) - مركز تقويم العظام، والمسافة منه إلى القمة (أي) هي نصف القطر.

ثم h(a)=bc/2R، حيث:
ب، ج – 2 الجانبين الآخرين للمثلث،
R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

أوجد الارتفاع في المثلث الأيمن

في هذا النوع من الأشكال الهندسية، يشكل الجانبان، عند التقاطع، زاوية قائمة - 90 درجة. لذلك، إذا كنت ترغب في تحديد قيمة الارتفاع فيه، فأنت بحاجة إلى حساب حجم إحدى الأرجل، أو حجم الجزء الذي يشكل 90 درجة مع الوتر. عند التعيين:
أ، ب – الساقين،
ج - الوتر،
ح(ج) – عمودي على الوتر.
يمكنك إجراء الحسابات اللازمة باستخدام العلاقات التالية:

• نظرية فيثاغورس:

أ=√(ج2 -ب2),
ب=√(ج 2 -أ 2),
ح(ج)=2S/ج، لأن S=ab/2، ثم h(c)=ab/c.

• الدوال المثلثية:

أ=ج*الخطيئةβ،
ب=ج*كوسβ،
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

أوجد ارتفاع المثلث متساوي الساقين

يتميز هذا الشكل الهندسي بوجود ضلعين متساويين في الحجم وثالث هو القاعدة. لتحديد الارتفاع المرسوم إلى الجانب الثالث المتميز، تأتي نظرية فيثاغورس للإنقاذ. مع الملاحظات
أ - الجانب،
ج – القاعدة،
h(c) هو جزء من c بزاوية 90°، ثم h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

نظرية ارتفاع المثلث الأيمن

إذا كان الارتفاع في مثلث قائم ABC طوله، مرسوم من قمة الزاوية القائمة، يقسم وتر الطول إلى أجزاء تتوافق مع الأرجل و، فإن المساواة التالية صحيحة:

·

·

خصائص قواعد ارتفاعات المثلث

· الأسبابتشكل المرتفعات ما يسمى بالمثلث المتعامد الذي له خصائصه الخاصة.

· الدائرة المحيطة بالمثلث المتعامد هي دائرة أويلر. تحتوي هذه الدائرة أيضًا على ثلاث نقاط منتصف لأضلاع المثلث وثلاث نقاط منتصف لثلاثة أجزاء تربط المركز المتعامد مع رؤوس المثلث.

صيغة أخرى للخاصية الأخيرة:

· نظرية أويلر للدائرة ذات النقاط التسع.

الأسبابثلاثة مرتفعاتمثلث اعتباطي منتصف أضلاعه الثلاثة ( أسسه الداخليةالمتوسطات) ونقاط منتصف الأجزاء الثلاثة التي تربط رؤوسها بالمركز المتعامد، كلها تقع على نفس الدائرة (على دائرة تسع نقاط).

· نظرية. في أي مثلث، الجزء المتصل أسباباثنين مرتفعاتمثلث، يقطع مثلثًا مشابهًا للمثلث المعطى.

· نظرية. في المثلث، قطعة الاتصال أسباباثنين مرتفعاتمثلثات ملقاة على الجانبين مضاد للتوازيإلى طرف ثالث ليس له أرضية مشتركة معه. يمكن دائمًا رسم الدائرة من طرفيها، وكذلك من خلال رأسي الضلع الثالث المذكور.

خصائص أخرى لارتفاعات المثلث

· إذا كان المثلث متنوع القدرات (مختلف الأضلاع)، ثم أنه داخليالمنصف المرسوم من أي قمة تقع بينهما داخليالمتوسط ​​والارتفاع مرسومان من نفس الرأس.

ارتفاع المثلث يرتبط بشكل متساوي مع القطر (نصف القطر) دائرة محيطية، مأخوذة من نفس الرأس.

· في المثلث الحاد يوجد اثنان مرتفعاتقطع مثلثات مماثلة منه.

· في مثلث قائم الزاوية ارتفاعمن رأس زاوية قائمة فيقسمها إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

خصائص الحد الأدنى لارتفاع المثلث

الحد الأدنى لارتفاع المثلث له العديد من الخصائص المتطرفة. على سبيل المثال:

· الحد الأدنى للإسقاط المتعامد للمثلث على الخطوط الواقعة في مستوى المثلث يكون طوله مساوياً لأصغر ارتفاعاته.

· الحد الأدنى للقطع المستقيم في المستوى الذي يمكن من خلاله سحب لوحة مثلثة صلبة يجب أن يكون طوله مساويا لأصغر ارتفاعات هذه اللوحة.

· عندما تتحرك نقطتان بشكل مستمر على طول محيط مثلث باتجاه بعضهما البعض، فإن أقصى مسافة بينهما أثناء الحركة من اللقاء الأول إلى الثاني لا يمكن أن تقل عن طول أصغر ارتفاع للمثلث.

· الحد الأدنى للارتفاع في المثلث يقع دائمًا داخل هذا المثلث.

العلاقات الأساسية

· أين مساحة المثلث، هو طول ضلع المثلث الذي ينخفض ​​به الارتفاع.

· أين هو ناتج الجوانب، نصف قطر الدائرة المحدودة

· ,

أين هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.

أين مساحة المثلث .

أين هو جانب المثلث الذي ينحدر إليه الارتفاع.

· ارتفاع مثلث متساوي الساقين مخفضًا إلى القاعدة:

أين هي القاعدة.

· - الارتفاع في مثلث متساوي الأضلاع.

المتوسطات والارتفاعات في مثلث متساوي الأضلاع

تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتبارًا من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الجاذبيةمثلث. وفي المثلثات متساوية الأضلاع، المتوسطات والارتفاعات هي نفس الشيء.

النظر في مثلث تعسفي ABC. نشير بالحرف O إلى نقطة تقاطع وسطيه AA1 و BB1 ونرسم خط الوسط A1B1 لهذا المثلث. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، القطعة A1B1 موازية للضلع AB، وبالتالي الزاويتان 1 و 2 ، وكذلك الزاويتان 3 و 4 متساويتان كزاويتين عرضيتين عند تقاطع الخطين المتوازيين AB و A1B1 بواسطة القاطعين AA1 و BB1. ولذلك فإن المثلثين AOB وA1OB1 متشابهان في زاويتين، وبالتالي فإن أضلاعهما متناسبة: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. لكن AB=2⋅A1B1، إذن AO=2⋅A1O وBO=2⋅B1O. وبالتالي، فإن نقطة التقاطع O للمتوسطين AA1 وBB1 تقسم كل منهما بنسبة 2:1، بدءًا من الرأس. وبالمثل، فقد ثبت أن نقطة تقاطع المتوسطين BB1 وCC1 تقسم كل منهما بنسبة 2:1 اعتبارًا من الرأس، وبالتالي تتطابق مع النقطة O. وهكذا، فإن المتوسطات الثلاثة للمثلث ABC تتقاطع عند النقطة O ويتم تقسيمها عليها بنسبة 2: 1، عد من الأعلى.

لقد تم إثبات النظرية.

لنتخيل أنه عند رؤوس الزاوية m₁=1، ثم عند النقاط A₁،B₁،C₁، m₂=2، لأنها نقاط منتصف الجوانب. وهنا يمكنك ملاحظة أن الأجزاء AA₁، BB₁، CC₁، التي تتقاطع عند نقطة واحدة، تشبه الروافع ذات نقطة ارتكاز O، حيث AO-l₁، وOA₁-l₂ (الكتفين). ووفقًا للصيغة الفيزيائية F₁/F₂=l₁/l₂، حيث F=m*g، حيث g-const، ويتم تقليلها وفقًا لذلك، اتضح m₁/m₂=l₁/l₂ أي. ½=1/2.

لقد تم إثبات النظرية.

مثلث متعامد

ملكيات:

· ثلاثة ارتفاعات للمثلث تتقاطع عند نقطة واحدة، وتسمى هذه النقطة بالمركز المتعامد

· يشكل الضلعان المتجاوران في المثلث المتعامد زوايا متساوية مع الجانب المقابل للمثلث الأصلي

ارتفاعات المثلث هي منصفات المثلث المتعامد

· المثلث المتعامد هو المثلث ذو أصغر محيط يمكن إدراجه داخل مثلث معين (مسألة فاجنانو)

· محيط المثلث المتعامد يساوي ضعف حاصل ضرب ارتفاع المثلث وجيب الزاوية التي يبدأ منها.

· إذا كانت النقاط A 1 و B 1 و C 1 على الأضلاع BC وAC وAB للمثلث الحاد ABC على التوالي، كذلك

ثم هو مثلث متعامد للمثلث ABC.

المثلث المتعامد يقطع المثلثات المشابهة لهذا المثلث

نظرية خاصية منصفات المثلث المتعامد

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-المنصف ∟B₁C₁A

AA₁-المنصف ∟B₁A₁C₁

BB₁-المنصف ∟A₁B₁C₁

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

ملكيات

• تتقاطع ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة تسمى المركز المتعامد. - من السهل إثبات هذه العبارة باستخدام هوية متجهة صالحة لأي نقاط A، B، C، E، وليس بالضرورة حتى تلك التي تقع في نفس المستوى:

(لإثبات الهوية، يجب عليك استخدام الصيغ

ينبغي اعتبار النقطة E بمثابة تقاطع ارتفاعين للمثلث.)

• في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية القائمة يقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.
• في المثلث حاد الزوايا، يقطع ارتفاعاه المثلثات المتشابهة عنه.
• تشكل قواعد المرتفعات ما يسمى بالمثلث المتعامد، والذي له خصائصه الخاصة.

الحد الأدنى لارتفاع المثلث له العديد من الخصائص المتطرفة. على سبيل المثال:

• الحد الأدنى للإسقاط المتعامد للمثلث على الخطوط الواقعة في مستوى المثلث له طول يساوي أصغر ارتفاعاته.

• الحد الأدنى للقطع المستقيم في المستوى الذي يمكن من خلاله سحب لوحة مثلثة صلبة يجب أن يكون طوله مساويًا لأصغر ارتفاعات هذه اللوحة.

• مع الحركة المستمرة لنقطتين على طول محيط المثلث تجاه بعضهما البعض، فإن أقصى مسافة بينهما أثناء الحركة من اللقاء الأول إلى الثاني لا يمكن أن تقل عن طول أصغر ارتفاع للمثلث.

الحد الأدنى للارتفاع في المثلث يقع دائمًا داخل هذا المثلث.

العلاقات الأساسية

أين مساحة المثلث، هو طول ضلع المثلث الذي ينخفض ​​به الارتفاع.

أين هي القاعدة.

نظرية ارتفاع المثلث الأيمن

إذا كان ارتفاع الطول h المرسوم من قمة الزاوية القائمة يقسم الوتر ذو الطول c إلى قطع m وn المقابلة لـ b وa، فإن المساواة التالية تكون صحيحة:

قصيدة ذاكري

أنظر أيضا

روابط

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "ارتفاع المثلث" في القواميس الأخرى:

الارتفاع، الارتفاعات، الجمع. المرتفعات، المرتفعات، النساء 1. وحدات فقط التمديد من الأسفل إلى الأعلى، الارتفاع. ارتفاع المنزل. برج ذو ارتفاع كبير. || (ر. علمي خاص فقط). المسافة من سطح الأرض، وتقاس بخط عمودي من الأسفل إلى الأعلى. وكانت الطائرة تحلق... قاموس أوشاكوف التوضيحي

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر الارتفاع (المعاني). الارتفاع في الهندسة الابتدائية هو قطعة عمودية تنخفض من أعلى شكل هندسي (على سبيل المثال، مثلث، هرم، مخروط) إلى قاعدته أو إلى ... ... ويكيبيديا

ارتفاع- ы/; رر. الارتفاع/أنت؛ و. أنظر أيضا شاهقة، شاهقة 1) الحجم، طول شيء ما. من الأسفل إلى الأعلى، من الأسفل إلى الأعلى. ارتفاع / منزل، شجرة، جبل. الارتفاع / الأمواج. ويبلغ ارتفاع السد مائة وخمسة أقدام. قاموس العديد من التعبيرات

ص؛ رر. المرتفعات. و. 1. الحجم، طول الشيء. من الأسفل إلى الأعلى، من الأسفل إلى الأعلى. V. المنازل والأشجار والجبال. خامسا موجات. ويبلغ ارتفاع السد مائة وخمسين مترا. قياس وتحديد ارتفاع شيء ما. 2. المسافة التي منها ل. سطح ل... ... القاموس الموسوعي

ارتفاع مثلث الخيط الأصلي- (ح) المسافة بين قمة وقاعدة مثلث الخيط الأصلي في اتجاه عمودي على محور الخيط. [GOST 11708 82 (ST SEV 2631 80)] موضوعات معيار التبادلية المصطلحات العامة العناصر الأساسية ومعلمات الخيط EN ... ... دليل المترجم الفني

الارتفاع هو البعد أو المسافة في الاتجاه الرأسي. معاني أخرى: في علم الفلك: ارتفاع النجم هو الزاوية بين مستوى الأفق الرياضي والاتجاه نحو النجم. وفي الشؤون العسكرية: الارتفاع هو رفع الفرج. في... ... ويكيبيديا

الارتفاع، في الهندسة، القطعة المتعامدة التي تنحدر من أعلى الشكل الهندسي (مثل المثلث، الهرم، المخروط) إلى قاعدتها (أو استمرار القاعدة)، وكذلك طول هذه القطعة. ارتفاع المنشور والأسطوانة والطبقة الكروية و... ... القاموس الموسوعي

في الهندسة، قطعة عمودية ترسم من قمة شكل هندسي (مثل المثلث، الهرم، المخروط) إلى قاعدتها (أو استمرار القاعدة)، وكذلك طول هذه القطعة. ارتفاع المنشور والأسطوانة والطبقة الكروية وكذلك... ... القاموس الموسوعي الكبير

الارتفاع، ق، الجمع. من، من، من، الزوجات. 1. الحجم، طول الشيء. من النقطة السفلية إلى الأعلى. ب- البناء بالطوب. خامسا تصفح. خامسا الإعصار. 2. الفضاء، المسافة من الألف إلى الياء. ابحث عن. الطائرة تكتسب الارتفاع. يطير إلى... ... قاموس أوزيجوف التوضيحي

الارتفاع في الهندسة، هو القطعة العمودية التي تنحدر من أعلى شكل هندسي (مثل المثلث، الهرم، المخروط) إلى قاعدتها أو استمرار القاعدة، وكذلك طول هذه القطعة. ب. المنشور، الاسطوانة، الطبقة الكروية،... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى